【高考数学】2026版53高考总复习A版 数学10 3　二项分布 超几何分布及正态分布含答案

【高考数学】2026版53高考总复习A版数学103二项分布超几何分布及正态分布10.3二项分布、超几何分布及正态分布高考新风向·回顾教材思维引导回归本质(多选)(2024新课标Ⅰ,9,6分,中)随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x,s2),则(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.8413) ()A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5D.P(Y>2)<0.8本题是对正态分布的考查,此类问题多利用正态分布曲线的对称性,本题也不例外.题目给出的实际上是两个随机变量,它们都满足正态分布,分析出它们对应的μ和σ,结合题目给出的概率数据,利用对称性就可以分析出四个选项中相应概率的范围.答案BC五年高考考点1二项分布1.(2019课标Ⅰ理,15,5分,中)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是.

答案0.182.(2018课标Ⅰ理,20,12分,易)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是不是不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?解析(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C202p2(1-p)因此f'(p)=C202[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2C202p(1-p)17·(1-10p).令f'(p)=0,得p=0.1,当p∈(0,0.1)时,f'(当p∈(0.1,1)时,f'(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1,(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于EX>400,故应该对这箱余下的所有产品作检验.3.(2020北京,18,14分,中)某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应的活动方案:方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.(1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;(2)从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人支持方案一的概率;(3)将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0.假设该校一年级有500名男生和300名女生,除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1.试比较p0与p1的大小.(结论不要求证明)解析(1)设“该校男生支持方案一”为事件A,“该校女生支持方案一”为事件B.依题意知,抽取的样本中共有男生600人,其中支持方案一的有200人,故P(A)=200600=13;故P(B)=300400(2)由(1)可知,“该校男生支持方案一”的概率估计值为13;“该校女生支持方案一”的概率估计值为3设“抽取的该校2个男生和1个女生中,支持方案一的恰有2人”为事件C,该事件包括“2个男生均支持方案一而女生不支持方案一”“2个男生中有且只有1人支持方案一且女生支持方案一”,故所求概率为P(C)=13(3)p1<p0.由样本的频率估计总体概率,该校学生支持方案二的概率估计值为p0=350+150600+400该校一年级男生中支持方案二的约有350350+250×500≈292人,该校一年级女生中支持方案二的约有150250+150×300≈113人,假设一年级学生中支持方案二的概率为p2,则p2=(292+113)÷(500+300)=81160则p2>p0,故可知该校除一年级外其他年级学生支持方案二的概率应低于平均概率,即p1<p0.考点2超几何分布1.(2022浙江,15,6分,中)现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)=,E(ξ)=.

答案1635;2.(2023全国甲理,19,12分,中)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望.(2)试验结果如下:对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表:<m≥m对照组试验组(ii)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异?附:K2=n(P(K2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635.解析(1)依题意得,X的所有可能取值为0,1,2,则P(X=0)=C20P(X=1)=C20P(X=2)=C20∴X的分布列为X012P192019∴E(X)=0×1978+1×(2)(i)依题意可得m=23.2+23.62=23.4则对照组样本中小于m的数据的个数为6,试验组样本中小于m的数据的个数为14,则列联表为<m≥m对照组614试验组146(ii)由(i)中列联表可得K2=40×(6×6−14×14)220×20×20×20=6.4>3∴有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.考点3正态分布1.(2021新高考Ⅱ,6,5分,易)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不正确的是()A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等答案D2.(2022新高考Ⅱ,13,5分,易)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)=.

