福建省福州市长乐第一中学2024-2025学年 高二下册第二次月考数学试题有解析

/2024-2025学年第二学期长乐一中阶段二考试高二年级数学科试卷考试范围：选择性必修二、三完卷时间：120分钟，满分：150分第一部分（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知甲、乙两人同时向目标射击，至少有一人命中的概率为，已知甲射击的命中率为，且甲、乙两人的命中率互不影响，则乙射击的命中率为（）A. B. C. D.2.若随机变量，随机变量，则（）A.2 B. C. D.03.甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（）A.3种 B.6种 C.12种 D.20种0244.已知随机变量的分布列为则（）A. B. C. D.5.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，则（）A. B. C. D.6.若函数在区间上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.7.抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为，构造数列，使，记，则且的概率为（）A. B. C. D.8.正值元宵佳节，赤峰市“盛世中华•龙舞红山”纪念红山文化命名七十周年大型新春祈福活动中，有5名大学生将前往3处场地开展志愿服务工作.若要求每处场地都要有志愿者，每名志愿者都必须参加且只能去一处场地，则当甲去场地时，场地有且只有1名志愿者的概率为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在的展开式中，下列说法正确的是（）A.各二项式系数的和为64 B.各项系数的绝对值的和为729C.有理项有3项 D.常数项是第4项10.下列说法中，正确的命题是（）A.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和．B.在线性回归模型拟合中，若相关系数的值越小，则样本的线性相关性越弱．C.在回归分析中，决定系数的值越大，说明残差平方和越大．D.回归直线方程中，，则样本数据的残差为．11.已知定义在的函数满足：①对恒有；②对任意的正数，恒有．则下列结论中正确的有（）A.B.过点的切线方程C.，不等式恒成立D.若为函数的极值点，则第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.高二年级人参加了期中数学考试，若数学成绩，统计结果显示数学考试成绩在分以上人数为总人数的，则此次期中考试中数学成绩在分到分之间的学生有_______人.13.若的展开式中的系数为40，则实数__________.14.中最大的数字是__________；中最大的数字是__________.（）四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知是等差数列的前n项和，且，（1）求（2）若，求数列的前n项和为；16.已知函数；（1）若函数在点处的切线与直线平行，求函数的极值；（2）若，，，求的单调区间.17.某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表：性别不经常锻炼经常锻炼合计男生7女生1630合计21注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．（1）请完成上面列联表，并依据小概率值独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；（2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的数学期望和方差；（3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望．附：，0.10.050.012.7063.8416.63518.放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.2017.580.41.540703145.01621254.227.71226.8其中，（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率.（2）已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A、B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题：（i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；（ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地、B地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.附：（1）对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，参考数据：，，.19.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”。现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇。衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率（1）求曲线在曲率；（2）求曲线曲率的最大值；（3）函数，若在两个不同的点处曲率为0，求实数m的取值范围.长乐一中2024-2025学年第二学期高二数学第二次月考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知甲、乙两人同时向目标射击，至少有一人命中的概率为，已知甲射击的命中率为，且甲、乙两人的命中率互不影响，则乙射击的命中率为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】设乙命中率为，然后根据题意结合独立事件的概率公式列方程求解即可.