概率论与数理统计 课件 1.2 概率1

概率论与数理统计（慕课版）1.2概率第1章随机事件与概率01频率与概率02古典概率03几何概率本讲内容301

频率与概率设在n

次试验中，事件A

发生了m

次，

1.频率与概率则称为事件A发生的频率

.401

频率与概率频率的稳定性

试验表明：尽管“出现正面”这个结果具有偶然性，但随着试验次数的增多，“出现正面”的“可能性”越来接近于常数0.5.——这个性质称为“频率的稳定性”.历史上的几位数学家抛硬币的试验,观察出现正面的情况试验者投掷次数正面次数正面频率De.Morgan204810610.518Buffon404020480.5069K.Person1200060190.5016K.Person24000120120.5005例如501

频率与概率

概率的统计定义在相同条件下重复进行的n

次试验中,事件A

发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动,

且随n越大摆动幅度越小,则称p为事件A

的概率,记作P(A).对本定义的评价优点：直观易懂缺点：粗糙模糊不便使用01频率与概率02古典概率03几何概率本讲内容在概率论发展的历史上，最早研究的一类最直观、抛掷一枚均匀的硬币，或抛掷一颗均匀的骰子，这类随机试验，它们都有如下的两个特点：702

古典概率📚例1最简单的问题是等可能摡型，在这类问题中，样本空间中每个样本点出现的可能性是相等的.基本事件的个数有限.🎯结论具有上述特点的随机试验E称为古典概型.每个基本事件等可能性发生.设随机试验E为古典概型，记:对古典概率的计算可以转化为对样本点的计数802

古典概率古典概率概率的古典定义.📢注问题，该问题通常可以借助排列组合公式以及加法和乘法原理等进行计算.

则

样本空间S中所包含的基本事件的个数.

事件A中所包含的基本事件的个数.902

古典概率📝加法原理📝乘法原理设完成一件事有m种方式，第i种方式有ni种方法，则完成这件事共有：n1+n2+⋯+nm

种不同的方法.设完成一件事需要m个步骤，第i个步骤有ni种方法，则完成这件事共有：n1×n2×…×nm

种不同的方法.1002

古典概率📝排列公式📝组合公式从n个不同元素中任取k个的不同排列总数.从n个不同元素中任取k个的不同组合总数.

1102

古典概率📚例2从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取四个组成四位数，则所有可能组成的四位数共有多少个.解

1202

古典概率📚例3从10名辩论赛培训队员中选出4名组成一个参赛队，问共有多少种组队方法？解按组合的定义，组队方法共有

（种）（1）作放回抽样（每次抽取后记录结果，然后放回）；（2）作不放回抽样（抽取后不再放回）；1302

古典概率📚例4

箱中放有a+b个外形一样的手机充电器（不含充电线），其中a个充电器具有快充功能，其余b个没有快充功能，k(k≤a+b)个人依次在箱中取一个充电器，求第i(i=1,2,⋯,k)人取到具有快充功能的充电器（记为事件A）的概率.例1.3（1）放回抽样的情况下，每个人都有a+b

种抽取1402

古典概率解法，古典概率的定义:（抽到具有快充功能的充电器）包含a种抽取方法，由于其中a个充电器具有快充功能，因此事件A由

1502

古典概率（2）在不放回抽样的情况下，k个人依次抽取，根据乘

法原理，完成抽取后样本空间共有个基本结果.于事件A

要求第i人抽到具有快充功能的充电器，由第i人有a种取法，其余k−1人从剩余的a+b−1个充电器

种取法，中任选k−1

个，有

种基本结果，由古典概率的定义：A共包含根据乘法原理事件因而

1602

古典概率从该例可以看出，无论是放回抽样还是不放回抽样，抽到具有快充功能充电器的概率都和抽取顺序无关.此问题和抽签问题类似，因此从概率意义上，抽签是公平的，不必争先恐后.设有N件产品，其中有M件次品，现从这N件中任取n件，求其中恰有k件次品的概率.1702

古典概率解超几何公式.📢注令A={恰有k件次品}📚例1.4

01频率与概率02古典概率03几何概率本讲内容古典概型考虑了样本空间仅包含有限个样本点的等(1)设样本空间S是平面上某个区域，它的面积记为μ(S);S1903

几何概率📝几何概型(古典概型的推广)可能概率模型，但等可能概型还有其它类型，间为一线段、平面或空间区域等，几何概型，思路如下：如样本空这类等可能概型称为该点落入S内任何部分区域内的可能性只与这部分区域(2)向区域S上随机投掷一点，“随机投掷一点”的含义是:S20的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关.03

