四川省南充市阆中北大博雅骏臣学校2024-2025学年高三下学期期中考试数学试题（含答案）

阆中北大博雅骏臣学校高三年级半期考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若，则（）A. B.C. D.3.若非零向量满足，且向量在向量上投影向量是，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.4.一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（）A. B. C. D.5.已知函数的部分图象如图所示，若，则等于（）A. B.C D.6.已知数列满足：，则下列说法正确的是（）A. B.C.有最大值 D.不是单调数列7.已知函数，若，则的最小值为（）A.1 B.2 C. D.8.如图，半径为1的与半径为2的内切于点A，沿的圆弧无滑动的滚动一周.若上一定点P从A点出发随着的滚动而运动，设点P的轨迹为C，则（）A.C是半径为的圆 B.C是半径为1的圆C.C是长度为2的线段 D.C是长度为4的线段二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分9.下列命题正确的是（）A.是一组样本数据，去掉其中的最大数和最小数后，剩下10个数的中位数小于原样本的中位数B.若事件A，B相互独立，且，，则事件A，B不互斥C若随机变量，，则D.若随机变量的方差，期望，则随机变量的期望10.已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.，11.设为坐标原点，椭圆：左右焦点分别为，，点为定点，而点在椭圆上，且位于第一象限，若，则（）A.B.C.当的面积为时，的方程为D.当轴时，的离心率三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知，，则______.13.已知是圆上的一个动点，则的最大值为__________．14.甲乙丙三个班级共同分配9个三好学生名额，每班至少1个名额，用X表示这三个班级中分配的最少名额数，则X的数学期望_______.四、解答题：本题共5小题，共77分15.已知的内角的对边分别为．已知．（1）求角：（2）若，求的面积．16.设函数，.（1）当，时，讨论的单调性；（2）若，且和（为的导函数）的零点均在集合中，求的极小值.17.在平面直角坐标系中，为坐标原点，F，T分别是椭圆：的左焦点，右顶点，过F的直线交椭圆C于A，B两点，当轴时，的面积为.（1）求；（2）若斜率为的直线交椭圆C于G，H两点，N为以线段为直径的圆上一点，求的最大值.18.如图，在四棱锥中，为矩形，且，，.（1）求证：平面；（2）若（N在S的左侧），设三棱锥体积为，四棱锥体积为，且.①求点到平面的距离；②求平面与平面所成夹角的正弦值.19.一电动玩具汽车需放入电池才能启动.现抽屉中备有6块规格相同的电池，其中3块为一次性电池，另外3块为可反复使用的充电电池.每次使用时随机取一块电池，若取出的是一次性电池，则使用后作废品回收，若取出的是可充电电池，则使用后充满电再放回抽屉.（1）在已知第2次取出一次性电池的条件下，求第1次取出的是可充电电池的概率；（2）设X，Y是离散型随机变量，X在给定事件条件下的期望定义为，其中为X的所有可能取值的集合，表示事件“”与“”均发生的概率.设X表示玩具汽车前4次使用中取出一次性电池的块数，Y表示前2次使用中取出可充电电池的块数，求；（3）若已用完一块一次性电池后，记剩下电池再使用次后，所有一次性电池恰好全部用完的概率为，求数列的通项公式.CDBDBCBDBCDABDACD15.（1）因为，由正弦定理得在中，，则，即，故．（2）由余弦定值知：，即，则，所以16.（1）当时，，．当时，，在上单增，当时，令，或，时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增，综上所述：当时，在上单增；当时，在和上单调递增，在上单调递减，（2），令，所以或令，或，又，且，，互不相等，所以，所以所以或或．经检验，符合，所以，，令，或，当，，，，，所以时，取得极小值．17.（1）依题意有，当轴时，在椭圆方程中，令，解得，则，，又．解得，．（2）设直线：，设，，联立，得，所以，所以.，所以的中点为，所以.又的轨迹是以为圆心，半径的圆，所以.令，，记，又，所以，时，.18.（1）在中，，，，所以，解得：，所以，所以，又，为平面内两条相交直线，所以平面；（2）由（1）知，平面，，所以平面，又在平面内，所以平面平面，在平面内，所以，在三角形中，，，，所以，又，所以，又，又，所以，又，所以，取的中点，，可知：，因为平面平面，交线为，又在平面内，所以平面，如图建立空间直角坐标系易得：,所以，设平面的法向量为，则，所以，令，得，即，又，所以求点到平面的距离，②，设平面的法向量，则，所以，令，则，可得：，设平面与平面所成夹角为，所以，所以，即平面与平面所成夹角的正弦值为.19.（1）设事件表示第一次取出