北航有限元基础课件第3章 空间问题的有限元法（2学时）

第三章空间问题的有限元法3.1简介3.24节点四面体常应变单元3.38节点六面体单元3.420节点六面体等参单元3.5空间轴对称问题的有限元法3.1简介弹性力学空间问题与平面问题的区别：基本方程：

空间：3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程；

平面：2个平衡方程，3个几何方程，3个物理方程；

基本分量：

空间：3个位移分量，6个应力分量，6个应变分量；

平面：2个位移分量，3个应力分量，3个应变分量；空间问题的有限元法：未知量采用“位移法”，选取节点位移作为未知量基本步骤先“离散”，再“单元分析”，后“整体分析”，最后“求解整体平衡方程”3.1简介有限单元类型：连续单元

特点：每个节点最多有3个位移分量（自由度）u,v,w

举例：一维杆元（第4章）、二维平面单元（第2章）、三维实体单元（第3章）结构单元

特点：每个节点最多有6个位移分量（自由度）u,v,w,θx,θy,θz

举例：板壳元（第5章）、梁元（第4章）空间问题的常用实体单元：

4节点四面体单元、8节点六面体单元、等参单元3.1简介本章重点和要求：了解空间问题的有限元法的原理和解题方法，熟悉常用实体单元的类型和特性，掌握常用实体单元的有限元分析方法。3.24节点四面体常应变单元单元描述节点：4个节点编号规则：因此：节点坐标值

3个坐标方向：xi,yi,zi

(i.j,m,p)节点位移（自由度）

3个坐标方向：ui,vi,wi

(i.j,m,p)单元节点位移列阵

单元共有12个位移分量。3.24节点四面体常应变单元位移模式形函数的定义其中系数为常数项，由节点坐标值决定。3.24节点四面体常应变单元几何方程（描述物体的变形程度：应变与位移的关系）应变分量几何方程B为常数矩阵。因此，为常应变单元！3.24节点四面体常应变单元物理方程（描述材料特性：应力与位移的关系）应力分量物理方程3.24节点四面体常应变单元单元平衡方程（单元刚度矩阵）要求：掌握单元刚度矩阵的推导过程！3.24节点四面体常应变单元单元等效节点载荷（对非节点载荷而言）节点载荷列阵体力集中力面力单元描述单元形状：2a×2b×2c节点：8个节点编号规则局部坐标系因此：节点坐标值

3个坐标方向：ξi

ηi

ζi(i.j,m,p)节点位移（自由度）

3个坐标方向：ui,vi,wi

(i.j,m,p)单元节点位移列阵（局部坐标系下）

单元共有24个位移分量（自由度）。3.38节点六面体单元（砖形单元）3.38节点六面体单元（砖形单元）位移模式3.38节点六面体单元（砖形单元）几何方程（描述物体的几何变形程度：应变与位移的关系）利用坐标映射关系推导出偏导数映射关系！3.38节点六面体单元（砖形单元）4.物理方程（描述材料特性：应力与位移之间的关系）3.38节点六面体单元（砖形单元）5.单元平衡方程（单元刚度矩阵）3.420节点六面体等参单元1.单元描述

要求：自行分析出在局部坐标系下，节点坐标、节点位移（自由度）和单元节点位移列阵。坐标变换3.420节点六面体等参单元2.坐标变换式和位移模式3.420节点六面体等参单元3.几何方程利用坐标映射关系推导出偏导数映射关系！3.420节点六面体等参单元3.几何方程雅可比矩阵J只有在雅可比矩阵可逆的情况下，可以求解出Ni,x

Ni,y

Ni,z！3.420节点六面体等参单元4.物理方程3.420节点六面体等参单元5.单元平衡方程（单元刚度矩阵）3.420节点六面体等参单元5.单元平衡方程（单元刚度矩阵）3.420节点六面体等参单元6.单元等效节点载荷3.5空间轴对称问题的有限元法空间轴对称问题特点：几何形状、约束条件、外载荷都对称于某一轴线。因此，位移、应变和应力分量都对称于该轴。有限元法：为了简化问题、加快求解速度，采用绕对称轴旋转一周的环形单元(3节点三角形轴对称单元、4节点矩形轴对称单元)进行有限元分析。有限元分析步骤和平面问题相同。3.5空间轴对称问题的有限元法空间轴对称问题的举例无限长受内压的轴对称圆筒，该圆筒置于刚性圆孔中。80mm120mmrz1234①②40mm60mmF1F210mm3.5空间轴对称问题的有限元法1.空间轴对称问题描述整体坐标系：圆柱坐标(r,θ,z)轴对称特点：在（z,r）二维空间里面进行有限元分析单元类型：三角形环形单元2.单元描述节点：3个因此，节点坐标节点位移（自由度）

2个坐标方向的位移w,u单元节点位移列阵

单元共有6个自由度!3.5空间轴对称问题的有限元法3.位移模式3.5空间轴对