云南省临沧地区中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷(含详解)

2024-2025学年临沧地区中学高二（下）期中数学试卷注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.我国新能源汽车产销量连续5年居世界首位.某客户欲购买一辆新能源汽车，已知A品牌有5种不同型号的汽车，B品牌有10种不同型号的汽车，C品牌有6种不同型号的汽车可供选择，则该客户不同的选择种数为(

)A.21 B.40 C.56 D.3002.已知函数f(x)=2lnx+1x−f'(1)x，则f'(1)=A.12 B.1 C.32 3.已知某圆锥的轴截面是正三角形，从该圆锥高的一半处作平行于底面的平面截圆锥得一个小圆锥和一个小圆台，则该小圆台与原圆锥的表面积之比为(

)A.11：12 B.5：6 C.3：4 D.2：34.中国体育代表团在2024年巴黎奥运会获得40金27银24铜共91枚奖牌，金牌数与美国队并列排名第一、创造了参加境外奥运会的最佳战绩.巴黎奥运会中国内地奥运健儿代表团于8月29日至9月2日访问香港、澳门.访问期间，甲、乙、丙3名代表团团员与4名青少年站成一排拍照留念，若甲、乙、丙互不相邻，则不同的排法有(

)A.2880种 B.1440种 C.720种 D.360种5.若函数f(x)=tex+2lntx+x(x>0)A.[0,1e] B.[1,+∞) C.(6.已知函数f(x)=alnx−x2存在单调递增区间，则实数a的取值范围为(

)A.[0,+∞) B.(1,+∞) C.(0,+∞) D.[1,+∞)7.已知正实数m，n满足em+lnm=2,n⋅e2n−3=12A.e B.2e C.e 8.数学上用“∏”表示连乘运算，例如：100n=1n=1×2×3×⋯×99×100.设函数f(x)=logx+1(x+2)，记S=mn=1f(n)，m∈N∗A.8 B.9 C.10 D.11二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列结论正确的是(

)A.Anm=nAn−1m−1(m,n为正整数且n>m>1)

B.满足方程C16x2−x=C105x−5的x值可能为x=1或x=3

C.甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有10.已知(x−2)7=aA.a0=−128 B.a0+a111.已知函数f(x)=13x3−12(a+1)A.当a=1时，若f'(x)≥mx，则m的取值范围为[−4,0]

B.若y=2x是f(x)的一条切线，则实数a的值有且只有1个

C.当a=−1时，f(x)的图象关于点(0,−1)对称

D.当a∈(73,+∞)时，f(x)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某班组织一次认识大自然的活动，有6名同学参加，其中有3名男生，3名女生，现要从这6名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，则抽取的3名同学中既有男生又有女生的抽取方法共有______种.13.已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2−2x−3)f'(x)<0的解集______．

14.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(modm).若a=C201⋅2+C202四、解答题：本题共5小题。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知(3x+1x)n(n∈N∗)的展开式的第2项与第4项的二项式系数之比是1：57．

(1)求n16.(本小题15分)

已知函数f(x)=aex−x+2，a∈R．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若f(x)≥e17.(本小题15分)

已知等差数列{an}满足a2+a4=10，a4−a3=−2．

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)求数列{an}18.(本小题17分)

已知椭圆G：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且过点(−3,32)．

(1)求椭圆G的标准方程．

(2)若A，B分别为椭圆G的上、下顶点，直线l与椭圆G相交于C，D两点，且AC⊥AD19.(本小题17分)

