概率论与数理统计 课件 4.3 协方差和相关系数

概率论与数理统计（慕课版）4.3协方差和相关系数第4章数字特征与极限定理2前面我们介绍了一维随机变量的数学期望和方差,对于二维随机变量,除每个分量各自的概率特性外,相互之间可能还有某种联系,我们现在要讨论的就是反映分量之间关系的数字特征——协方差和相关系数第3讲

协方差和相关系数01协方差和相关系数的概念02协方差的计算03协方差和相关系数的性质04随机变量的矩本讲内容称为X,Y的协方差.记为若D(X)>0,D(Y)>0,称为X,Y的记为协方差和相关系数的概念4📝定义01

协方差和相关系数的概念相关系数协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系,但它还受X与Y本身度量单位的影响.5📝解释为了克服这一缺点,对协方差进行标准化,从而引入了相关系数的概念.01

协方差和相关系数的概念01协方差和相关系数的概念02协方差的计算03协方差和相关系数的性质04随机变量的矩本讲内容cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).由协方差的定义及期望的性质,可得cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E[XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)]=E(XY)-E(X)E(Y)即=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)计算协方差的简单公式702

协方差的计算的联合分布律为设保险公司对投保人的汽车保险和财产保险分别设定了免赔额(单位：元),现任选一位同时投保汽车保险和财产保险的客户,X表示其汽车保单的免赔额,Y表示其财产保单的免赔额,随机变量

YX01002001000.20.10.22500.050.150.3求cov(X,Y),8📚例102

协方差的计算

YX

01002001000.20.10.20.52500.050.150.30.50.250.250.5902

协方差的计算1002

协方差的计算11解设随机变量（X,Y）在区域上服从均匀分布，求📚例2因为区域D的面积为所以(X,Y)的概率密度为则02

协方差的计算12同理故02

协方差的计算设(X,Y)~N(

1,

2;

12,

22;

)利用二维正态分布及协方差相关系数的计算公式可得二维正态分布的数字特征1302

协方差的计算01协方差和相关系数的概念02协方差的计算03协方差和相关系数的性质04随机变量的矩本讲内容存在常数a,b(a≠0),使P(Y=aX+b)=1,即X和Y以概率1线性相关协方差和相关系数的性质1503

协方差和相关系数的性质X,Y相互独立X,Y不相关若称X,Y不相关.显然,若X与Y独立,

cov(X,Y)=0,反之,X与Y之间没有线性关系并不表示没有关系！显然是不相互独立的X,Y不相关16📚例303

协方差和相关系数的性质因为若X~N(0,1)且Y=X2,问X与Y是否不相关？是否相互独立？17解📚例4因为X~N(0,1),密度函数为偶函数,于是由得这说明X与Y是不相关的,但Y=X2显然,X与Y是不相互独立的.所以03

协方差和相关系数的性质若(X,Y)服从二维正态分布,X,Y相互独立X,Y不相关X,Y相互独立X,Y不相关相关系数含义及重要结论1803

协方差和相关系数的性质19解📚例503

协方差和相关系数的性质已知求由方差、协方差的性质及相关系数定义利用性质简化计算

因为X与Y相互独立,所以则由协方差的性质设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布思考：还有其他方法吗？20解📚例6已知其中a,

b为常数,求U和V的相关系数03

协方差和相关系数的性质

2103

协方差和相关系数的性质01协方差和相关系数的概念02协方差的计算03协方差和相关系数的性质04随机变量的矩本讲内容

2304

随机变量的矩矩——X的k

阶原点矩——X的k

阶中心矩——X,Y的k+l

阶混合原点矩——X,Y的k+l

阶混合中心矩拓展例题本讲内容设离散型随机变量X与Y的联合分布律为

YX-10100.070.180.1510.080.320.20求X与Y的相关系数25📚例102

协方差的计算由于解2602

协方差的计算从而X与Y的相关系数设随机变量（X,Y）具有概率密度27📚例2其他求02

协方差的计算28其他02

协方差的计算29解设X,与Y为两随机变量,且已知求:📚例3的数学期望;02

协方差的计算（2）（3）的方差.（1）(1)(2)3002

协方差的计算(3)31解

习题课📚例4设随机变量

服从区间

上的均匀分布，令

，求利用性质简化计算将一枚硬币重复掷𝑛次,X与Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X与Y的相关系数等于32解📚例5所以所以03

协方差和相关系数的性质33证明设二维随机变量(X,Y)的概率密度证明:📚例603

协方差和相关系数的性质（2）X与Y