答案0.143.(2017课标Ⅰ理,19,12分,中)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望.(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x=116i=116xi=9.97,116i=116(xi−x)2=116用样本平均数x作为μ的估计值μ^,用样本标准差s作为σ的估计值σ^,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ^−3σ^,μ^+3σ附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.9974.0.997416≈0.9592,0.008≈0.09.解析(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026,故X~B(16,0.0026).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997416≈0.0408.X的数学期望为EX=16×0.0026=0.0416.(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由x=9.97,s≈0.212,得μ的估计值为μ^=9.97,σ的估计值为σ^=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^−3σ^,剔除(μ^−3σ^,μ^+3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为115×(16×9.97-9.22)=10i=116xi2=16×0.2122+16×9.97剔除(μ^−3σ^,μ^+3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为115×(1591.134-9.222因此σ的估计值为0.008≈0.09.三年模拟基础强化练1.(2025届江苏前黄中学检测,4)已知(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,随机变量ξ~N(μ,σ2),其正态密度曲线如图所示,若a1a2=E(ξ)D(ξ),则n的值为(A.5B.8C.9D.14答案A2.(2024湖南师大附中月考六,4)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3答案B3.(2024广东江门二模,7)一箱苹果共有12个苹果,其中有n(2<n<7)个是烂果,从这箱苹果中随机抽取3个,恰有2个烂果的概率为3n55,则n=(A.3B.4C.5D.6答案B4.(2024河南开封第三次质量检测,6)在某项测验中,假设测验数据服从正态分布N(78,16).如果按照16%,34%,34%,16%的比例将测验数据从大到小分为A,B,C,D四个等级,则等级为A的测验数据的最小值可能是()(附:若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤σ)≈0.6827,P(|X-μ|≤2σ)≈0.9545)A.94B.86C.82D.78答案C5.(2025届重庆实验外国语学校第三次考试,16)某校机器人社团为了解市民对历年“数博会”科技成果的关注情况,在市内随机抽取了1000名市民进行问卷调查,问卷调查的成绩ξ近似服从正态分布N(77,σ2),且P(77≤ξ≤80)=0.3.(1)估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数;(2)若本次问卷调查得分超过80分,则认为该市民对“数博会”的关注度较高,现从市内随机抽取3名市民,记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.解析(1)由问卷调查的成绩ξ近似服从正态分布N(77,σ2),且P(77≤ξ≤80)=0.3,得P(ξ>80)=P(ξ≥77)-P(77≤ξ≤80)=0.5-0.3=0.2,1000×0.2=200,所以抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数约为200.(2)由(1)知,事件“对‘数博会’的关注度较高”的概率为P=15X的可能取值为0,1,2,3,易知X~B3,1则P(X=0)=C3P(X=1)=C3P(X=2)=C3P(X=3)=C3所以X的分布列为X0123P6448121X的数学期望为E(X)=3×15能力拔高练1.(2025届湖北新高考协作体开学考,8)小明有一枚质地不均匀的骰子,每次掷出后出现1点的概率为p(0<p<1),他掷了k次骰子,最终有6次出现1点,但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数,现以使P(X=6)最大的N值估计N的取值并计算E(X).(若有多个N使P(X=6)最大,则取其中的最小N值)下列说法正确的是()A.E(X)>6B.E(X)<6C.E(X)=6D.E(X)与6的大小无法确定答案B2.(2024辽宁省三所重点中学第三次模拟,19)某自然保护区经过几十年的发展,某种濒临灭绝动物数量有大幅度增加.已知这种动物P拥有两个亚种(分别记为A种和B种).为了调查该区域中这两个亚种的数目,某动物研究小组计划在该区域中捕捉100只动物P,统计其中A种的数目后,将捕获的动物全部放回,作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次,记第i次试验中A种的数目为随机变量Xi(i=1,2,…,20).设该区域中A种的数目为M,B种的数目为N(M,N均大于100),每一次试验均相互独立.(1)求X1的分布列.(2)记随机变量X=120i=120Xi.已知E(Xi+Xj)=E(Xi)+E(Xj),D(Xi+Xj)=D(Xi)+(i)证明:E(X)=E(X1),D(X)=120D(X1(ii)该小组完成所有试验后,得到Xi的实际取值分别为xi(i=1,2,…,20).数据xi(i=1,2,…,20)的平均值x=30,方差s2=1.采用x和s2分别代替E(X)和D(X),给出M,N的估计值.已知随机变量X服从超几何分布记为X~H(P,n,Q)(其中P为总数,Q为某类元素的个数,n为抽取的个数),则D(X)=nQP1−解析(1)依题意,X1服从超几何分布,故X1的分布列为P(X1=k)=CMkCN100−kCM+X101…99100PCC…CC(2)(i)证明:由题可知Xi(i=1,2,…,20)均服从完全相同的超几何分布,所以E(X1)=E(X2)=…=E(X20),E(X)=E120i=120Xi=120Ei=120Xi=120iD(X)=D1=1202i=120D(Xi)=1202×20·D(X1)=故E(X)=E(X1),D(X)=120D(X1)(ii)由(i)可知X的均值E(X)=E(X1)=100M由公式得X1的方差D(X1)=100MN所以D(X)=5MN依题意有100解得N=1456,M=624,所以可以估计M=624,N=1456.创新风向练1.(创新情境)(2025届湖北部分高中期中,7)英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.一个高尔顿钉板的设计图如图,每一黑点表示钉在板上的一颗钉子,它们彼此的距离均相等,上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗钉子的正中间,小球每次下落,将随机向两边等概率地下落.数学课堂上,老师向学生们介绍了高尔顿钉板.