第01讲 空间向量及其线性运算与7考点精讲（学生版）-25新高二数学-高一升高二暑假预习课

第01讲空间向量及其线性运算目录TOC\o"1-2"\h\u1197第01讲空间向量及其线性运算 14421一、空间向量概念 211602基础知识 232221考点1空间向量相关概念 28087二、空间向量线性运算 415366基础知识 428366考点2空间向量加减运算 422378考点3空间向量线性运算 53887考点4由空间向量的线性运算求参数 630148三、共线、共面向量 912357基础知识 911825考点5向量共线的判定 10912考点6向量共面的判定 1120413考点7由空间向量共线、共面求参数 126476四、课后作业 1314727单选题 133215多选题 1414590填空题 1516652解答题 15

一、空间向量概念基础知识1．空间向量概念(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量；(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量.考点1空间向量相关概念【例1.1】（23-24高二上·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（

）A．向量AB与BA的长度相等B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段D．不相等的两个空间向量的模必不相等【例1.2】（23-24高二上·山东聊城·阶段练习）给出下列命题：①空间向量就是空间中的一条有向线段；②在正方体ABCD−A1B③a=b是向量④若空间向量m,n,p满足m∥其中正确的命题的个数是（

）．A．1 B．2 C．3 D．0【变式1.1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知正方体ABCD−A′B①OA+OD与②OB−OC与③OA+OB+④OA′−A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1.2】（23-24高二上·全国·课后作业）给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a,b满足a=④若空间向量m,n,p满足⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（

）A．4 B．3C．2 D．1

二、空间向量线性运算基础知识1．空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并.(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则.(3)空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.考点2空间向量加减运算【例1.1】（23-24高二下·北京·开学考试）已知平行六面体ABCD−A′BA．ABB．AC．AD．AB【例1.2】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知E,F分别是空间四边形ABCD的对角线AC,BD的中点，点G是线段EF的中点，P为空间中任意一点，则PA+PB+A．PG B．2PG C．3PG 【变式1.1】（23-24高二上·江西景德镇·期末）在空间四边形OABC中，化简OA+AB−A．OA B．OCC．AC D．OB【变式1.2】（23-24高二上·河北保定·期末）在三棱锥P−ABC中，M为AC的中点，则PM=（

A．12BA+C．12BA+考点3空间向量线性运算【例2.1】（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱ABC−A1B1C1中，E是BC的中点，A．13AB−C．−13AB【例2.2】（23-24高二上·贵州·阶段练习）如图，在四面体ABCD中，E,F分别为BC,AE的中点，G为△ACD的重心，则FG=（

A．−B．−C．1D．1【变式2.1】（23-24高二上·山东德州·期中）四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则AD+12A．AB B．AC C．AE D．DE【变式2.2】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）求a+2b−3A．2a+3C．2a−5考点4由空间向量的线性运算求参数【例3.1】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=A．3 B．2 C．12 D．【例3.2】（22-23高二上·福建莆田·期末）如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点M在BB1上，点N在DDA．16 B．13 C．23【变式3.1】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点A．x=−12,y=C．x=−12,y=−【变式3.2】（23-24高二·江苏·假期作业）如图所示，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝13BB1，DF＝23DD1.若EF=xAB+yAD+zAAA．﹣1 B．0 C．13

三、共线、共面向量基础知识1．共线向量(1)空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a.(3)共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；②证明三点共线.【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.2．共面向量(1)共面向量如图，如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．(2)向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)共面向量定理的用途：①证明四点共面；②证明线面平行.考点5向量共线的判定【例1.1】（23-24高二·湖南·课后作业）已知向量a，b，c不共面，AB=4a+5b+3c，AC=2a+3【例1.2】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱ABCD−A′B′C′D′的六个面都是平行四边形，点M在对角线A′(1)设向量AB=a，AD=b，AA′=c，用a、(2)求证：M、N、D′【变式1.1】（23-24高二上·全国·课前预习）已知A,B,P三点共线，O为直线外空间任意一点，若OP=αOA+β【变式1.2】（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间的9个点，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，求证：（1）AC//（2）OG=k考点6向量共面的判定【例2.1】（23-24高二·湖南·课后作业）如图，四边形ABCD是平行四边形，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使OEOA=OFOB=OGOC=OH【例2.2】（2024高二上·全国·专题练习）已知A,B,M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A,B,M是否共面．(1)OB+(2)OP=4【变式2.1】（2023高二·全国·专题练习）如图，已知O､A､B､C､D､E､F､G､H为空间的9个点，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，AC=AD+mAB，EG=EH+mEF，k,m∈R.求证：A【变式2.2】（23-24高二·全国·课后作业）如图，已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，AC=(1)求证：A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；(2)求证：平面ABCD//平面EFCH(3)求证：OG=k考点7由空间向量共线、共面求参数【例3.1】（23-24高二上·辽宁·期中）设向量e1,e2,e3不共面，已知AB=−3eA．0 B．1 C．2 D．3【例3.2】（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）O为空间任意一点，若AP=−14OA+18OB+tOC，若A，A．1 B．98 C．18 【变式3.1】（22-23高二下·福建龙岩·期中）设向量e1，e2，e3不共面，已知AB=e1+e2+e3，BC=A．1 B．2 C．3 D．4【变式3.2】（23-24高二·全国·课后作业）已知O为空间任意一点，A,B,C,P满足任意三点不共线，但四点共面，且BP=mOA+A．−1 B．2 C．−2 D．−3

四、课后作业单选题1．（23-24高二上·新疆·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．若a<b，则a<b B．若aC．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中，AB2．（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方体ABCD−A1B1CA．C1B B．BC1 C．3．（2024高二·全国·专题练习）已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，N为CD中点，如图所示，则AB+A．AN B．CNC．BC D．14．（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1A．12a+C．−12a5．（23-24高二上·北京·期中）已知MA,MB是空间两个不共线的向量，MC=5A．MA,MC共线 B．C．MA,MB,MC共面6．（22-23高二上·福建福州·阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有ABB．a−b=a+C．若AB，CD共线，则ABD．对空间任意一点O不共线的三点A，B，C，若OP=xOA+yOB+zOC（其中x，y，z7．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知e1、e2、e3为空间三个不共面的向量，向量a=e1+μe2+4eA．−3 B．3 C．−15 D．158．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，若正实数x,y满足OD=xOA+2yOB−A．52 B．92 C．2多选题9．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）下列选项中正确的是（

）A．若存在实数x，y，使MP=xMA+yMB，则点P，M，B．若p与a,b共面，则存在实数x，y，使C．若向量a、b所在的直线是异面直线，则向量D．若a、b、c是空间三个向量，则对空间任一向量p，总存在唯一的有序实数组10．（23-24高二上·山西长治·期末）在三棱锥O−ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在直线OA上，且OM=2MA，A．ON=12C．NA=12填空题11．（23-24高二上·湖北荆州·期末）如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，MN=2NO，设OA=a，OB=b，OC12．（23-24高二上·河北石家庄·期末）有下列命题：①若AB//CD，则②若AB//AC，则③若e1,e2为不共线的非零向量，④若向量e1,e2,其中是真命题的序号是（把所有真命题的序号都