甘肃省甘南藏族自治州卓尼县2024-2025学年高二下册4月期中考试数学试卷附解析

/甘肃省甘南藏族自治州卓尼县2024-2025学年高二下册4月期中考试数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知函数可导，且满足，则函数在x＝3处的导数为（

）A．2 B．1 C．－1 D．－22．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（

）A． B． C． D．3．已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（

）A．B．C．D．4．已知空间向量，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．5．函数在处的切线与直线平行，则实数（

）A． B．1 C． D．6．平行六面体的所有棱长均为1，，则的长度为（

）A． B． C． D．7．若函数的导函数图象如图所示，则（

）A．的解集为 B．函数有两个极值点C．函数的单调递减区间为 D．是函数的极小值点8．已知三棱锥，两两垂直且长度均为6，长为2的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在内运动（含边界），则的中点的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为A． B．或 C． D．或二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法中正确的有（

）A．B．函数的单调增区间为C．一质点的运动方程为，则该质点在时的瞬时速度是4m/sD．，则10．下列命题为真命题的是（

）A．若空间向量满足，则B．在正方体中，必有C．若空间向量满足，则D．空间中，，则11．已知函数fxA．y=fx在2,3B．y=fxC．当a>1时，y=fxD．当a=1时，ff三、填空题（本大题共3小题）12．设函数，若，则．13．已知空间向量满足，，，，则的值为.14．在中，已知，则边上的中线的长是.四、解答题（本大题共5小题）15．已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)求函数的单调区间和极值.16．在平行六面体中，，，，，，N为CD的中点.（1）求AM的长；（2）求的余弦值.17．如图，在平行六面体中，E，F分别在和上，.

(1)求证：A，E，，F四点共面；(2)若，求x+y+z的值.18．如图所示，直四棱柱中，，，，，E为侧棱的中点.

(1)求证：平面BDE；(2)求直线与平面BDE所成的角的正弦值.19．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)讨论函数的零点个数，并证明你的结论.

答案1．【正确答案】D【详解】由题意，，所以.故选D.2．【正确答案】C【详解】点关于平面对称的点的坐标为故选C.3．【正确答案】B【详解】作出函数在处的切线，如图所示.根据导数的几何意义及图中切线的斜率可知.故选B.4．【正确答案】D【详解】由题意可得在上的投影向量为.故选D.5．【正确答案】B【详解】函数的导函数为，函数在处的切线的导数即为切线的斜率为，且切线与直线平行，则有，可得.故选B.6．【正确答案】B【详解】故选B.7．【正确答案】D【详解】A.的解集为函数的单调递减区间，为，故A错误；B.函数只有1个变号零点，所以函数有1个极值点，故B错误；C.当时，，所以函数的单调递减区间为，故C错误；D.当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以是函数的极小值点，故D正确.故选D.8．【正确答案】D【详解】如图，建立如图所示空间直角坐标系，设，是的中点，则，由于，即，所以，所以的中点应在以为球心，半径为1的球面上，则该点的轨迹是以为球心的球面．该点的轨迹与三棱锥围成的几何体的体积是球体的或是该三棱锥的体积去掉球体的体积而剩余的部分的体积．由于球体的体积，三棱锥的体积是，该点的轨迹与三棱锥围成的几何体的体积是，或，应选答案D．

点睛：解答本题的难点是依据题设条件搞清楚线段的中点的轨迹的性质与性质，然后再借助空间图形的特征判断该轨迹三棱锥围成的几何体的形状，然后求其体积，从而使得问题获解．9．【正确答案】CD【分析】由基本初等函数导数运算可判断A；由函数定义域可判断B；由导数的物理意义可判断C；由复合函数求导法则可判断D.【详解】对于A，，故A错误；对于B，函数定义域为正实数，故B错误；对于C，，当时，，故C正确；对于D，若，则.故选CD.10．【正确答案】BC【详解】对于A，若空间向量满足，则，这显然是错误的，因为向量相等要满足大小相等，方向相同；对于B，在正方体中，必有，这显然是正确的，因为他们的长度相等，两直线平行，并且方向相同；对于C，若空间向量满足，则，这显然是正确的，因为向量的相等也具有传递性；对于D，在空间中，，则，当时，因为任何向量与都是共线向量，所以是不一定成立的，故D错误；故选BC.11．【正确答案】ABD【详解】对于A：当2<x<3时，fx=3−x则函数fx在2,3对于B：当x<2时，fx=3−xex+a−1，则f'x=2−xex>0，则函数fx在−∞,2上单调递增；当x>3时，fx=x−3对于C：当a>1时，a−1>0，f2=e2+a−1>0，当x<2时，fx则当a>1时，方程fx=0无实根，即函数对于D：当a=1时，fx=x−3ex，由以上讨论，可知当而f2=e2>3，由图可知，方程fx=3有3个实根，则故选：ABD12．【正确答案】1【详解】由，则，所以，得.13．【正确答案】【详解】∵，∴，∴，∴.14．【正确答案】【详解】边上的中点坐标为，所以边上的中线的长是.15．【正确答案】(1)(2)在和上单调递增，在上单调递减；极大值为，极小值为【详解】（1）由，有，则，，故切点坐标为，切线斜率为12，切线方程为，即；（2）令，解得x=0或x=1，故当时，，当时，，当时，故函数在和上单调递增，在上单调递减；故函数的极大值为，极小值为.16．【正确答案】（1）；（2）.【详解】（1），∴，∴.（2），，，.17．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：，所以A，E，，F四点共面.（2），，，，.18．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则．，可得，所以，又因为平面BDE，平面BDE，所以平面BDE；（2），，，设平面BDE的法向量为，则取，可得．所以，故直线与平面BDE所成的角的正弦值为．19．【正确答案】(1)当时，在上单调递增，无减区间；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；(2)当或时，在上有唯一零点；当时，在上没有零点；当，在上有两个不同的零点.【详解】（1）因为，所以，当时，，所以在上单调递增，当时，令，得，若，则，从而，若，则，从而，从而函数在上单调递增，在上单调递减，即的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，，，又因为在上是连续不间断的，所以在上有唯一零点，所以当时，在上有唯一零点，当时，在上有唯一零点，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以在上没有零点，当时