福建省莆田市2024~2025学年 高二下册第一次（3月）月考数学试卷附解析

/福建省莆田市2024_2025学年高二下册第一次（3月）月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．曲线在点处的切线的斜率为（

）A．0 B．1 C．e D．2．已知函数，则（

）A．有极小值，无极大值 B．既有极小值又有极大值C．有极大值，无极小值 D．无极小值也无极大值3．已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（

）A．的单调递减区间是B．的单调递增区间是，C．当时，有极值D．当时，4．若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．5．已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知偶函数在上的导函数为，且在时满足以下条件：①导函数的图象如图所示；②唯一的零点是1．则的解集为（

）A． B．C． D．7．已知为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（

）A．，B．，C．，D．，8．丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列求导运算正确的是（）A．B．C．D．10．已知函数则下列说法正确的是（）A．函数的单调减区间为，B．函数的值域为C．若关于的方程有三个根，则D．若对于恒成立，则11．已知函数在区间内有唯一零点，则的可能取值为（

）A． B． C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．若函数，则.13．已知曲线经过点，则过点的曲线C的切线方程是14．已知有两个极值点，则实数的取值范围为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知函数在与处都取得极值．（1）求，的值；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．16．已知函数，若在点处的切线方程为．(1)求的解析式；(2)求函数在上的极值．17．如图（1），一边长为48cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器，如图（2），所得容器的容积V（单位：）是关于截去的小正方形的边长x（单位：cm）的函数.(1)随着x的变化，容积V是如何变化的？(2)截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？18．已知函数，.(1)求函数的单调区间；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.19．对数均值不等式在各个领域都有着重要应用．(1)讨论，的单调性(2)试证明对数均值不等式：(3)设，试证明：

答案1．【正确答案】B【详解】因为，所以，根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线的斜率为1.故选B.2．【正确答案】B【详解】因为，所以，令，，令，，则在上单调递增，在上单调递减，即极小值为，极大值为，得到既有极小值又有极大值，故B正确.故选B.3．【正确答案】A【详解】根据图象可知当时，，可得；当时，，可得；当时，，可得，且；对于AB，易知时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，因此的单调递减区间是，的单调递增区间是，即A正确，B错误；对于C，易知当时，，当时，，即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误；对于D，因为时，，可得，因此，即D错误.故选A.4．【正确答案】B【详解】的定义域为，，因为函数在其定义域内单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为，当且仅当时，等号成立，所以，所以.故选B.5．【正确答案】A【详解】令，可得，令，则直线与函数的图象有三个交点，，令，可得或，列表如下：增极大值减极小值增如下图所示：由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有三个交点，因此，实数的取值范围是.故选A.6．【正确答案】B【详解】记在上的零点为，由在上的图象，知当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．因为在唯一的零点是1，即，所以当时，，当时，．又为偶函数，所以当时，，当时，，所以的解集为．故选B．7．【正确答案】A【详解】构造函数，则，所以函数在上单调递增，故，即，即.同理，，即.故选A.8．【正确答案】B【详解】对A，，当时，，所以A错误；对B，，在上恒成立，所以B正确；对C，，，所以C错误；对D，，，因为，所以D错误．故选B．9．【正确答案】BC【详解】，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误．故选BC10．【正确答案】ACD【详解】（i）当时，，则在单调递减，且渐近线为轴和，恒有.（ii）当时，，，当在单调递增，当在单调递减，故，且当时，，，恒有.综上可知，，作出函数大致图象，如下图.对于A，函数的单调减区间为，故A正确；对于B，函数的值域为，故B错误；对于C，方程有三个根，则所以与有3个公共点，由图象可知当时，与有3个交点，满足题意，即的取值范围是，故C正确;对于D，设函数为过定点的直线，且与函数的切点为，则有①，②，且③，由①②得，将③代入上式可得，即，即，解得或（舍去），，此时直线与函数相切，为临界情况；当，直线斜率增大，此时函数满足在时，处于直线下方，即对于恒成立，因此，，故D正确；故选ACD.11．【正确答案】ABC【详解】由题意有方程在区间内有唯一实数根，即方程在区间内有唯一实数根，令，，所以在区间内单调递增，所以，所以，因为，，故选ABC.12．【正确答案】【详解】对求导，得，所以，解得，所以，将代入，可得.13．【正确答案】【详解】因为曲线经过点，所以，解得，则曲线方程为，，设切点为，切线斜率为，由导数的几何意义得，则切线方程为，又切线经过点，则，解得，则切线方程为，即.14．【正确答案】【详解】由求导，，由可得：，因不满足此式，故可得：，则函数有两个极值点，即函数与的图象有两个交点.由求导，，则当时，，当时，，当时，则函数在和上是减函数，在上是增函数，故时，取得极小值.且当时，，当从0的左边趋近于0时，，当从0的右边趋近于0时，，当时，.故可作出函数的图象如图.

由图可知：函数与的图象有两个交点等价于.15．【正确答案】（1），；（2）．【详解】（1）由题设，，又，，解得，．（2）由，知，即，当时，，随的变化情况如下表：1+0-0+递增极大值递减极小值递增∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴当时，为极大值，又，则为在上的最大值，要使对任意恒成立，则只需，解得或，∴实数的取值范围为．16．【正确答案】(1)(2)极大值，极小值【详解】（1）因为，所以，由题意得，所以，；故的解析式为（2）由（1）得，，因为，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极大值，故当时，函数取得极小值17．【正确答案】(1)当时，函数单调递增；当时，函数单调递减．(2)当截去的小正方形的边长为8cm时，得到的容器容积最大，最大容积为8192【详解】（1）根据题意可得，由实际情况可知函数的定义域为.根据导数公式表及导数的运算法则可得，解方程，得，（舍），令得，令得，所以当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.（2）当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，因此，是函数的极大值点也是最大值点，此时，所以当截去的小正方形的边长为8cm时，得到的容器容积最大，最大容积为8192.18．【正确答案】(1)当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增；(2).【详解】（1）因为函数，所以，当时，，所以函数在上单调递减，当时，令，得，当时，，所以函数单调递减，当时，，所以函数单调递增，综上所述，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增；（2）若不等式恒成立，又，则有恒成立.设函数，则，当时，，函数在上单调递减，又，不合题意;当时，令，解得,当时，，所以函数单调递减，当时，，所以函数单调递增，所以，由恒成立，则成立，即成立,令，则,所以函数在上单调递增，又，，所以当时，成立.综上所述，实数的取值范围为.19．【正确答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求导，利用导函数的符号分析函数的单