2017高等数学考试题及答案

2017高等数学考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.函数\(y=\sinx\)的导数是（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\)（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)3.曲线\(y=x^2\)在点\((1,1)\)处的切线斜率为（）A.1B.2C.3D.44.若\(f(x)\)的一个原函数是\(x^2\)，则\(f(x)\)为（）A.\(2x\)B.\(x^3\)C.\(\frac{1}{3}x^3\)D.\(x\)5.\(\intxdx=\)（）A.\(\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(x^2+C\)C.\(\frac{1}{3}x^3+C\)D.\(2x+C\)6.函数\(f(x)=x^3-3x\)的驻点为（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=\pm1\)D.\(x=0\)7.下列积分值为0的是（）A.\(\int_{-1}^{1}x^2dx\)B.\(\int_{-1}^{1}xdx\)C.\(\int_{0}^{1}xdx\)D.\(\int_{1}^{2}xdx\)8.已知\(z=x^2+y^2\)，则\(\frac{\partialz}{\partialx}=\)（）A.\(2x\)B.\(2y\)C.\(x^2\)D.\(y^2\)9.级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收敛B.发散C.条件收敛D.绝对收敛10.微分方程\(y'=2x\)的通解是（）A.\(y=x^2+C\)B.\(y=2x^2+C\)C.\(y=x^3+C\)D.\(y=\frac{1}{2}x^2+C\)二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，是奇函数的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})\)2.下列极限存在的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)C.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x}\)3.函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处可导的充分必要条件是（）A.左导数存在B.右导数存在C.左导数等于右导数D.函数在该点连续4.下列积分计算正确的有（）A.\(\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}\)B.\(\int_{-1}^{1}x^3dx=0\)C.\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx=2\)D.\(\int_{0}^{1}e^xdx=e-1\)5.下列函数中，在定义域内单调递增的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=e^x\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=-x^2\)6.关于多元函数偏导数，正确的有（）A.若\(z=f(x,y)\)，\(\frac{\partialz}{\partialx}\)是把\(y\)看成常数对\(x\)求导B.偏导数存在则函数一定连续C.函数连续则偏导数一定存在D.混合偏导数在一定条件下与求导顺序无关7.下列级数中，收敛的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\)8.微分方程的类型有（）A.可分离变量方程B.一阶线性方程C.二阶常系数齐次线性方程D.高阶非线性方程9.下列哪些是求函数极值的步骤（）A.求函数的导数B.求驻点C.用二阶导数判断驻点是否为极值点D.直接代入端点值比较大小10.关于定积分的性质，正确的有（）A.\(\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx\)（\(k\)为常数）B.\(\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx\)C.\(\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx\)D.若\(f(x)\geq0\)在\([a,b]\)上成立，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx\geq0\)三、判断题（每题2分，共10题）1.函数\(y=\frac{1}{x}\)在定义域内是连续的。（）2.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在，则\(f(x)\)在\(x_0\)处一定连续。（）3.函数\(f(x)\)的导数\(f'(x)>0\)，则\(f(x)\)单调递增。（）4.\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)与积分变量用什么字母表示无关。（）5.多元函数在某点偏导数存在，则函数在该点可微。（）6.级数\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收敛，则\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)。（）7.微分方程\(y'+y=0\)是一阶线性齐次方程。（）8.函数\(y=x^2\)在\((-\infty,0)\)上是凸函数。（）9.若\(f(x)\)是偶函数，则\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)。（）10.函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上一定能取得最大值和最小值。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.简述求函数\(y=f(x)\)极值的一般方法。答案：先求\(y=f(x)\)的导数\(f'(x)\)，令\(f'(x)=0\)得驻点。再求\(f''(x)\)，将驻点代入\(f''(x)\)，若\(f''(x)>0\)则为极小值点，若\(f''(x)<0\)则为极大值点。2.简述定积分与不定积分的关系。答案：不定积分是求被积函数的原函数族，定积分是在一定区间上对被积函数的积分值。牛顿-莱布尼茨公式表明，定积分的值等于被积函数的一个原函数在积分区间端点函数值的差。3.简述多元函数偏导数的定义。答案：设\(z=f(x,y)\)，固定\(y=y_0\)，对\(x\)求导，\(\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Deltax}\)就是\(z\)关于\(x\)在\((x_0,y_0)\)处的偏导数，对\(y\)偏导数类似定义。4.简述判断级数收敛的比较判别法。答案：设有正项级数\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)和\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)，若\(0\lequ_n\leqv_n\)，当\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)收敛时，\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收敛；当\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)发散时，\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)发散。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数\(y=x^3-3x^2+1\)的单调性与极值。答案：\(y'=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y'=0\)得\(x=0\)和\(x=2\)。当\(x<0\)或\(x>2\)时，\(y'>0\)，函数递增；当\(0<x<2\)时，\(y'<0\)，函数递减。\(x=0\)为极大值点，极大值为\(1\)；\(x=2\)为极小值点，极小值为\(-3\)。2.讨论定积分在实际问题中的应用（至少举两个例子）。答案：在几何上可求平面图形面积、旋转体体积。如求曲线\(y=f(x)\)与\(x\)轴等围成图形面积\(S=\int_{a}^{b}|f(x)|dx\)。在物理上可求变力做功，如\(W=\int_{a}^{b}F(x)dx\)（\(F(x)\)是变力）。3.讨论多元函数