小学四年级奥数(寒假)学习资料

第一讲统筹安排

例1.妈妈杀好鱼后，让小明帮助烧鱼.他洗鱼、切鱼、切姜片葱花、洗锅煎烧，各道工序共花

了17分钟（如下图），请你设计一个顺序，使花费的时间最少.

2分钟2分钟1分钟2分钟,2分钟3分钟5分钟

"殖H旗画1T漏"H隹锅烧热IT将油烧热r翦烧

例2.用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼.如果煎一个饼需要4分钟（假定正、反面各

需2分钟），问煎15个饼至少需要几分钟？

例3.赵师傅要加工某项工程急需的5个零件，如果加工零件A、B、C、【）、E所需时间分别是

5分钟、3分钟、4分钟、7分钟、6分钟.问应该按照什么次序加工，使工程各部件组装所耽误的

时间总和最少？这个时间是多少？

例4.小芳为家里做饭，她择菜需要8分钟，洗菜5分钟，空水3分钟，洗米3分钟，煮饭10

分钟，切菜4分钟，炒菜6分钟.若小芳家使用的是单火眼燥气灶，她怎样安排做饭顺序最省时合

理？若小芳家使用的是双火眼煤气灶，又将怎样安排才合理？最省时间分别是多少？

例5.在一条公路上，每隔100千米有一座仓库，共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的

重量.现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费（）.5元，那

么集中到哪个仓库运费最少，需要多少钱？

ABCDE

10吨30吨20吨10吨60吨

例6.有两个面粉厂供应三个居民区的面粉，甲厂月产60吨，乙厂月产100吨.第一居民区每

月需要面粉45吨，第二居美区每月需要75吨，第三居民区每月需要40吨.甲、乙两厂与三个居民

区的距离如下表所示，问如何分配面粉，才能使运费最省？（单位：千米）

一区二区三区

面粉入

甲1056

乙4815

练习一

1、用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼.如果煎一个饼需要4分钟（假定正、反面各需2分钟）,

问煎15个饼至少需要几分钟？

2、小明、小华、小强同时去卫生室找张大夫治病.小明打针要5分钟.小华换纱布要3分钟，小强点

眼药水要1分钟.问张大夫如何安排治病次序，才能使他们耽误上课的时间总和最少？并求出这个时

间.

3、理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10、12、

15、20和24分钟，怎样安排他们理发的顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少

时间为多少？

第二讲巧求周长

一、法与技巧

周长是指围绕一个封闭图形一周的线段或曲线的长度。

长方行的周长二正方形的周长二

用字母表示是：

二、典型例题

例1试求下左图的周长（单.位：匣米）。

个5

~7

例2上页右下图是由边长为1厘米的11个正方形堆成的“土”字图形。试求出其周长。

例3右图是某小学教学楼的平面示意图，设计者在图上只标明了三条线段的长度（单位：米）。请

你算出它的周长。

50

28

--------16

例4下图是由七个长5厘米、宽3厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形。求这个图形的

周长。

3

n±Tj10

6

10

5.下图的小正方形边长为1厘米。这个图形的外沿的周长是多少厘米？

6.下图的小正方形边长为1厘米。这个图形的外沿的周长是多少厘米？

第三讲计数问题

一、方法与技巧

要学会在观察、思考、分析中总结、归纳出解决问题的规律和方法。有些题比较简单，只要按

照一定的规律就能很快地数出；有些题比较复杂，不仅要巧用规律，还要细心、耐心，才能不重复、

不遗漏地数出图形的个数。

二、典型例题

例1数一数下面共有多少条线段？

ABCDEFG

线段数=

例2数一数下面共有多少条线段?

例3数一数，图中有多少个三角形？

例4数一数下图中有多少长方形？

长方形的个数=

例5、数一数下图中各有多少个正方形？

正方形的个数=

例6这堆木方块共有多少块?你能用几种不同的方法数匕来和算出来吗？

例7如图所示，一个木制的正方体，棱长为3寸，它的六个面都被涂成了红色.如果沿着图中画出

的线切成棱长为1寸的小正方体.

求：（1）3面涂成红色的有多少块?

（2）2面涂成红色的有多少块？

（3）1面涂成红色的有多少块？

（4）各面都没有涂色的有多少块？

（5）切成的小正方体共有多少块?

练习三

I、图中有多少个正方形?

电w

⑴(2)

图3・9

2.数一数，图形中有几个长方形？

3.数一数，下图中有多少个二角形？多少个F方形？

4.数一数，下图中共有多少条线段?有多少个三角形?

