《事件的关系和运算》同步学案(教师版)

高中数学精编资源2/2《事件的关系和运算》同步学案情境导入从一副扑克牌中任抽一张,设事件A表示“抽出的是红桃”,事件B表示“抽出的是梅花”,在一次抽取中事件A和事件B能同时发生吗?能同时不发生吗?提示:不能同时发生,但能同时不发生,如抽出的是黑桃或方块.自主学习自学导引事件的关系与运算定义表示法图示包含关系一般地,若事件A发生,则事件B______,称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B).如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B⊇A且A⊇B,则称事件A与事件B相等,记作_________._________(或_________)并事件一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在________中,或者在________中,称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)._________(或_________)交事件一般地,事件A与事件B__________,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)._________(或_________)事件互斥一般地,如果事件A与事件B__________发生,也就是说A∩B是一个不可能事件,则称事件A与事件B_________(或互不相容).若A∩B=∅,则A与B互斥事件对立一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,那么称事件A与事件B互为___________.事件A的对立事件记为__________.若A∩B=∅,且A∪B=Ω,则A与B对立答案一定发生A=BB⊇AA⊆B事件A事件BA∪BA+B同时发生A∩BAB不能同时互斥对立A预习测评1.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次,设事件A表示向上的一面出现的点数是3,事件B表示向上的一面出现的点数为奇数,事件A与B的关系是()A.事件B包含事件AB.事件B与事件A相等C.事件B与事件A是互斥事件D.事件B与事件A是对立事件2.抛掷一枚骰子,观察其朝上面的点数,若A=1,B=135,则事件A.1B.13C.153.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球,那么互斥但不对立的两个事件是()A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D.“至少有一个黑球”与“都是红球”4.某市送医下乡,将赵伟、张昊、王宏三位专家派到衡东、涧西、龙泉三所乡镇医院,每所医院分到1位专家,则事件“张昊被派到衡东”与事件“赵伟被派到衡东”是()A.对立事件B.互斥但不对立事件C.不可能事件D.必然事件答案1.A解析:由题意可得事件A发生,事件B一定发生,所以事件B包含事件A.2.A解析:1∩3.C解析:A中的两个事件能同时发生,故不互斥;同样,B中两个事件也可同时发生,故不互斥;D中两个事件是对立的.4.B解析:由互斥事件和对立事件的概念知,事件“张昊被派到衡东”与事件“赵伟被派到衡东”是互斥事件.又因为事件“王宏被派到衡东”也是可能发生的,所以事件“张昊被派到衡东”与事件“赵伟被派到衡东”不是对立事件.新知探究探究点1事件的关系知识详解1.包含关系.(1)概念及表示方法.一般地,对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B),记作B⊇A(或A⊆B).也就是说构成事件A的结果都在事件B的结果中.例如,掷一枚骰子,{出现1点}⊆{出现奇数点}.(2)图示.与两个集合的包含关系类比,可用下图表示.[特别提示]1.不可能事件记作∅,任何事件都包含不可能事件,即C⊇∅(C为任一事件).2.事件A也包含于事件A,即A⊆A.3.事件B包含事件A,其含义就是事件A发生,事件B一定发生,而事件B发生,事件A不一定发生.2.相等事件.(1)概念及表示方法.一般地,若B⊇A,且B⊆A,那么称事件B与事件A相等,记作A=B.例如,掷一枚骰子,{出现6点}={出现的点数大于5}.(2)图示.与两个集合的相等关系类比,可用如图表示.[特别提示]1.两个相等事件总是同时发生或同时不发生.2.所谓事件A=B,就是说事件A,B是同一事件.3.在验证两个事件是否相等时,常用到相等事件的定义.典例探究例1在掷骰子试验中,可以得到以下事件:A:{出现1点};B:{出现2点};C:{出现3点};D:{出现4点};E:{出现5点};F:{出现6点};G:{出现的点数不大于1};H:{出现的点数小于5};I:{出现奇数点};J:{出现偶数点}.请判断下列两个事件的关系:(1)B______H;2解析:因为出现的点数小于5包含出现1点,出现2点,出现3点,出现4点四种情况,所以事件B发生时,事件H必然发生,故B⊆H;同理D⊆J,E⊆I;又易知事件A与事件G相等,即A=G.答案:1变式训练1掷一枚质地均匀的硬币三次,得到如下三个事件:A为“3次正面向上”,B为“只有1次正面向上”,C为“至少有1次正面向上”,试判断事件A,B,C之间的包含关系.答案:当事件A发生时,事件C一定发生,当事件B发生时,事件C一定发生,因此有A⊆C,B⊆C;当事件A发生时,事件B一定不发生,当事件B发生时,事件A一定不发生,因此事件A与事件B之间不存在包含关系.综上,事件A,B,C之间的包含关系为:A⊆C,B⊆C.探究点2事件的运算知识详解1.并(和)事件.(1)概念及表示方法.若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件),记作A∪B(或A+B).例如,掷一枚骰子,{出现1点}∪{出现5点}={出现1点或5点}.(2)图示.与两个集合的并集类比,可用下图表示.[特别提示]并(和)事件包含三种情况:①事件A发生,事件B不发生;②事件A不发生,事件B发生;③事件A,B都发生,即事件A∪B表示事件A,B至少有一个发生.2.交(积)事件.(1)概念及表示方法.若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件),记作A∩B(或AB).例如,掷一枚骰子,{出现点数大于3}∩{出现的点数小于5}={出现4点}.(2)图示.与两个集合的交集类比,可用下图表示.典例探究例2盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球、2个白球},事件B={3个球中有2个红球、1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.