数学几何高中题目及答案

数学几何高中题目及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.若直线\(l\)与平面\(\alpha\)所成角为\(30^{\circ}\)，直线\(l\)的方向向量为\(\vec{a}\)，平面\(\alpha\)的法向量为\(\vec{n}\)，则\(\sin\theta\)（\(\theta\)为\(\vec{a}\)与\(\vec{n}\)的夹角）的值为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)2.正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，异面直线\(A_{1}B\)与\(AD_{1}\)所成角为（）A.\(30^{\circ}\)B.\(45^{\circ}\)C.\(60^{\circ}\)D.\(90^{\circ}\)3.已知圆锥的底面半径为\(1\)，母线长为\(3\)，则该圆锥的侧面积为（）A.\(3\pi\)B.\(4\pi\)C.\(\pi\)D.\(2\pi\)4.若一个球的体积为\(4\sqrt{3}\pi\)，则它的表面积为（）A.\(12\pi\)B.\(8\pi\)C.\(4\pi\)D.\(16\pi\)5.直线\(l\)过点\((1,2)\)且与直线\(2x-y+1=0\)平行，则直线\(l\)的方程为（）A.\(2x-y=0\)B.\(2x-y-4=0\)C.\(x+2y-5=0\)D.\(x+2y-4=0\)6.圆\(x^{2}+y^{2}-4x+6y=0\)的圆心坐标为（）A.\((2,-3)\)B.\((-2,3)\)C.\((-2,-3)\)D.\((2,3)\)7.抛物线\(y^{2}=8x\)的焦点坐标是（）A.\((2,0)\)B.\((0,2)\)C.\((4,0)\)D.\((0,4)\)8.椭圆\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的离心率为（）A.\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)B.\(\frac{\sqrt{7}}{3}\)C.\(\frac{4}{5}\)D.\(\frac{3}{5}\)9.已知三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)的侧棱与底面垂直，\(AA_{1}=2\)，\(BC=2\)，\(\angleBAC=90^{\circ}\)，则三棱柱外接球的体积为（）A.\(\frac{4\pi}{3}\)B.\(\frac{8\pi}{3}\)C.\(\frac{16\pi}{3}\)D.\(\frac{32\pi}{3}\)10.直线\(x-\sqrt{3}y+1=0\)与圆\((x-1)^{2}+y^{2}=1\)的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.不确定二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下哪些是直线的方程形式（）A.点斜式B.斜截式C.两点式D.截距式2.正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，下列说法正确的是（）A.\(A_{1}C\)与\(BD\)垂直B.\(A_{1}B\)与平面\(A_{1}B_{1}CD\)所成角为\(45^{\circ}\)C.平面\(A_{1}BD\parallel\)平面\(CB_{1}D_{1}\)D.异面直线\(AD_{1}\)与\(A_{1}C_{1}\)所成角为\(60^{\circ}\)3.关于圆的方程，下列说法正确的是（）A.圆的标准方程\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\)中，圆心坐标为\((a,b)\)，半径为\(r\)B.圆\(x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0\)表示圆的条件是\(D^{2}+E^{2}-4F>0\)C.已知圆\(C_{1}\)：\(x^{2}+y^{2}+D_{1}x+E_{1}y+F_{1}=0\)和圆\(C_{2}\)：\(x^{2}+y^{2}+D_{2}x+E_{2}y+F_{2}=0\)，则两圆公共弦所在直线方程为\((D_{1}-D_{2})x+(E_{1}-E_{2})y+(F_{1}-F_{2})=0\)D.过圆外一点\(P(x_{0},y_{0})\)作圆\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\)的切线，切线长为\(\sqrt{(x_{0}-a)^{2}+(y_{0}-b)^{2}-r^{2}}\)4.椭圆的性质正确的有（）A.椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\)的长轴长为\(2a\)，短轴长为\(2b\)B.椭圆的离心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c\)为半焦距），且\(0<e<1\)C.椭圆上的点到两焦点距离之和为\(2a\)D.椭圆的焦点在\(x\)轴上时，焦点坐标为\((\pmc,0)\)5.抛物线\(y^{2}=2px(p>0)\)的性质有（）A.焦点坐标为\((\frac{p}{2},0)\)B.准线方程为\(x=-\frac{p}{2}\)C.抛物线上一点\((x_{0},y_{0})\)到焦点的距离为\(x_{0}+\frac{p}{2}\)D.过焦点的弦长\(AB=x_{1}+x_{2}+p\)（\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)）6.以下哪些几何体是旋转体（）A.圆柱B.圆锥C.棱锥D.球7.