安徽省淮北市国泰中学2023~2024学年 高二下册7月期末数学试题有解析

/安徽省淮北市国泰中学2023−2024学年高二下学期7月期末数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，则集合的所有非空真子集的个数是（

）A．6 B．7 C．14 D．153．下列关于命题“，使得”的否定说法正确的是（

）A．，均有假命题 B．，均有真命题C．，有假命题 D．，有真命题4．设，则（

）A． B．C． D．5．若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．6．若等差数列满足，，则当的前项和最小时，（

）A．6 B．7 C．8 D．97．“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（a，b为常数），若该果蔬在6的保鲜时间为216小时，在24的保鲜时间为8小时，那么在12时，该果蔬的保鲜时间为（

）小时．A．72 B．36 C．24 D．168．若定义在实数集上的函数满足：时，，且对任意，都有成立，则等于（

）A．1 B．e C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知为虚数单位，则以下四个说法中错误的是（

）A．B．复数的虚部为C．若复数为纯虚数，则D．若为复数，则10．已知正数满足，则下列说法一定正确的是（

）A． B．C． D．11．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．有且只有一个极值点B．设，则与的单调性不同C．有3个零点D．在上单调递增三、填空题（本大题共3小题）12．若是首项和公比均为3的等比数列，且，则．13．若不等式的解集为，则实数的取值范围是．14．已知幂函数的图像过点，且当时，恒有，则实数a的取值范围为.四、解答题（本大题共5小题）15．设集合，集合．（1）若，求和；（2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．16．已知，若关于的不等式的解集是．(1)求的值；(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．17．已知是定义在上的偶函数，当时，．(1)求的解析式；(2)求的解集．18．已知数列为等差数列，，公差，数列为等比数列，且，，（）．(1)求数列的公比q；(2)设，数列的前n项和为，求满足的n的最小值．19．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)当时，恒成立，求a的取值范围.