(1)事件D与A,B是什么样的运算关系?(2)事件C与A的交事件是什么事件?解析:根据事件运算的定义解题,对于事件C和事件D需列出其包含的所有结果.答案:(1)对于事件D,可能的结果为1个红球、2个白球,或2个红球、1个白球,故D=A∪B.(2)对于事件C,可能的结果为1个红球、2个白球,或2个红球、1个白球,或3个红球,故C∩A=A.方法归纳:进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运算用Venn图分析事件.变式训练2设A,B,C表示三个随机事件,试用A,B,C的运算表示下列事件:(1)A出现,B,C不出现;(2)A,B都出现,C不出现;(3)三个事件至少有一个出现;(4)不多于一个事件出现;(5)三个事件至少有两个出现;(6)A,B,C中恰有两个出现.答案:(1)AB(2)ABC(3)A∪B∪C.(4)AB(5)ABC+ABC(6)ABC探究点3互斥事件与对立事件知识详解1.互斥事件.(1)概念及表示方法.若A∩B为不可能事件,即A∩B=∅,则称事件A与事件B互斥,其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生,例如,掷一枚骰子,{出现奇数点}与{出现2点}是互斥事件.(2)图示.与两个集合的交集为空集类比,可以用下图表示.[特别提示]1.事件A与事件B互斥表示事件A与事件B不可能同时发生,即A与B两个事件同时发生的概率为0.2.事件A与事件B互斥包含三种情况:①事件A发生,B不发生;②事件A不发生,B发生;③事件A不发生,B也不发生.注意与事件A∪B进行区别.2.对立事件.(1)概念及表示方法.若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件,其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,例如,掷一枚骰子,{出现奇数点}与{出现偶数点}是对立事件.(2)图示.与两个集合的补集类比,可以用下图表示,阴影部分为事件B.即事件A的对立事件B是全集中由事件A包含的结果组成的集合的补集,也可记作B=A[特别提示]1.在一次试验中,事件A和它的对立事件只能发生一个,并且必然发生一个,不可能两个都不发生或两个都发生,例如,掷一枚硬币,出现的结果可以是正面朝上,也可以是反面朝上,但不会出现第三种结果.2.根据对立事件的概念易知:若两个事件对立,则这两个事件是互斥事件;反之,若两个事件是互斥事件,则这两个事件未必是对立事件.3.对立事件是特殊的互斥事件,若事件A,B是对立事件,则事件A与事件B互斥,而且A∪B是必然事件.典例探究例3某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A为“只订甲报”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲报”,事件E为“一种报纸也不订”,判断下列每组事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件:(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E.解析:按照互斥事件与对立事件的定义进行判断.答案:(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件;由于事件B与事件E必有一个发生,故B与E是对立事件.(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”,即有可能“不订甲报”,也就是说事件B和事件D有可能同时发生,故B与D不是互斥事件.(4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”,也就是说事件B与事件C可能同时发生,故B与C不是互斥事件.(5)由(4)的分析,事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况,所以事件C与事件E可能同时发生,故C与E不是互斥事件.方法总结:辨析互斥事件与对立事件的思路.1从发生的角度看.(1)在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生,但不可能同时发生.(2)两个对立事件必有一个发生,但不可能同时发生,即两事件对立,必定互斥,但两事件互斥,未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例.2.从事件个数的角度看.互斥的概念适用于两个或多个事件,但对立的概念只适用于两个事件.变式训练3已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中任意取出3件,设E表示事件“3件产品全不是次品”,F表示事件“3件产品全是次品”,G表示事件“3件产品中至少有1件次品”,则下列结论正确的是()A.F与G互斥B.E与G互斥但不对立C.E,F,G任意两个事件均互斥D.E与G对立答案:D解析:由题意得事件E与事件F不可能同时发生,是互斥事件;事件E与事件G不可能同时发生,是互斥事件;当事件F发生时,事件G一定发生,所以事件F与事件G不是互斥事件,故A,C不正确,事件E与事件G中必有一个发生,所以事件E与事件G对立,所以B不正确,D正确.易错易混解读例从1,2,3,⋯,9中任取两数,给出下列各组事件:①“恰有一个偶数”和“恰有一个奇数”;②“至少有一个奇数”和“两个都是奇数”;③“至少有一个奇数”和“两个都是偶数”;④“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”.其中是对立事件的是()A.①B.②④C.③D.①③错解:D错因分析:本题错在没有理解对立事件的概念.对立事件的特点是两个事件不能同时发生且必有一个发生,①显然不符合条件.正解:从1,2,3,⋯,9中任取两数,有以下三种情况:(1)两个奇数;(2)两个偶数;(3)一个奇数和一个偶数.所以仅有③中的两个事件不能同时发生且必有一个发生.故选C.纠错心得:对于一些事件关系的判断,考虑问题要全面,最好能把事件的几个方面列举出来,然后根据“至多”、“至少”所包含的情况进行判断.课堂检测1.如果事件A、B互斥,那么()A.A∪B是必然事件B.A∪C.A与B一定互斥D.A与B一定不互斥2.抽查10件产品,设A={至少2件次品},则A=A.{至多2件次品}B.{至多2件正品}C.{至少2件正品}D.{至多1件次品}3.从2,4,6,8,10中任取三