放学后,爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”,它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时,向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时,最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下,经过5层钉板最终落到4号位置的概率是()A.881C.24答案A2.(创新知识交汇)(2025届河北部分地区摸底考,14)在一次抽奖活动中,抽奖箱里有编号为1到n(n∈N*,n≥5)的n个相同小球.每次抽奖从箱中随机抽取一个球,记录编号后放回.连续抽奖5次,设抽到编号为k(1≤k≤n)的小球的次数为X,已知X服从二项分布B5,1n.若(a+bx)n展开式中的x3系数是X=3的概率的10倍,则an-3b3的值为.(结果用含n的式子表示答案600(n−1)n11.1用样本估计总体五年高考考点抽样方法与总体分布的估计1.(2024新课标Ⅱ,4,5分,易)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得下表:亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)频数61218302410根据表中数据,下列结论中正确的是()A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间答案C2.(2022全国甲,2,5分,易)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:则()A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差答案B3.(2021全国甲理,2,5分,易)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是()A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间答案C4.(2020课标Ⅲ文,3,5分,易)设一组样本数据x1,x2,…,xn的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的方差为()A.0.01B.0.1C.1D.10答案C5.(多选)(2021新高考Ⅱ,9,5分,易)下列统计量中可用于度量样本x1,x2,…,xn离散程度的有()A.x1,x2,…,xn的标准差B.x1,x2,…,xn的中位数C.x1,x2,…,xn的极差D.x1,x2,…,xn的平均数答案AC6.(多选)(2021新高考Ⅰ,9,5分,易)有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则()A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同答案CD7.(多选)(2023新课标Ⅰ,9,5分,中)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则()A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差答案BD8.(2021全国乙,文17,理17,12分,中)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如表:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y,样本方差分别记为(1)求x,y,s12,(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高如果y−x≥2s12+解析(1)x=110(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10y=110(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10s12=110[(9.8-10.0)2+(10.3-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.9-10.0)2+(9.8-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.7-10.0)2s22=110[(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2(2)由(1)得y−x=0.3,s12从而(y−x)2=0.09,2s12+s所以(y−x)2>2s12+s因此新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.9.(2023全国乙理,17,12分,难)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下:试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),记z1,z2,…,z10的样本平均数为z,样本方差为s2.(1)求z,s2;(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高如果z≥2s210,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,解析(1)zi=xi-yi(i=1,2,…,10)依次为9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,则z=110×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12s2=110×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=61(2)由(1)知z=11,s2=61,则z−2s∴z≥2s210.(2022新高考Ⅱ,19,12分,中)在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图:(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率;(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.0001).解析(1)平均年龄为(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(岁).(2)设事件A为“该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)”,P(A)=(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)×10=0.89,∴估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率为0.89.(3)设事件B=“任选一人年龄位于区间[40,50)”,事件C=“任选一人患这种疾病”,由条件概率公式可得P(C|B)=P(BC)P(B11.(2023新课标Ⅱ,19,12分,难)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);(2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值.