若直线\(l_{1}\)：\(A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0\)与直线\(l_{2}\)：\(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\)平行，则（）A.\(A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0\)B.\(A_{1}C_{2}-A_{2}C_{1}\neq0\)或\(B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1}\neq0\)C.两直线斜率相等D.两直线在\(y\)轴上截距不相等8.对于空间向量\(\vec{a}=(x_{1},y_{1},z_{1})\)，\(\vec{b}=(x_{2},y_{2},z_{2})\)，下列说法正确的是（）A.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}\)B.若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，则\(\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{1}}{y_{2}}=\frac{z_{1}}{z_{2}}\)（\(x_{2},y_{2},z_{2}\)均不为\(0\)）C.\(|\vec{a}|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}\)D.若\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)9.三棱锥\(P-ABC\)中，以下哪些条件能推出\(PA\perp\)平面\(ABC\)（）A.\(PA\perpAB\)，\(PA\perpAC\)，\(AB\capAC=A\)B.\(PA\perpBC\)，\(PB\perpAC\)，\(PC\perpAB\)C.平面\(PAB\perp\)平面\(ABC\)，平面\(PAC\perp\)平面\(ABC\)，平面\(PAB\cap\)平面\(PAC=PA\)D.\(PA\perp\)平面\(PBC\)10.已知圆\(C\)：\((x-1)^{2}+(y-2)^{2}=25\)，直线\(l\)：\(mx-y+1-m=0\)，则（）A.直线\(l\)恒过定点\((1,1)\)B.直线\(l\)与圆\(C\)相交C.当\(m=0\)时，直线\(l\)被圆\(C\)截得的弦长为\(4\sqrt{6}\)D.直线\(l\)被圆\(C\)截得的最短弦长为\(4\sqrt{5}\)三、判断题（每题2分，共10题）1.若直线\(l_{1}\)：\(y=k_{1}x+b_{1}\)与直线\(l_{2}\)：\(y=k_{2}x+b_{2}\)垂直，则\(k_{1}k_{2}=-1\)。（）2.两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。（）3.椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\)与椭圆\(\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\)的离心率相同。（）4.抛物线\(y^{2}=2px(p>0)\)上一点到焦点的距离等于到准线的距离。（）5.若圆\(C_{1}\)：\((x-a_{1})^{2}+(y-b_{1})^{2}=r_{1}^{2}\)与圆\(C_{2}\)：\((x-a_{2})^{2}+(y-b_{2})^{2}=r_{2}^{2}\)外切，则\(\sqrt{(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}}=r_{1}+r_{2}\)。（）6.空间中，若一条直线与一个平面平行，则这条直线与平面内所有直线平行。（）7.圆柱的侧面展开图是矩形。（）8.双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)。（）9.球的体积公式为\(V=\frac{4}{3}\pir^{3}\)（\(r\)为球半径）。（）10.若直线\(l\)的斜率不存在，则直线\(l\)的倾斜角为\(90^{\circ}\)。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.求过点\((2,-1)\)且与直线\(x-2y+3=0\)垂直的直线方程。答案：已知直线斜率\(k_{1}=\frac{1}{2}\)，所求直线与之垂直，斜率\(k=-2\)。由点斜式\(y-y_{0}=k(x-x_{0})\)，可得\(y+1=-2(x-2)\)，整理得\(2x+y-3=0\)。2.已知椭圆\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)，求其长轴长、短轴长、焦距、离心率。答案：\(a=5\)，\(b=3\)，\(c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=4\)。长轴长\(2a=10\)，短轴长\(2b=6\)，焦距\(2c=8\)，离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}\)。3.一个圆锥的底面半径为\(3\)，高为\(4\)，求该圆锥的侧面积和体积。答案：母线长\(l=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\)。侧面积\(S=\pirl=15\pi\)，体积\(V=\frac{1}{3}\pir^{2}h=\frac{1}{3}\pi\times3^{2}\times4=12\pi\)。4.已知正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的棱长为\(2\)，求异面直线\(A_{1}C_{1}\)与\(BD\)所成角的大小。答案：\(A_{1}C_{1}\parallelAC\)，异面直线\(A_{1}C_{1}\)与\(BD\)所成角等于\(A