如果数列{an}满足：a1+a2+⋯+an=0且|a1|+|a2|+⋯+|an|=3(n≥2,n∈N∗)，则称数列为“n阶万物数列”．

(1)答案和解析1.【答案】A

【解析】解：A品牌有5种不同型号的汽车，B品牌有10种不同型号的汽车，C品牌有6种不同型号的汽车可供选择，

则客户不同的选择种数为5+10+6=21．

故选：A．

2.【答案】A

【解析】解：因为函数f(x)=2lnx+1x−f'(1)x，

所以f'(x)=2x−1x2−f'(1)，

令x=1，得f'(1)=2−1−f'(1)，

解得f'(1)=【解析】解：如图：

根据题意，可得SO1SO=12，

由于圆锥SO的轴截面为正三角形，设圆锥SO底面半径为2r，

则其母线SA=4r，结合SO1SO=12，

若圆锥SO1底面半径为r，则其母线SA1=2r，

故圆锥SO的表面积S=π(2r)2+π×2r×4r=12πr4.【答案】B

【解析】解：甲、乙、丙3名代表团团员与4名青少年站成一排拍照留念，若甲、乙、丙互不相邻，不同的排法需要分两步进行，

第一步先排4名青少年共有A44种排法，第二步把甲、乙、丙插在4名青少年中间有A53种排法，

所以根据分步乘法计数原理共有A44⋅A53=1440种排法，

故选：B5.【答案】A

【解析】解：由题意得t>0，令f(x)=0，则ex+lnt+2(x+lnt)=elnx+2lnx，

令g(x)=ex+2x，

因为函数y=ex，y=2x均在R上单调递增，所以g(x)在R上单调递增，

所以由g(x+lnt)=g(lnx)，得x+lnt=lnx，即lnt=lnx−x，

令ℎ(x)=lnx−x，x>0，则ℎ'(x)=1−xx，

当x∈(0,1)时，ℎ'(x)>0，ℎ(x)单调递增，

当x∈(1,+∞)时，ℎ'(x)<0，ℎ(x)单调递减，

所以ℎ(x)max=ℎ(1)=−1，当x→0时，ℎ(x)→+∞，

所以lnt≤−1【解析】解：易知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，那么求导可得导函数f'(x)=ax−2x=a−2x2x，

可知不等式a−2x2>0在(0,+∞)上有解，因此不等式a>2x2在(0,+∞)上有解，

那么a>(2x2)min，x∈(0,+∞)【解析】解：由em+lnm=2可得elnm+1+lnm+1=3，

由n⋅e2n−3=12得ln2n+2n=3，

设x=lnm+1，t=2n，则ex=3−x，lnt=3−t，

因此x，t分别是f(x)=ex，g(x)=lnx与直线ℎ(x)=3−x的交点的横坐标，

由于f(x)=ex，g(x)=lnx互为反函数，图象关于直线y=x对称，

联立y=3−xy=x，可得(32,32)，因此x+t=3，

【解析】解：∵f(x)=logx+1(x+2)=lg(x+2)lg(x+1)，

∴S=n=1mf(n)=lg3lg2×lg4lg3×⋯×lg(m+2)lg(m+1)=lg(m+2)lg2=log2(m+2)，

∴【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，Anm=n!(n−m)!=n(n−1)![(n−1)−(m−1)]!=nAn−1m−1，A正确；

对于B，x=3时，方程C16x2−x=C105x−5不成立，B错误，

对于C，甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，

先排好除甲乙之外的三人，再将甲乙安排在空位中即可，有A33A42=72种排法，C错误；

【解析】解：(x−2)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a7x7，

对于A选项，令x=0，得a0=(−2)7=−128，故A正确；

对于B选项，令x=1，得a0+a1+a2+a3【解析】解：对于A：当a=1时，函数f(x)=13x3−x2+x−1，导函数f'(x)=(x−1)2．

根据f'(x)≥mx，可得x2−2x+1≥mx，即x2−(m+2)x+1≥0，

要使得不等式恒成立，那么根的判别式Δ=(m+2)2−4≤0，解得−4≤m≤0，因此选项A正确；

对于B：导函数f'(x)=x2−(a+1)x+a，由于y=2x是函数f(x)的一条切线，

因此x2−(a+1)x+a=2有解，又由于根的判别式Δ=(a+1)2−4(a−2)=a2−2a+9=(a−1)2+8>0，

因此方程有两个不相等的实根，此时满足条件的a的值有无数个，所以选项B错误；

对于C：当a=−1时，函数f(x)=13x3−x−1，

f(x)+f(−x)=13x3−x−1+13(−x)3−(−x)−1=−2，

因此当a=−1时，函数f(x)的图象关于点(0,−1)对称，因此选项C正确；

对于D：导函数f'(x)=x2−(a+1)x+a=(x−a)(x−1)．

当a>73>1【解析】解：有6名同学参加，其中有3名男生，3名女生，现要从这6名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，

