北科大传热学课件第4章 导热问题数值解法

第四章

导热问题数值解法1导热问题的求解：1。实验方法2。理论分析方法3。数值计算方法计算机的发展日新月异，给数值方法的应用带来了巨大的推动力。第一节有限差分法本章任务：1。建立有限差分的节点方程式2。简要介绍节点方程式的求解方法一、基本原理理论分析解法：偏微分方程式数学物理方法有限差分法：把物体分割为有限数目的网格，将微分方程变换为差分方程；通过数值计算直接求取各网格单元节点的温度。如图。2

有限差分法的基本原理即为：用有限差商代替微商，从而将微分方程转化为差分方程。有限差商近似代替微商1。视相邻节点间的温度分布为线性的，3。网格单元2。每个节点的温度即为它所在的网格单元的温度。4.温度场的离散值5.网格划分愈细密，节点愈多，其结果越精确。网格间距可任意选定，可取

x=

y6.对于非稳态导热问题，时间可划分为许多间隔

，

3二维物体中的网格i+1,ji,j+1i-1,ji,j-1i,jxy4i+1,ji-1,ji,j+1i,j-1i,j5二、导数的有限差分表达式导数有限差商利用泰勒级数展开式1。向前差分一阶截差公式称为截断误差取前两项：一阶导数的向前差分表达式62。向后差分泰勒级数展开式一阶截差公式称为截断误差取前两项：一阶导数的向后差分表达式73。中心差分表达式取前两式的前三项，并相减，可得一阶导数的中心差分表达式二阶截差公式x方向二阶导数的中心差分y方向二阶导数的中心差分温度对时间的一阶导数采用前差或后差公式8第二节稳态导热的数值计算一、温度节点方程式：有限差分法二维稳态导热微分方程式式中：qvi,j

表示节点(i,j)所在网络单元的内热源强度。无内热源，且

x=

y，则：或：内部温度节点方程式无内热源均匀网格的9对物体中的每个节点，逐个写出节点方程式，得到一组节点方程式，即得到一组关于节点温度的代数方程组，求解此代数方程组，即可以得到各个节点的温度。数值计算方法二、热平衡方法推导节点方程式

当遇到变物性或非均布的内热源问题时，应用差分表达式推导非常麻烦，进而求助于热平衡方法，它具有非常明确的物理意义。

如图：内节点P(i,j)，温度为ti,j,它代表了所在的网格单元的温度。在x方向和y方向，P点的相邻节点为：R(i+1,j),L(i-1,j),T(i,j+1),B(i,j-1)认为相邻节点之间温度分布是线性的，根据傅里叶导热定律，写出周围各节点向节点P的导热量：10LPRPBPTPP节点所在的网格单元存在内热源时，内热源发热量：对于稳态导热，导入节点的热量与内热源发热量的代数和应等于零。即：若为变物性或非均布内热源问题，也可写出热平衡关系式。11二维网格单元的能量平衡TLBRP12三、边界节点方程式的建立三类边界条件第三类边界条件的情况：如图边界节点(i,j)，温度为t(i,j)；已知对流换热系数和流体温度tf注意！针对节点(i，j)，热平衡关系式为：取

x=

y，上式可整理为：平直边界面上的节点方程式表4-1OK13第三类边界条件的边界节点14xy0t1t3t5t7t9t10t6t4t2t8c11c12c13c14c15ab图4-4例附图15四、节点方程组的求解内节点节点方程式边界节点节点方程式线性代数方程组迭代法求解思路：1.改写方程组缩写为：i=1,2,…,n特点：1。系数aij许多项为零。2.常数项ci与内热源项，边界条件有关。对于无内热源物体的内节点，cI将等于零。162。迭代法原理：1。假定一组节点温度的初始值，2。将初始值代入方程组中，可求得新的节点温度值3。将新得到的节点温度值代入方程组中，又得到一组新的节点温度值，反复进行迭代，直到或：简单迭代法173。高斯赛德尔迭代法每次迭代时，总是使用节点温度的最新数值。如：根据第K次迭代的数值，已经求得节点温度值计算应按下式计算：计算应按下式计算：依次按上述方法迭代，最后：高斯赛德尔迭代法的计算过程通过程序的循环，很容易实现。18TBB=50oCTBB=50oCTBB=50oCTLB=200oCt

i,j12345678923456719开始输入M,N,EPS,K,TTB,TLB,TRB,TBB,TIti,1=TBB

t

i,m+1=TTBt

1,j=TLB,t

n+1,j=TRBT

i,j=TI迭代次数IT=0NOYE