答案1．【正确答案】A【分析】利用复数除法法则得到，从而确定所在象限.【详解】，故在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限.故选A.2．【正确答案】A【分析】根据自然数集的特征，结合子集的个数公式进行求解即可.【详解】因为，所以集合的元素个数为，因此集合的所有非空真子集的个数是，故选A.3．【正确答案】B【分析】存在性命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，即可得该命题的否定，再判断真假即可.【详解】命题“，使得”的否定是，均有，对，又，故该命题为真命题.故选B.4．【正确答案】A【分析】根据对数函数的单调性即可求解.【详解】，即，同理可得，故．故选A.5．【正确答案】B【分析】根据不等式的性质即可求解AD,利用作差法即可求解B，举反例即可求解C.【详解】因为，所以，所以，故A错误；，因为，所以，即，所以，故B正确；C项中,取，则不满足，故C错误，D项中应是．D错误，故选B．【快解】取，则A、C、D不成立，故选B.6．【正确答案】B【分析】由等差数列的性质可得，，所以等差数列为递增数列，前项都为负数，从第项开始为正数，即可求出的前项和最小时的值.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，，所以，，所以，因为等差数列为递增数列，前项都为负数，从第项开始为正数，所以当时，的前项和最小.故选B.7．【正确答案】A【分析】根据题意列出时所满足等式，利用指数幂的运算分别可求解出的值，然后即可计算出时的值，则对应保鲜时间可求.【详解】当时，；当时，，则，整理可得，于是，当时，．故选A.【关键点拨】本题属于指数函数模型的实际应用，解答本题的关键在于通过所给的两组的取值计算得到所满足的等式，然后通过化简指数幂的运算求解出最终结果.8．【正确答案】C【分析】根据题设条件可得函数为周期函数，从而可求.【详解】因为，故，故，故为周期函数，且周期为4，故，因为时，，故，即，故选C．9．【正确答案】BC【分析】根据的性质即可求解A，根据虚部的定义即可求解B，根据模长公式即可求解C，根复数的乘法运算以及模长公式即可求解D.【详解】因为，A正确；复数的虚部为，B错误；若，则，C错误；设，所以，，D正确．故选BC．10．【正确答案】ACD【分析】由已知等式可得，由，，结合基本不等式可知AB正误；利用基本不等式可直接验证CD正误.【详解】由，，得：；对于A，（当且仅当，即，时取等号），A正确；对于B，（当且仅当，即，），B错误；对于C，（当且仅当，即，时取等号），，解得：（当且仅当，时取等号），C正确；对于D，（当且仅当，即，时取等号），由C知：（当且仅当，时取等号），（当且仅当，时取等号），D正确.故选ACD.11．【正确答案】ABD【分析】利用的二次求导，得到，，从而存在，使得，结合函数极值点的定义即可判断选项，求出的解析式，然后利用导数研究其单调性即可判断选项，利用函数的极值点即可判断选项，利用函数单调性的结论即可判断选项．【详解】由题知，，，所以在上单调递增，当时，；当时，，所以存在，使得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以有且只有一个极值点，故A正确；因为，所以，所以，所以，故的一个极值点为0，所以与的单调性不相同，故B正确；因为有且只有一个极值点，，且，所以在和上各有一个零点，所以有且只有两个零点，故C错误；因为与在上都是单调递增，所以在上单调递增，故D正确．故选ABD．12．【正确答案】2024【分析】根据等比数列的通项即可求解.【详解】根据题意可知的通项公式为，当时，．故2024.13．【正确答案】【分析】根据解集为可得，解不等式即可.【详解】由不等式的解集为可得：，解得：，即实数的取值范围为.故答案为.14．【正确答案】【分析】先求出，利用分离参数法得到在上恒成立.令，利用单调性求出，即可求得实数a的取值范围.【详解】因为幂函数的图像过点，所以，解得：，所以.所以在上恒成立可化为：在上恒成立.令，只需.因为，所以在上单减，所以.所以.所以实数a的取值范围为.故答案为.15．【正确答案】（1），；（2）．【分析】（1）确定集合中的元素后，由集合运算法则计算；（2）由是成立的必要不充分条件，得，根据集合包含关系可得参数范围．【详解】（1）．因为，所以，或，所以，；（2）因为是成立的必要不充分条件，所以，当时，，得当时，，得，所以实数的取值范围．16．【正确答案】(1)(2)．【分析】（1）根据一元二次不等式的解与方程的根之间的关系，即可代入求解，（2）分离参数，由二次函数的性质求解最值即可求解.【详解】（1）由题知1和是的两根，将代入方程解得，经检验符合题意．（2）由（1）可知不等式在上恒成立，即在上恒成立，因为函数在上单调递减，所以时，所以，即实数的取值范围为．17．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）根据偶函数的定义，先求出时，的解析式，得出函数的解析式；（2）由为偶函数，结合条件可得，由单调性从而可得，解出不等式可得答案.【详解】（1）当时，则，又为偶函数，所以，所以；（2）由为偶函数，则，即，函数在上均为增函数，则函数在上为增函数，所以，所以且，即且，解得或，且，所以不等式的解集为．18．【正确答案】(1)(2)13【分析】（1）根据等比中项，结合等差数列基本量的计算即可求解，（2）利用错位相减法可得，进而根据数列的单调性即可求解不等式.【详解】（1）∵，，，又，，，，，∴，故，解得或（舍去），∴，∴，，∴．（2）由（1）知，，所以，，错位相减得：，∴，由，可得，令，则，令，故当且时，，当且时，，而，而，故，，，满足，∴满足的n的最小值为13．19．【正确答案】(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）求出，利用导数几何意义求得切线斜率，代入点斜式直线方程求解即可；（2）求出导函数，按照和分类讨论求解即可；（3）解法一：根据函数的单调性分类讨论研究的最小值，即可解答；解法二：分类讨论，先求时a的取值范围，然后参变分离，把恒成立问题转化为恒成立问题，构造函数，利用导数求解函数最值即可求解.【详解】（1）当时，，得，，则，所以切线方程为：，即；（2）由题，可得，当时，，，单调递减，，，单调递增，当时，的解为，①当，即时，，则在上单调递增；②当，即时，在区间上，，在区间上，，所以的单调增区间为；单调减区间为；③当，即时，在区间上，，在区间上，，所以的单调增区间为；单调减区间为；（3）解法一：，①当时，因为，所以，，所以，则在上单调递增，成立，②当时，，所以在上单调递增，所以成立.③当时，在区间上，；在区间，，所以在上单调递减，上单调递增，所以，不符合.综上所述