【详解】设乙命中率为，则由题意得，解得，故选：B2.若随机变量，随机变量，则（）A.2 B. C. D.0【正确答案】C【分析】利用正态分布的两个参数就是随机变量的期望和方差，再利用两个线性随机变量之间的期望和方差公式，即，就可以求出结果.【详解】由可知：，又因为，所以，，则，故选：C3.甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（）A.3种 B.6种 C.12种 D.20种【正确答案】B【分析】采用插空法，在4个空座中间的3个空中插入甲、乙两人的座位即可得答案.【详解】一排共有6个座位，现有两人就坐，故有4个空座.要求每人左右均有空座，即在4个空座的中间3个空中插入2个座位让两人就坐，即有种坐法.故选：B.4.已知随机变量的分布列为024则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据分布列的性质求出，再根据期望、方差公式求解即可.【详解】由分布列性质知，，解得，则，则．故选：C.5.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据概率的性质解得，结合可得，代入条件概率公式分析求解.【详解】因为，即，解得，又因为，即，解得，且，可得，所以.故选：A.6.若函数在区间上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】求导后在区间上有解,等价于在区间上有解，分类讨论，计算即可.【详解】，因为在区间上存在单调递减区间，所以在区间上有解，即在区间上有解，当显然不出来；当时，，即，故选:D．7.抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为，构造数列，使，记，则且的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】先确定对应情况，再根据对应情况计算概率.【详解】由题意知，当时，说明抛掷次，其中有次正面向上，次反面向上，又因为，所以有两种情况：前次正面都向上，后中有次正面向上，次反面向上或前次反面都向上，后中有次正面向上，次反面向上，所以且时的概率为，故选：D．8.正值元宵佳节，赤峰市“盛世中华•龙舞红山”纪念红山文化命名七十周年大型新春祈福活动中，有5名大学生将前往3处场地开展志愿服务工作.若要求每处场地都要有志愿者，每名志愿者都必须参加且只能去一处场地，则当甲去场地时，场地有且只有1名志愿者的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】将其他四人分组为、、三种情况，求出甲去场地的所有安排，再求出场地有且只有1名志愿者的安排方法数，即可求概率.【详解】其它四人分成三组，有种，再把三组安排到场地，有种，其它四人分成两组，有种，再把两组安排到场地，有种，其它四人分成两组，有种，再把两组安排到场地，有2种，所以甲去场地时共有种安排方法，场地有且只有1名志愿者，分成三组有种，分成两组有种，分成两组有0种，所以甲去场地时，场地有且只有1名志愿者共有种安排方法，所求概率为.故选：A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在的展开式中，下列说法正确的是（）A.各二项式系数的和为64 B.各项系数的绝对值的和为729C.有理项有3项 D.常数项是第4项【正确答案】AB【分析】利用各二项系数和可判断A选项；根据二项式展开式的系数的绝对值和与二项式的展开式的系数和相等，可判断B选项；根据展开式的通项可判断C选项和D选项；【详解】在的展开式中，各二项式系数的和为，故A正确；各项系数的绝对值的和与的各项系数和相等，令，可得各项系数的绝对值的和为，故B正确；展开式的通项为，令，得时，展开式的项为有理项，所以有理项有4项，故C错误；令，得，所以常数项是第5项，故D错误.故选：AB.10.下列说法中，正确的命题是（）A.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和．B.在线性回归模型拟合中，若相关系数的值越小，则样本的线性相关性越弱．C.在回归分析中，决定系数的值越大，说明残差平方和越大．D.回归直线方程中，，则样本数据的残差为．【正确答案】AD【分析】对选项A，两边取对数，可得，即可判断A正确，对选项B，根据相关系数的性质即可判断B错误，对选项C，根据的性质即可判断C错误，对选项D，根据回归直线方程过点，即可判断D正确.【详解】对于A，，两边取对数，可得，则，，，，故A正确，对于B，若越小，则样本的线性相关性越弱，故B错误；对于C，在回归分析中，相关指数越大，残差平方和越小，回归效果就越好，故C错误；对于D，回归直线方程中，，回归直线方程为，所以观测值为，残差为故D正确；故选：AD11.已知定义在的函数满足：①对恒有；②对任意的正数，恒有．则下列结论中正确的有（）A.B.过点的切线方程C.对，不等式恒成立D.若为函数的极值点，则【正确答案】ACD【分析】由条件①结合导数的运算法则可设，再由条件②，求得，选项A，B易判断；对C，构造函数，利用导数证明即可；对D，利用导数判断极值点的范围，即可得证.【详解】恒有，，可设（其中C为常数），又对任意的正数恒有，对任意的正数恒有，，，，即，对于A，由上式可得，故A正确；对于B，，设切点为，则切线斜率为，，化简得，解，所以点就是切点，所以切线方程为，故B错误；对于C，令，，则，令，可得，，可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，，所以，对恒成立，故C正确；对于D，设，，在上单调递增，且，，所以使在上单调递减，在上单调递增，为函数的极小值点且满足，，，故D正确.故选：ACD.思路点睛：本题属于导数的应用问题，难度较大.首先分析条件①，由导数的运算法则得，可设，再由条件②，代入运算求得，再根据导数知识可依次判断各个选项得解.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.我校高二年级人参加了期中数学考试，若数学成绩，统计结果显示数学考试成绩在分以上的人数为总人数的，则此次期中考试中数学成绩在分到分之间的学生有_________人.