5.数-•数，下图中共有多少个小于180°角？

6.数一数，下图中共有多少个三角形？

第四讲速算与巧算

例1、用简便方法求和:

①536+(541+464)+459②588+264+148③8996+3458+7546

例2、用简便方法求差:

①1870-280-520②4995-(995-480)③4250-294+94

例3、用简便方法计算下列各题:

①478-128+122-72②464-545+99+345③537-(543-163)-57

例4、计算下面各题。

①23X11②45X99③72X125

@25X36⑤123X25X4

练习四

1、用简便方法求和:

63+184+137+48+169+99+999+99998+98+998+9998+99998

2、用简便方法求差:

916-263-1371625-239-363-461-137628-(186+328)

3、用简便方法计算下列各题:

728-478+462-122555-896+445+7965389-928-1072-1387-1613

4、计算下面各题。

456X10125X3623X99

第五讲加法原理和乘法原理

在生活、生产和科学研究中，常常需要计算“完成一件事情，共有多少种不同的方法”的问题。

正确的运用加法原理和乘法原理，就可以帮助我们不重复，不遗漏地计算这类问题的结果。

1.乘法原理

例1从甲地到乙地有3条路可走，从乙地到内地又有4条路可走。从甲地经过乙地到内地共有多

少种不同的走法？

例2从4个男生，5个女生中各选一人担任组长，的多少种不同的选法？

例3从5个不同图案的文件盒，4支不同牌子的铅笔，3支不同型号的钢笔和2把不同材料的直尺

中，各取一件，配成一套学习用具，最多有多少套不同的学习用具？

如果完成一件事情，有几类个必不可少的步骤,，而每个步骤又有若干种不同的方法，那么完成

这件事的方法总数等于每个步骤的方法种数的乘积。这就是乘法原理。

2.加法原理

例4从甲地到乙地可以乘坐火车、轮船、飞机。在一天中，从甲地到乙地有4班火车，3班轮船,

3班飞机。那么一天中从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

例5从4个男生，5个女生中选一人担任组长，有多少种不同的选法?

例6商店有5个不同的图案的文件盒，4支不同牌子的铅笔，3支不同型号的钢笔和2把不同材料

的直尺，从这些文具中任意买一件，共有多少种不同的买法？

如果完成一件事情有几类不同的方法，而每一类又有若干种方法，那么完成这件事的方法总数

等于每类的方法种数的和。这就是加法原理。

例7用数字2、3、5、7四个数字可以组成（1）多少个三位数？（2）多少个没有重复数字的

三位数？

例8用红色或黄色的彩旗挂在旗杆上，不同的顺序表示不同信号。用3面彩旗可以表示多少种不

同信号？试把它们写出来。

例9如图有6个点，9条线段。一只甲虫从A点出发，沿着某几条线段爬到F点，行进中，同一

个或同一条线段只能经过一次，这只甲虫最多有多少种不同走法？

A

F

例10已知一种三位数，它的三个数位上的数字之和是24。这样的三位数共有多少个?

练习五

1.用1、3、5、7可以组成（1）多少个二位数？（2）多少个没有重复数字的二位数？

2.一天上午要上语文、数学、体育各一节课。这半天的三节课有几种不同的排法?

3.用两位数做被除数，一位数做乘数，一共有多少不同的乘法算式？

4.年晚会上，用红、黄两种颜色的彩色粉笔在黑板上写“新年好”三个字，有多少种不同的写法?

5.如上图，从A地到B地有两条路；从B地到D地有两条路；从A地到C地只有一条路；从C地到

D地有3条路。那么从A地到D地有多少种不同走法？

D

A

6从甲、乙、丙、丁四个小朋友中选两名去参加围棋赛。有多少种不同的选法

7.数字比个位上的数字大的两位数一共有多少个？

8.有《中国少年报》、《少年文艺》、《少儿科学》、》《中国儿童》四种杂志，学校要求每人订阅其中

一种或两种，共有多少种不同的订阅方式？

9.四年级一、二、三班举办的联欢会共演出10个节目，每班至少演出3个。三个班承担节目个数

有多少种不同的分配方式？

10.一本故事书有122页，为这本书编页码共用了多少个阿拉伯数字?

