浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题（含答案）

第第页浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z1=1+i，z2=2−i（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．命题“∃x>0，x2A．∀x>0，x2−3x−10>0 B．∃x>0C．∀x≤0，x2−3x−10≤0 D．∀x>03．下列函数中，以π为最小正周期的奇函数是（）A．y=sin2x B．y=cosx C．4．若甲、乙、丙三人排成一行拍照，则甲不在中间的概率是（）A．14 B．13 C．235．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AA1和CCA．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形6．在同一个坐标系中，函数f(x)=logaA． B．C． D．7．已知sin2β=3A．−2 B．14 C．32 8．已知经过圆锥SO的轴的截面是顶角为θ的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则cosθA．13 B．322 C．7二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A．图中x的值为0.030B．被抽取的学生中成绩在[70C．估计样本数据的众数为90D．估计样本数据的平均数大于中位数10．已知向量a=−1,3,A．bB．aC．向量a与向量b的夹角是45D．向量a在向量b上的投影向量坐标是1,211．已知z∈C，设函数f(z)A．fB．当z∈R时，f(C．若f(1D．若|z|三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．函数y=lnx与y=e13．若某扇形的圆心角为π4，面积为π2，则该扇形的半径是14．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinC=2cosB，a2+b2四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数fx（1）求fx（2）求fx在区间−16．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PD与底面所成的角为45°，E为PD的中点．（1）求证：AE⊥平面PCD；（2）若AB=3AD，求平面ABC与平面17．已知函数f(x)（1）当a=2时，求f(x)（2）讨论f(18．已知椭圆C的焦点在x轴上，上顶点M(0,1)（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l与椭圆C交于P，Q两点．（i）若直线l与MF垂直，求线段PQ中点的轨迹方程；（ii）是否存在直线l，使F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．19．已知数列{an}满足an2−(（1）求{an}（2）定义：已知数列{cn}，Qn=（i）计算Sn，Tn，其中Sn（ii）若{λ(b

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：易知复数z=z2−z1故答案为：D.【分析】根据复数的减法运算求解z，再根据复数的几何意义判断即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：命题“∃x>0，x2−3x−10>0”的否定是∀x>0，故答案为：D.【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：A、函数y=sinB、函数y=cosC、函数y=2|D、含糊y=2|故答案为：A.【分析】利用三角函数的奇偶性和周期性判断即可．4．【答案】C【解析】【解答】解：甲、乙、丙三人排成一行，共有A3甲不在中间的，共有A21A故答案为：C.【分析】根据排列组合，结合古典概型的概率公式求解即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：在正方体ABCD−A1B1C1因为在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AA1和CC1上的点，PA=13AA1，CQ=13CC1，所以PQ//AB，又因为AB//CD

则PQ//CD，

因为CD⊂平面CC1故选：B【分析】本题主要考查直线与平面的性质与直线与平面平行的判定，画出图形，然后判断即可，属于中档题。6．【答案】C【解析】【解答】解：函数f(x)过原点的图象为幂函数h(x)则f(x)故答案为：C.【分析】由指数函数、对数函数的系数判断其单调性相反排除AD，再根据幂函数图象判断出a的范围，即可得图象.7．【答案】A【解析】【解答】解：sin2故2sin则tan(α故答案为：A.【分析】由题意，根据正弦的两角和差公式以及弦切互化公式求解即可.8．【答案】C【解析】【解答】解：作出圆锥SO的轴截面SAB，如图所示：上部分小圆锥一定有内切球，故只需下部分圆台有内切球即可，设圆台的内切球的球心F，因为上、下两部分几何体的体积之比是1:7，