解析(1)由题意知(c-95)×0.002=0.5%,(1分)得c=97.5,(2分)q(c)=0.01×2.5+5×0.002=0.035=3.5%.(4分)(2)当c∈[95,100]时,f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+5×0.002=-0.008c+0.82≥0.02.(7分)当c∈(100,105]时,f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(105-c)×0.002=0.01c-0.98>0.02.∴f(c)=−0.008c+0.82,95≤c≤100,由于f(c)在区间[95,100]单调递减,在区间(100,105]单调递增,(该理由一定要写,不写扣分)(10分)∴f(c)min=f(100)=0.02.(12分)三年模拟基础强化练1.(2024河南名校高考模拟,1)已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩(单位:分)为72,78,80,81,83,86,88,90,则这组数据的第75百分位数是()A.86B.87C.88D.90答案B2.(2024重庆第二次质量检测,4)一组数据按从小到大的顺序排列为2,4,m,13,16,17,若该组数据的中位数是极差的35,则该组数据的第40百分位数是()A.4B.4.5C.5D.9答案C3.(2024山西部分学校月考,6)已知一组正数x1,x2,x3,x4,x5的方差为s2=15i=15xi2-9,则另一组数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,2x4-1,2A.4B.5C.6D.7答案B4.(2025届云南昆明一中第二次联考)从某小型加工厂生产的产品中抽取100件作为样本,将该样本进行某项质量指标值测量,下图是测量结果x的频率分布直方图.若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,则在下列选项中,关于该样本统计量的叙述不正确的选项是()A.质量指标值在区间[195,205)的产品约有33件B.质量指标值的极差在50与70之间C.质量指标值的第60百分位数大于205D.质量指标值的方差的估计值是150答案C5.(多选)(2025届广东部分学校大联考,9)降雨量是指从天空降落到地面上的液态或固态(经融化后)水,未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度,一般以毫米为单位.降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少,它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响.如图,这是A,B两地某年上半年每月降雨量的折线统计图.下列结论正确的是()A.这年上半年A地平均月降雨量比B地平均月降雨量大B.这年上半年A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数大C.这年上半年A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大D.这年上半年A地月降雨量的80%分位数比B地月降雨量的80%分位数大答案ACD6.(多选)(2025届重庆名校联盟第一次联考,10)甲、乙两支田径队的体检结果为:甲队体重的平均数为60kg,方差为200,乙队体重的平均数为70kg,方差为300,又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4,则下列说法正确的是()A.甲、乙两队全部队员的平均体重是68kgB.甲、乙两队全部队员的平均体重是65kgC.甲、乙两队全部队员体重的方差是296D.甲、乙两队全部队员体重的方差是306答案AC能力拔高练1.(2024上海虹口期末,14)空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数,其对应关系如下表:空气质量指数(AQI)0~5051~100101~150151~200201~300>300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响,某科学兴趣小组在工厂附近某处测得10月1日—20日AQI的数据并绘成折线图如下:下列叙述正确的是()A.这20天中AQI的中位数略大于150B.10月4日到10月11日,空气质量越来越好C.这20天中的空气质量为优的天数占25%D.10月上旬AQI的极差大于中旬AQI的极差答案C2.(多选)(2025届甘肃高考模拟,9)已知一组数据x1,x2,…,x10是公差为2的等差数列,若去掉首末两项,则()A.平均数变大B.中位数不变C.方差变小D.极差变小答案BCD3.(多选)(2024重庆渝中期中,9)在某市高三年级举行的一次模拟考试中,某学科共有20000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况,从中随机抽取了100名学生的成绩(成绩均为正整数,满分为100分)作为样本进行统计,并按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示(同一组中数据用该组区间中点值代表).则下列说法正确的是()A.样本的众数为70B.样本的80%分位数为78.5C.估计该市全体学生成绩的平均分为70.6D.该市参加测试的学生中低于60分的学生大约有320人答案BC4.(多选)(2025届浙江杭州开学考,9)有一组互不相等的样本数据x1,x2,…,x6,平均数为x,若随机删去其中一个数据,得到一组新数据,记为y1,y2,…,y5,平均数为y,则()A.新数据的极差可能等于原数据的极差B.新数据的中位数可能等于原数据的中位数C.若x=yD.若x=y,则新数据的40%分位数一定大于原数据的40答案AC5.(2025届福建漳州第一次质检,14)2024年新高考数学Ⅰ卷多选题的计分标准如下:①本题共3小题,每小题6分,共18分;②每小题四个选项中有两个或三个正确选项,全部选对的得6分,有选错或不选的得0分;③部分选对的得部分分.考生甲在此卷多选题的作答中,第一小题选了三个选项,第二小题选了两个选项,第三小题选了一个选项,则他多选题的所有可能总得分(相同总分只记录一次)的第80百分位数为.

答案136.(2025届湖南衡阳四中月考,18)2023年,某地为了帮助中小微企业渡过难关,给予企业一定的专项贷款资金支持.该地120家中小微企业的专项贷款金额(万元)的频率分布直方图如图.(1)确定a的值,并估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数(结果保留整数).(2)按专项贷款金额进行分层随机抽样,从这120家中小微企业中随机抽取20家,记专项贷款金额在[200,300]内应抽取的中小微企业数为m.①求m的值;②从这m家中小微企业中随机抽取3家,求这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200,250)内的概率.解析(1)根据频率分布直方图所有小矩形面积之和为1得(0.002+0.003+a+0.006+a+0.001)×50=1,解得a=0.004,设中位数为t,专项贷款金额在[0,150)内的频率为0.45,在[0,200)内的频率为0.75,所以t在[150,200)内,则(t-150)×0.006=0.5-0.45,解得t≈158,所以估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数为158万元.(2)①由题意,知抽样比为20120专项贷款金额在[200,300]内的中小