三个数位上的数字之和等于26的三位数，一共有多少个？

第六讲等差数列

1、3、5、7、（）、11、（）；①

2、5、8、11、（）、17.（）；②

2、3、5、7、2、3、（）、7；③

1、1、2、3、5、8、（）、（）。④

1.等差数列的项

数列1、3、5、7、（）、11、（）的各项的规律是：

数列2、5、8、11、（）、17、（）的各项的规律是：

等差数列的某一项=首项+公差X（项数-1）

例1数列2、5、8、11、14……,（1）它的第10项是多少？（2）它的第100项是多

少？（3）197是这个数列中的第几项？（4）这个数列各项被几除有相同的余数？

等差数列的项数=（末项-首项）+公差+1

等差数列的每1项除以它的公差，余数相等。

例2有一串数1、5、9、13……、189,（1）这串数一共有多少个数？（2）这串数第1

8项是多少？

2.等差数列的和

德国数学家高斯小时侯就想出了最简便的方法计算1+2+3+……+100,他的方法你们

知道吗？

例3.计算5+9+13+17+21+25+29+33+37

解法一：

解法二;

由例3解法•可以得到求等差数列若干项的和的方法：

由例3解法二可知，等差数列奇数项的和又一解便求法:

例4.已知五个连续偶数的和是210,求这五个数。

例5.计算3+8+13+18+23+28+……+378

练习六

1.一串数：I、4、7、10、13、……199o(1)它的第20项是多少？(2)这串数共有多少个？

2.有一串数组成等差数列，第一项是4,第51项是154。(1)它的公差是多少？(2)它的第90项

是多少？

3.一列数：2、6、10、14……，(1)它的第100项是多少？(2)这100项的和是多少?

4.用不同的方法计算

(1)1+2+3+44-5+6+7+……+997+998+999+1000

(2)7+11+15+19+23++399+403

(3)9+19+29+39+……+99

(4)1+3+5+7+……+97+99

5.有3个相邻奇数的和是381,求这三个奇数。

6.从1到100的整数中，3的倍数有多少个？它们的和是多少？

7.从1到100的整数中，被4除余1的数1、5、9、13、……有多少个？

8.一辆公共汽车，第一站（起点）上1位乘客，第二站上2位乘客，第三站上3位乘客（不下车）。

照这样，在第几站上了乘客后，车上共有45位乘客？

9.钟楼上的钟每到整点就敲打，几点就敲打几下，最多只能敲12下，这个钟一昼夜24小时共敲

多少下？

10.右边三角形边长是I米，每边上从顶点开始每隔2厘米取一点，如图把分点连接起来，得到许

多个边长的2厘米的三角形，这样的三角形共有多少个？

第七讲最大与最小

在日常生活和生产中，我们经常考虑以下问题：交通运输中，怎样使路程最短，运费最省；生

产的安排、调配、设计，怎样使工期最短，效率最高，最省原材料。总之，都考虑一个“最”的问

题卜.面我们初步学习这类问题涉及到的最大值和最小值问题有关的一些规律。

例1观察下面两组算式的结果怎样变化，由此得出什么规律？

(1)10=1+91X9=9

10=2+82X8=16

10=3+73X7=21

10=4+64X6=24

10=5+55X5=25

(2)16=1X161+16=17

16=2X82+8=10

16=4X44+4=8

由（1）、（2）可以得到以下规律：

规律（1）：两个数的和一定时，这两个数越接近，它们的乘积越大；当两个数相等时，它们的乘积

最大。

规律（2）：两个数的积一定时，这两个数越接近，它们的和越小；当两个数相等时，它们的和最小。

例2周长为36米的竹篱色围成一个长方形菜园，要使菜园的面积最大，它的长和宽应该是多少？

这时的最大面积是多少？

例3用竹篱笆围一个面积为25平方米的长方形菜地。这个长方形菜地的长、宽各等于多少时，最

省材料？周长最少多少米？

由例2、例3可以知道：（1）周长相等的长方形中，以正方形的面积最大。（2）面积相等的长方形

中，以正方形的周长最小。

例4把14拆成两个数的和，再求出这两个数的乘积。如何拆可以使乘积最大？最大积是多少？

例5把14拆成几个自然数的和，再求出这些自然数的乘积。如何拆可以使乘积最大？最大积是多

少？

规律（3）：把一个自然数拆成若干个自然数的和，如果要使这些自然数的乘积最大，那么，拆出的

数中3的个数尽量多，2的个数不多于2个。

例6不计算出积，比较12489X12356与12359X12486的大小。

练习七

La、b两个自然数，a+b=16,那么aXb最大是多少？

2.a、b是两个自然数，aXb=49,那么a+b最小是多少？

3.用40厘米长的铁丝围成的长方形（不计接头长度）中，最大一个的面积是多少平方米？

4.教室一个窗户的面积是225平方分米，怎样设计窗户的形状和尺寸最省材料?