抽取的3名同学中既有男生又有女生包含2种情况：1名男生，2名女生；2名男生，1名女生．

所以满足要求的抽取方法共有C31C32+C32C31【解析】解：由f(x)的图象可知：当x<−1或x>1时，函数f(x)单调递增，∴f'(x)>0；当−1<x<1时，函数f(x)单调递减，f'(x)<0．

不等式(x2−2x−3)f'(x)<0可化为x2−2x−3>0f'(x)<0或x2−2x−3<0f'(x)>0

化为x>3或x<−1−1<x<1或−1<x<3x<−1或x>1，

解得⌀或1<x<3．

∴不等式(x2−2x−3)f'(x)<0的解集是(1,3)．

故答案为(1,3)．

由f(x)的图象可知：当x<−1或x>1时，函数f(x)单调递增，14.【答案】17.(答案不唯一)

【解析】解：由题意a=C201⋅2+C202⋅22+...+C2020⋅220=(1+2)20−1=320−1=910−1，

因为910一定能被9整除，则−1整除9的余数为8，

所以a整除9的余数为8，

而a与b整除9的余数都为8【解析】(1)∵(3x+1x)n(n∈N∗)的展开式的第2项与第4项的二项式系数之比是1：57，

∴Cn1Cn3=6nn(n−1)(n−2)=6(n−1)(n−2)=157，

整理得n2−3n−340=0，解得n=20或n=−17(舍)，

∴n=20；

(2)设展开式的通项为Tr+1，

则Tr+1=C20r(3x)20−r(1x)r=320−rC20rx20−32r，r=0，1，2，…，20．

当r=0，2，4，【解析】(1)导函数f'(x)=aex−1，

当a≤0时，导函数f'(x)<0，f(x)在R上单调递减；

当a>0时，根据f'(x)<0，得x<−lna，根据f'(x)>0，得x>−lna，

因此f(x)在(−lna,+∞)上单调递增，在(−∞,−lna)上单调递减，

综上所述，当a≤0时，f(x)在R上单调递减，当a>0时，f(x)在(−lna,+∞)上单调递增，在(−∞,−lna)上单调递减．

(2)f(x)≥ex恒成立等价于(a−1)ex≥x−2，所以a−1≥x−2ex．

令函数g(x)=x−2ex,g'(x)=3−xex，当x>3时，g'(x)<0，当x<3时，g'(x)>0，

所以函数g(x)在(3,+∞)上单调递减，在(−∞,3)上单调递增，

所以g(x)≤g(3)=1e3=e−3，所以a−1≥e−3，即a≥e【解析】解：(Ⅰ)等差数列{an}满足a2+a4=10，a4−a3=−2，

设公差为d，则2a1+4d=10，d=−2，

解得a1=9，d=−2，

即有an=9−2(n−1)=11−2n；

(Ⅱ)数列{an}的前n项和Sn=12n(9+11−2n)=−n2+10n=−(n−5)2+25，

可得n=5时，Sn取得最大值25；

(Ⅲ)若等比数列{bn}满足b2=a4，b3=a6，设公比为q，

可得b2=3，【解析】(1)设椭圆的焦距为2c(c>0)，

因为椭圆G的离心率为12，

所以ca=12，

解得a=2c，

又a2=b2+c2，

所以b2=3c2，

此时椭圆的方程为x24c2+y23c2=1．

因为椭圆G过点(−3,32)，

所以34c2+14c2=1，

解得c2=1，

则a=2，b2=3，

故椭圆G的标准方程为x24+y23=1；

(2)①证明：当直线l的斜率不存在时，

易知∠CAD为锐角，不合题意，

所以直线l的斜率存在，

设直线l的方程为y=kx+m(m≠±3)，C(x1,y1)，D(x2,y2)，

联立y=kx+mx24+y23=1，消去y并整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2−12=0，

由韦达定理得x1+x2=−8km4k2+3,x1x2=4m2−124k2+319.【答案】34，−34，34，−34，或