【正确答案】【分析】由已知可得，由正态密度曲线的对称性求出，乘以可得结果.【详解】因为，由已知，则，因此，此次期中考试中数学成绩在分到分之间的学生人数为.故答案为.13.若的展开式中的系数为40，则实数__________.【正确答案】【分析】将化为，分别求两个二项式中的系数，再合并列方程，求解即得.【详解】因，故其展开式中的系数为，解得.故答案为.14.中最大的数字是__________；中最大的数字是__________.（）【正确答案】①.；②..【详解】考虑函数则，因此函数单调递减，注意到，，因此所以最大的数是四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知是等差数列的前n项和，且，（1）求（2）若，求数列的前n项和;【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用等差数列的基本量列方程求解即可；（2）利用裂项相消的方法求和；【小问1详解】设等差数列的公差为d，则由题意得：即解得故，故【小问2详解】，16.已知函数.（1）若函数在点处的切线与直线平行，求函数的极值；（2）若，，，求的单调区间.【正确答案】（1）极小值，极大值为.（2）答案见解析【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义可求解，再利用导数判断函数的单调区间，从而可求得极值；（2）求出导函数，对进行分类讨论，即可求得单调区间.【小问1详解】由题意得函数的定义域为，，则，解得：，所以，令，解得：或，当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，则当时，函数取得极小值，为，当时，函数取得极大值，为；【小问2详解】，，，，当时，，在单调递增，当时，，，在上单调递增，，，在上单调递减，，，在上单调递增，当时，，，在上单调递增，，，在上单调递减，，，在上单调递增，综上所述，当时，的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，，的单调递减区间为，当时，的单调递增区间为，，的单调递减区间为.17.某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表：性别不经常锻炼经常锻炼合计男生7女生1630合计21注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．（1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；（2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的数学期望和方差；（3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望．附：，0.10.050.012.7063.8416.635【正确答案】（1）表格见解析，性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系（2），（3）分布列见解析，【分析】（1）先根据题意完成列联表，代入公式可得，即可得到结论；（2）依题意可得X近似服从二项分布，先求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率为，从而可得，即可求得和；（3）依题意可得Y的所有可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布公式求得概率，进而即可得到Y的分布列和期望值．【小问1详解】根据题意可得列联表如下；性别不经常锻炼经常锻炼合计男生72330女生141630合计213960零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；根据列联表的数据计算可得，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．【小问2详解】因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布，易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，即可得，故，．【小问3详解】易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，所以Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y服从超几何分布：，，，故所求分布列为Y0123P可得18.放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.2017.580.41.540703145.01621254.227.71226.8其中，（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率.（2）已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A、B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题：（i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；（ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地、B地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.附：（1）对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，参考数据：，，.【正确答案】（1）适宜，预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率（2）（i）0.778；（ii）可判断该航班飞往其他地区的可能性最大，理由见解析【分析】（1）根据线性回归方程的计算公式，选择合适的模型计算即可；（2）利用全概率公式和条件概率公式，即