江西省宜黄县2024-2025学年高二下册第一次月考（3月）数学试卷附解析

/江西省宜黄县2024-2025学年高二下册第一次月考（3月）数学试卷（范围：北师大选修第一册全册-选修第二册第一章数列）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知等差数列的前项和为，且，则（

）A．52 B．104 C．112 D．1202.记等比数列的前n项和为，若，，则（

）A．24 B．28 C．48 D．843.数列满足，且，则（

）A． B．4 C． D．24．设.则当数列的前项和取得最小值时，的值为（

）A．4或5 B．4 C．5 D．5或65．已知等比数列的前项和，则的值为（

）A． B． C． D．6．若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（

）A． B． C． D．7．在节目表演中为了增强舞台的亮度，且为了减弱演员面对强光的不适感，灯光设计人员巧妙地通过双曲线的光学性质，发散光线以保护演员的视力，如图，从双曲线右焦点发出的光线，其经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时，（

）A． B． C． D．8．已知数列的各项均为正数，，若数列的前项和为5，则（

）A．118 B．119 C．120 D．121选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得09.下列四个选项中，正确的是（

）A．数列的项可以相等B．数列可表示为C．数列的一个通项公式是D．数列是递减数列10.已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．11.如图，长方体中，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是（

）A．直线与平行B．四面体的体积为定值C．点到平面的距离为D．异面直线与所成的角为三．填空题本题共3小题，每小题5分，共15分12.在等比数列中，，则．13．已知、分别为等差数列、的前项和，，则．14．某单位4男3女参加乡村振兴工作，这7人将被派驻到A，B，C3个乡村进行乡村振兴工作(每个乡村至少派驻1人)．若只考虑3个乡村的名额分配，则有种不同的名额分配方式；若每个乡村至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到A乡村，则有种不同的派驻方式．(用数字填写答案)(前一空2分，后一空3分).四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（13分）为了解某地区年月份电动汽车的销售情况，某机构经过调查，得到如下表所示的数据．月份月月月月月月份代码销售总额亿元(1)求关于的线性回归方程；(2)该机构随机调查了该地区位购车车主的性别与购车种类，其中购买非电动汽车的男性有人，女性有人，购买电动汽车的男性有人，女性有人，请问是否有的把握认为购买电动汽车与性别有关．附：①，在利用最小二乘法求得的线性回归方程中，；②，其中．16．（15分）记为等差数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．17.（15分）已知数列的前项和为，且．(1)证明：数列是等比数列；(2)设数列满足，求的前项和．18．（17分）某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表：零件直径（单位：厘米）零件个数1025302510已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）.参考数据：；若随机变量，则，，.(1)试估计这批零件直径在的概率；(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望；(3)若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率.19．（17分）已知、分别为椭圆的左、右焦点，若点在椭圆上，且的面积为．(1)求椭圆的方程；(2)不经过点的直线与椭圆交于、两点，且直线与直线的斜率之积为，作于点．①证明：直线过定点，并求此定点的坐标；②是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．答案与解析1234567891011ADAACAACADBCABC1.A.故选A.2.D由等比数列的性质，得成等比数列，所以，又因为，，即，解得．故选D.3.A由题意知，所以，所以可得是周期为2的周期数列，则．故A正确.故选A.4.A由于，令，则，故当,时，，当,时，，,时，，因此的前项和取得最小值时，或，故选A.5.C6.A抛物线的准线方程为，圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为，所以，截圆所得的弦长为，故选A.7.A因为，所以，，不妨设双曲线的标准方程为，设，则，所以，解得（已舍去），所以.故选A.8.C因为数列的各项均为正数，，所以，则是以4为首项，以4为公差的等差数列，所以，则，所以，所以数列的前n项和为，令，解得，故选C9.AD10.BC由可知显然不合题意，故有，解得，故A错B对；，，，代入C，D选项验证，C正确；D选项右边，D错误.故选BC.11.ABC对于A，连接，因为是侧面的中心，是底面的中心，则为的中点，为的中点，所以在中，为的中位线，即，A正确；对于B选项，因为，平面平面，所以平面，又点在线段上运动，所以点到平面的距离为定值，又为定值，所以四面体的体积为定值，B正确；对于C选项，如图以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则，解得，令，得，则，所以点到平面的距离，C正确；对于D选项，，,则，故异面直线与所成的角不为，D错误.故选ABC.12.613.14.15,72.第一空，隔板法，将7个名额排成一排，在除去两端的6个空位中选择2个空位插入隔板，共有种分配方式；第二空，先将3女分配到3个乡村，有种，再将4男分成3组，有种，将有男性甲的一组分配到A乡村有1种，然后将剩余两组分配到其他两个乡村，有种分法，所以共有种分配方式.15.解：(1)由题可知，，所以，，故所求的线性回归方程为．(7分)（2）由题可得列联表如下．性别购买种类合计非电动汽车电动汽车男女合计因为，故有的把握认为购买电动汽车与性别有关．（13分）16.解：（1）设等差数列的公差为，由题意可得，即，解得，所以.(7分)（2）因为，令，解得，且，当时，则，可得；（11分）当时，则，可得；（14分）综上所述.（15分）17.解：（1）当时，，即，当时，联立①－②，可得，即，所以，又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列.（8分）（2）由（1）可得，则，，所以．(15分)18.解：（1）由平均数与方差的计算公式分别得..故，.设表示零件直径，则，即.则，，即.（5分）（2）由题意知，这批零件直径在的概率为.Z的取值范围为，则，，，，，因此可得Z的分布列为Z01234P因为Z服从二项分布，则Z的数学期望.（12分）（3）设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件，“抽取的零件为乙机器生产”记为事件，“抽取的零件为次品”记为事件B，则，，，，则，，所以这个零件是甲机器生产的概率为.(17分)19.解：（1）由的面积为，得到：，所以．（2分）又因为点在椭圆上，所以，且，所以，，解得，所以椭圆的方程为．(5分)（2）当直线斜率不存在时，设直线的方程为，设点，由对称性质可知，则有，可得，又，解得（舍）；（8分）②当直线l斜率存在时，设直线的方程为