方程与几何的综合下学期

全品中考复习方案第二部分第五学时：方程与几何的综合思想办法提炼感悟、渗入、应用学时训练思想办法提炼1.充足运用一元二次方程根与系数的关系及其鉴别式等知识解决有关几何问题；2.能纯熟地将方程的根与几何图形中的线段联系起来，通过方程的性质和几何图形的性质实施转化.感悟、渗入、应用【例2】已知AB是半圆O的直径，AC切半圆于A，CB交⊙O于D，DE切⊙O于D，BE⊥DE，垂足是E，BD=10，DE、BE是方程x2-2(m+2)x+2m2-m+3=0的两个根(DE＜BE)，求AC的长.【解析】已知半径，普通先构造90°的圆周角，故能够连AD，由此可容易推得Rt△BDA∽Rt△BAC∽Rt△BED，由一元二次方程根与系数关系和勾股定理建立有关DE、BE、m的方程组，解之，于是Rt△BED可解.欲求AC，只要先求出AB，而这通过相似三角形易求得.解：∵DE、BE是方程x2-2(m+2)x+2m2-m+3=0的两个根(DE＜BE)且BE⊥DE，BD=10连接AD，∵AB是直径∴∠ADB=90°∵DE是⊙O的切线∴∠EDB=∠DAB∴Rt△BDE∽Rt△BAD∴∠ABC=∠DBE，∴∴AB=∵AC切⊙O于A∴∠CAB=90°∴Rt△CAB∽Rt△DEB∴∴AC=【例3】已知：△ABC的两边AB、AC的长是有关x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5.(1)k为什么值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形?(2)k为什么值时，△ABC是等腰三角形?并求△ABC的周长.【分析】AB、AC是方程的两根，则根据根与系数的关系以及△ABC是以BC为斜边的直角三角形联立有关k的方程，即可求得k的值；而△ABC为等腰三角形，则要通过分类讨论三种情形，并且使分类不重不漏，再由其它条件拟定k值，从而求得等腰三角形的周长.解：(1)∵AB、AC是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两根∴AB+AC=2k+3，AB·AC=k2+3k+2又∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=5∴AB2+AC2=BC2∴(AB+AC)2-2AB·AC=25即(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25∴k2+3k-10=0∴k1=-5或k2=2当k=-5时，方程为x2+7x+12=0解得x1=-3，x2=-4(舍去)当k=2时，方程为x2-7x+12=0解得x1=3，x2=4∴当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形.(2)若△ABC是等腰三角形，则有①AB=AC，②AB=BC，③AC=BC三种状况.∵Δ=(2k+3)2-4(k2+3k+2)=1＞0∴AB≠AC，故第一种状况不成立；当AB=BC，或AC=BC时，5是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的根即25-5(2k+3)+k2+3k+2=0k2-7k+12=0∴k1=3或k2=4当k=3时，x2-9x+20=0，x1=4，x2=5∴等腰三角形的三边长分别是5、5、4，周长是14.当k=4时，x2-11x+30=0∴x1=5，x2=6∴等腰三角形的三边长分别是5、5、6，周长为16，故当k=3或k=4时，△ABC为等腰三角形，周长分别为14或16.【例4】已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，tanA、tanB是有关x的一元二次方程x2-kx+12k2-37k+26=0的两个实数根，求：(1)求k的值；(2)若c=10，且a＞b，求a、b的值.【分析】运用根与系数的关系列方程即可求k的值；再运用三角函数知识可求出a、b的边长.解：(1)∵tanA·tanB=12k2-37k+26则由∠C=90°知A+B=90°即tanA·tanB=1∴12k2-37k+26=1∴(12k-25)(k-1)=0∴k=25/12或k=1当k=1时，方程变为x2-x+1=0因Δ＜0∴不合题意舍去当k=25/12，方程变为x2-25/12x+1=0因Δ＞0∴成立∴k的值为25/12.(2)又∵tanA+tanB=k∴tanA+∴(tanA)2-(tanA)+1=0∴12(tanA)2-25(tanA)+12=0∴tanA=3/4或tanA=4/3又∵a＞b∴tanA=a/b＞1∴tanA=4/3∴【例5】如图所示，锐角三角形ABC内接于⊙O，高AD、BE交于点H，过点A引圆的切线与直线BE交于点P，直线BE交⊙O于另一点F，AB12的长是关于x的方程x2-x+(sin2C-sinC+1)=0的一个实数根.(1)求∠C的度数与AB的长；(2)设BH=x，BP=y，①求y与x间的函数关系式；②当y=3时，试判断△ABC的形状，并说明理由.【分析】(1)运用根的鉴别式△≥0可快速求得；(2)要寻找y与x的关系式，就要寻找y、x所在的两个三角形相似，故即证△PBA∽△ABH；再运用y与x的关系式，已知y值即可求出x的值.在Rt△AHE和Rt△ABE中运用勾股定理及三角函数知识求出HE、BE的长度，最后计算出∠BAC=60°=∠C即可.解：(1)∵方程有实根∴Δ=(-1/2)2-4×1×1/4(sin2C-3sinC+1)≥0即-(sinC-)2≥0∴sinC=，∠C=60°由Δ=0知x1=x2，而x1+x2=2x1=1/2∴x1=1/4 即AB12=14∴AB=3.(2)①∵AD⊥BC，BE⊥AC∴∠P+∠PAC=∠BAD+∠ABC=90°又∵PA切⊙O于A∴∠PAC=∠ABC∴∠P=∠ABH∴△PBA∽△ABH∴x即y=②当y=时，即在Rt△DAC中，∵∠C=60°∴∠DAC=30°在Rt△AHE中，设HE=m，则AH=2m，AE=m在Rt△AEB中，AE2+BE2=AB2∴=32∴m=-(舍)m=∴BE=HE+HB=∴sin∠BAE=∴∠BAE=60°∴∠BAE=∠C=60°∴△ABC为等边三角形.学时训练1.斜边长为13的直角三角形的两直角边长为方程x2-(m-1)x+3(m+2)=0的两根，求其内切圆的半径r.解：设两直角边长为a、b，则a2+b2=(a+b)2-2ab=(m-1)2-6(m+2)=132∴m=18或m=-10又∵a+b=m-1＞0∴m＞1∴m=-10舍去∴a+b=m-1=18-1=17∴r=(a+b-13)=(17-13)=2.2.(2002年·北京东城区)在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边c=5，两直角边的长a、b是有关x的一元二次方程x2-mx+2m-2=0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值.解：∵a、b是方程x2-mx+2m-2=0的两个根∴a+b=m，ab=2m-2.在Rt△ABC中，由勾股定理得a2+b2=c2即(a+b)2-2ab=25.∴m2-2(2m-2)=25∴m=7或m=-3(舍)当m=7时，原方程x2-7x+12=0∴x=3或x=4.假设a=3则sinA=ac=∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为.

3.(2002年·济南卷)在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，已知a=3，b、c是关于x的方程x2+mx+2-m=0的两个实数根，求△ABC的周长.解：Δ=m2-4(2-12m)=m2+2m-8∵方程有两个实数根∴Δ≥0∴m2+2m-8≥0∴m≤-4或m≥2又∵b