几何概率设事件A是S的某个区域，它的面积为μ(A)，则向区域S上随机投掷一点，该点落在区域A的概率为：SA21

03

几何概率22(3)假如样本空间S可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向S上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用确定，只不过把

理解为长度

或体积即可.03

几何概率23几何概率率为:设样本空间为有限区域S,若样本点落入S内任何区域A中的概率与区域A的测度成正比,则样本点落入A内的概03

几何概率

某城际列车每1小时发一班车,某人开完会后到候车厅候车，求他候车时间少于10分钟的概率.📚例1.524解以分钟为单位,记上一班车发出时刻为0，下一班车发出时刻为60,因此这个人到达候车厅的时间必在区间(0,60)内,记“等待时间短于10分钟”为事件A，则有03

几何概率25

于是：03

几何概率

某销人员和客户相约7点到8点之间在某地会面，先到者等候另一人半个小时，过时就离开.如果每个人可在指定的一小时内任意时刻到达，试计算二人能够会面的概率.📚例1.6（会面问题）

26解记7点为0时刻，x,y分别表示甲、乙两人到达指定03

几何概率地点的时刻，则样本空间为：

27以A表示“两人能会面”，如图所示，根据题意，这是一个几何概型，于是

03

几何概率则有11212121|x-y|＜Oyx

拓展例题本讲内容29

古典概率📚例1解货架上有外观相同的商品15件，其中12件来自甲产地，3件来自乙产地.现从货架上随机抽取两件，求这两件商品来自同一产地的概率.A1表示“两件商品都来自甲产地”，A2

表示“两件商品都来自乙产地”.即样本空间中有105个样本点.有从15件商品中取出两件，共30

古典概率事件A1

要求两件商品都来自甲产地，因而事件A1

共包

含个样本点，个样本点.

同理事件包含而事件A=“两件上商品来自同一产地”可以表示A1∪A2

，且事件A1

和事件A2

互斥，k=k1+k2=69个样本点，所以这两件上商品来自同一产地的概率：因而事件A包含

假设该医院白内障手术的时间没有规定,而病人在一周的任一天去医院是等可能的.则5次白内障手术都在周二、周四的概率为31📚例2解

某医院一周曾做过5次白内障手术,已知这5次手术都是在周二和周四进行的,请问是否可以推断该医院白内障手术的时间是有规定的?

古典概率32人们在长期实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”（实际推断原理），

概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由现在

怀疑假设的正确性，来访者，即认为其接待时间是有规定的.从而推断接待站不是每天都接待

古典概率33📚例3某福利彩票游戏规则：购买者从01~35共35个号码中选取7个号码作为一注进行投注，7个号码中6个为基本号码另外1个号码为特别号码，每注彩票2元，每期销售彩票总金额的50%用来作为奖金.

古典概率奖项设置为一等奖：选7中6+1（不考虑基本号码的顺序）；二等奖：选7中6；三等奖：选7中5+1；四等奖：选7中5；五等奖：选7中4+1；六等奖：选7中4；七等奖：选7中3+1.试计算单注中奖概率.34解这一类型彩票游戏可以看作不放回摸球问题：袋中有35个（同类型）球，其中6个红球1个黄球，28个一个白球.现不放回从袋中取7个球，求7个球中恰有i个红球和j个黄球的概率，i=0,1,…6；j=0,1.

因此中一等奖的概率

古典概率

35类似可求得单注中k等奖的概率pk，k＝2,…,7，它们分别为：

古典概率36单注中奖概率为：

通过以上可以看出单注中奖的概率不到2%，而中头奖的概率仅有百万分之一点五左右，根据实际推断原理，偶尔买一次彩票就中大奖几乎是不可能的.

古典概率37📚例4

（分房模型）设有k

个不同的球,每个球等可能地落入N

个盒子中（），设每个盒子容球数无限，求下列事件的概率：（1）某指定的k

个盒子中各有一球；（2）某指定的一个盒子恰有m个球（）；

（3）恰有k个盒子中各有一球.

古典概率（1）某指定的k

个盒子中各有一球（3）恰有k

个盒子中各有一球（每个盒子至多一球）（2）某指定的一个盒子恰有m

个球()38

古典概率解

某班级有k(k≤365)个人，求k

个人的生日均不相同的概率.📚例4（“分房模型”的应用）下一讲揭晓.等价于：恰有k

个盒子中各有一球39

古典概率

问：如何求“至少有两人同生日”的概率？解40

古典概率📚例5袋子里有1~10号球，任取3个，求：(1)最小号码为5的概率；(2)最大号码为5的概率；(3)中间号码为5的概率。

则只需从前3次中任选