2025年四川轻化工大学数学竞赛试题

四川轻化工大学数学竞赛试题一、选择题1.设函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值为M，最小值为m，则M-m的值为（）[单选题]*A.4B.16C.20D.24答案：A。原因：首先对f(x)求导得f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。计算f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，所以M=2，m=-2，M-m=4。2.若向量a=(1,2)，b=(2,-1)，则(a+b)·(a-b)的值为（）[单选题]*A.-8B.-6C.0D.6答案：B。原因：先求a+b=(3,1)，a-b=(-1,3)，然后计算它们的数量积为3×(-1)+1×3=-6。3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a7=10，则S9等于（）[单选题]*A.45B.50C.55D.60答案：A。原因：根据等差数列性质a1+a9=a3+a7=10，而S9=(a1+a9)×9÷2=10×9÷2=45。4.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x-1)²+(y-2)²=4，则圆C的圆心到直线x+y-1=0的距离为（）[单选题]*A.2B.√2C.1D.2√2答案：B。原因：圆的圆心坐标为(1,2)，根据点到直线距离公式d=|1+2-1|÷√(1²+1²)=√2。5.若sinα=3/5，α∈(π/2,π)，则tan(α+π/4)的值为（）[单选题]*A.1/7B.-1/7C.7D.-7答案：A。原因：由sinα=3/5，α∈(π/2,π)可得cosα=-4/5，tanα=-3/4，再根据正切公式tan(α+π/4)=(tanα+1)÷(1-tanα)=1/7。6.从5名男生和3名女生中任选3人参加志愿者活动，则所选3人中至少有1名女生的选法共有（）种。（）[单选题]*A.46B.56C.64D.70答案：A。原因：从8人中选3人的总选法有C(8,3)=56种，没有女生即全是男生的选法有C(5,3)=10种，所以至少有1名女生的选法有56-10=46种。7.若双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x，则离心率e的值为（）[单选题]*A.√5B.√3C.2D.√6答案：A。原因：双曲线渐近线方程为y=±b/ax，已知一条渐近线为y=2x，所以b/a=2，离心率e=√(1+(b/a)²)=√5。8.若函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，当x≤1时，f(x)=x²+1，则当x>1时，f(x)的表达式为（）[单选题]*A.f(x)=(x-2)²+1B.f(x)=(x-1)²+1C.f(x)=(x+1)²+1D.f(x)=(x+2)²+1答案：A。原因：因为函数关于x=1对称，设x>1，则2-x<1，f(x)=f(2-x)=(2-x)²+1=(x-2)²+1。9.设复数z=1+i，则z²-2z/z-1的值为（）[单选题]*A.2iB.-2iC.2D.-2答案：A。原因：将z=1+i代入式子，z²=(1+i)²=2i，2z=2(1+i)，化简式子可得2i。10.若函数f(x)=ln(x²-ax+1)的值域为R，则实数a的取值范围是（）（）[单选题]*A.(-2,2)B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.[-2,2]答案：B。原因：函数值域为R，则x²-ax+1能取到所有大于0的值，所以判别式Δ=a²-4≥0，解得a的范围是(-∞,-2]∪[2,+∞)。11.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=BC=2√2，则三棱锥P-ABC的外接球半径为（）（）[单选题]*A.√6/2B.√3C.2√6/3D.√6答案：A。原因：该三棱锥为正三棱锥，设其外接球半径为R，底面三角形外接圆半径r=2√6/3，根据勾股定理R²=(2√6/3-R)²+(2√3/3)²，解得R=√6/2。12.若随机变量X服从正态分布N(1,4)，则P(X<3)的值为（）（已知Φ(1)=0.8413）（）[单选题]*A.0.8