所以截得的小圆锥与原圆锥的体积之比为1:设圆台上底面半径为r，则圆台下底面半径为2r，圆台存在内切球时，由切线长定理可得圆台母线长BD=3r，则可得圆锥的母线SB=6r，圆锥SO的轴截面等腰三角形底边AB=4r，在△SAB中，由余弦定理可得cos故答案为：C.【分析】作圆锥的轴截面，根据题意推出圆台的上、下底面半径之比为1:2，设圆台上底面半径为r，圆台存在内切球可得圆台的母线BD=3r，在△SAB9．【答案】A,B【解析】【解答】解：A、由(0.005+0B、成绩在区间[70,80)的频率为C、众数为90+1002D、平均成绩为55×0.低于80分的频率为0.设样本数据的中位数为n分，则(n−80)×0故答案为：AB.【分析】根据频率分布直方图的性质求解即可判断A；结合频率与频数的关系求解即可判断B；由图得众数即可判断C；结合平均数的计算公式，以及中位数的计算公式，比较大小即可判断D．10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A选项，因为·a→=−1,3,b因为a→所以1+2x−3=0，解得x=1，故b=B选项，由A选项可知a−2b=C选项，a→⋅b→=-1×1+3×2=5，|a向量a与向量b的夹角是45∘D选项，向量a在向量b上的投影向量a⋅故选：ACD.

【分析】本题主要考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量夹角的运算以及投影向量的运算，属于中档题。由平面向量数量积的运算，结合平面向量夹角的运算以及投影向量的运算求解即可。11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由f(z)+zf(A、当z=1时，f(B、若z∈R，z2−z+1≠0C、取z=12+解得f(D、若z≠12+32i且故zf(若z=12+此时z=12若z=12−此时z=12故答案为：ACD.【分析】联立方程可得(z2−z+1)f(z)=12．【答案】y=x【解析】【解答】解：因为y=lnx与y=ex互为反函数，所以y=ln故答案为：y=x【分析】根据反函数的性质求解即可.13．【答案】2【解析】【解答】解：设扇形的半径为r，则扇形的面积为S=12×故答案为：2.【分析】根据扇形面积计算公式直接求解即可.14．【答案】6【解析】【解答】解：由a2+b因为0<C<π，所以C=π4，所以sin因为0<B<π，所以B=π3sinA=由正弦定理asin得b=32×2R=若△ABC的面积为3+3，则12bcsinA=1故答案为：6+【分析】根据已知条件，利用余弦定理求出C,B,A，再由正弦定理用R表示15．【答案】（1）fx故T=2由fx=2sin2x+π解得−π3+k故函数fx的单调递增区间为−π3（2）当x∈−π6则sin2x+π6即fx在区间−当2x+π6=−π6当2x+π6=π2【解析】【分析】（1）利用三角变换得到fx（2）本题主要考察三角函数的基本性质，包括二倍角公式、周期性和单调性。题目给出了一个复合三角函数，根据区间−π6,5π12，2x+16．【答案】（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，因为PA⊥平面ABCD，则∠PDA为PD与平面ABCD所成的角，PD与平面ABCD所成的角为45°，所以∠PDA=45°，则PA=AD，又E为PD的中点，所以AE⊥PD．因为CD⊥AD，又CD⊥PA，故CD⊥平面PAD，所以CD⊥AE，所以AE⊥平面PCD．（2）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，BC⊥平面PAB.PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，又BC⊥AB，则∠PBA即为所求，由（1）知：PA=AD，而AB=3AD，则BA=3【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理与性质定理即可得证。（2）根据条件证出则∠PBA为平面ABC与平面PBC的夹角，即可得出夹角大小.本题主要考查线面垂直的判定以及两个平面的夹角计算，属于中档题。17．【答案】（1）解：当a=2时，函数f(x)=2e2x−x故函数f(x)在x=0（2）解：f'①若a≤0，f'(x)<0②若a>0，当f'(x当x>−lna，f'(x所以f(x)在(【解析】【分析】（1）求导，利用导数的几何意义结合点斜式求切线方程即可；（2）求导可得f'(x)=(218．【答案】（1）解：由题意得：b=1，e=22，则易得a（2）解：（i）由题意得：kMF=−1，因为MF⊥l，所以kMF设直线l:y=x+m，P(x1,yΔ=16m2由韦达定理得：x1+x2=−设线段PQ中点为N(x,y)则PQ中点的轨迹方程为y=−1（ii）因为F恰为△PQM的垂心，有MP所以MP又yi=x即2x代入韦达定理得2⋅2解得m=−43或m=1．经检验则直线l的方程为：y=x−4【解析】【分析】（1）由题意，易求a,（2）（i）设直线l:y=x+m，再联立直线与椭圆方程，利