5.把17分成几个自然数的和，再求出这些数的积，要使得积尽可能大，最大的枳是多少？

6.把1、2、3、4、5、9,填入下面方框里，要使两个三位数的积最大，怎样填？

□□□X□□□

7.比较下面两个积的大小。

A=987654321X123456789

B=687654321X423456789

8.从0、1、2、4、6、8、9这七个数字中，选出五个数字组成一个能被5整除并且尽可能大的五位

数，这个五位数是多少？

9.小军有1元钱的硬币，其中5分的有9枚，2分的有1D枚，其余都是1分的。他要从中拿出0.68

元买文具，而且拿出的硬币的枚数要尽可能少，应该怎样拿法，共要拿多少枚硬币？

*10.某班有6个同学参加数学竞赛，6人的得分各不相同，得分最高的是63分，他们所得分数的

和是344分，得分最低的同学最少是多少分？

第八讲包含与排除

把各个部分数相加，求总和时，有时需要去掉重复相加的部分。这样的问题叫包含与排除的问

题，也称重登问题或容斥问题。

例1一天老师统计四（1）班学生完成作业的情况是：每人至少完成了语文、数学中的一门作业，

完成语文作业的有40人，完成数学作业的有36人，语文、数学作业都完成的有28人。这个班学生

有多少人？

例2某班40名学生每人至少订一种报纸，订《少年报》的有27人，订《科技报》的21人，两种

都订的有多少人？

例3一个班有42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，每人至少参加一个队，（1）

问两队都参加的有几人？：2）只参加体育队的有多少人？

例4某班有50名学生，其中23人参加数学竞赛，15人参加作文竞赛，有5人既参加了数学竞赛

又参加了作文竞赛，那么

（1）只参加数学竞赛的有几人？

（2）参加竞赛的一共有多少人？

（3）没有参加竞赛的共有多少人？

例5如图，边长是6厘米和边长是4厘米的两个正方形纸片放在桌子上，它们所盖住的面积是多

少平方厘米？

练习八

1.某班学生，每人家里至少有彩电和冰箱中的一样，已知家中有彩电的有39人,有冰箱的有32

人，两样都有的有24人，这个班级共有多少人？

2.一张圆纸的面积是10平方厘米，一张正方形纸片的面积是16平方厘米，两张纸片一部分重放

在桌面，覆盖的面积为18平方厘米，问：两张纸片重合的面积是多少平方厘米？

3.在100人中，会下中国象棋的有72人，会下国际象棋的有54人，这两种棋都不会的有20人，

两种棋都会下的有几人？

4.38人参加测试，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人，问：有

几人两道题都没有答对？

5.光明小学四年纪一班学生到野外每人都采集到标本，采集昆虫标本的哟偶32人，采集植物标本

的有27人，两种标本都采集的有7人。全班学生共有多少人？

6.某校四年级有学生135人，报名参加体育组的有120人，参加文艺组的有98人，规定：每人至

少参加一项，问：只参加体育小组和只参加文艺小组的各有多少人？

7.学校组织了50名队员的文艺演出队，有19人排练唱歌的节目，有15人排练舞蹈，既唱歌又跳

舞的有7人。问：

(1)只唱歌的有几人？

(2)跳舞的有几人？

8.在100人学生中，音乐爱好者有56人，体育爱好有75人，那么，既爱好音乐，又爱好体育

的最少有多少人？最多时，可达到多少人？

综合练习题

1.简便计算

(1)9+99+999+9999+99999+999999

(2)1-2+3-4+5-6+•••+1991-1992+1993

(3)1000+999-998-997+996+995-994-993+…+108+107-106-105+104

+103-102-101

(4)6254-25(5)9600+25+4

(6)54X99(7)9999+9999X9999

2.等差数列求和

(1)9+18+27+36+…+261+270

(2)求所有被7除余数是1的三位数的和.

3.数阵图。

(1)将1〜11这十一个数分别填入下图中的

11个。内，使每条线上三个O内数的和都相等。

(2)1〜6这6个数分双填入

右图中的小圆圈内，使每个大圆

圈上的4个数之和都等于15o

4.巧求周长

5.数图形。

6.包含与排除。

(I)一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的有9人，两种

报纸都订阅的有5人。求：(1)订阅报纸的总人数是多少？(2)两种报纸都订阅的有多少人？

（2）一个旅行团有36人，其中会英语的有24人,会俄语的有18人，两样都不会的有4人。问两

样都会的有多少人？

（3）在不超过50的自然数中，2的倍数和3的倍数共有多少个？既是2的倍数又是3的倍数的一

共有多少个？

7.最大与最小。

（1）把1、2、4、5、7、9,填入下面的方框里，要使两个三位数的积最大，怎样填？

□□□X□□□

（2）把。〜6这七个数字填入下式，使结果尽可能大，这个结果是多少？

□□XX□

（2）把16分成几个自然数的和，再求出这些数的积，要使得积尽可能大，最大的积是多少？

（3）不用算出结果，比较下面两个乘积的大小。

A=987654321X123456789

B=987654322X123456788

8.算式谜

加减法算式谜：

6□□□0□□

+2□15—3□17

□0912856

□0□□