福建省漳州高新技术产业开发区第二中学2024~2025学年高一下册第二次检测数学试题有解析

/福建省漳州高新技术产业开发区第二中学2024−2025学年高一下学期第二次质量检测数学试卷一、单选题1．在复平面内，对应的点位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．在中，点D在边AB上，．记，则（

）A． B． C． D．3．某学习小组共5名同学，某次模拟考试的数学成绩平均分数为112，已知其中4名同学的成绩分别为96，109，120，126，则这5名同学成绩的第75百分位数是（

）A．112 B．119 C．120 D．1214．如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（

）

A． B． C． D．5．设，为不重合的平面，，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（

）①，，则；②，，，则；③，，，则；④，，，则.A．①③ B．②③ C．②④ D．③④6．某中学举行疾病防控知识竞赛，其中某道题甲队答对该题的概率为，乙队和丙队答对该题的概率都是.若各队答题的结果相互独立且都进行了答题.则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率为（

）A． B． C． D．7．被誉为“苏北黄鹤楼”的泗水阁位于泗阳运河风光带上，建成于2012年，建筑面积约5800平方米，是四面五层仿唐汉风格的建筑.某同学为测量泗水阁的高度，在泗水阁旁边找到一座建筑物，高约为，在底面上的点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，泗水阁顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则泗水阁的高度约为（

）A． B． C． D．8．如图，在四面体中，点在平面上的射影是，，若，则异面直线与所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．二、多选题9．已知平面向量，，则下列说法正确的是（

）A． B．C．向量与的夹角为钝角 D．向量在上的投影向量为10．中，角所对的边分别为.以下结论中正确的有（

）A．若，则必有两解B．若，则一定为等腰三角形C．若，则一定为直角三角形D．若，且该三角形有两解，则的范围是11．如图，在正方体中，线段上有两个动点E，F，且（m为正常数），则下列结论中正确的是（

）A．B．线段上存在点E，F，使得C．的面积与的面积之比为D．三棱锥的体积为定值三、填空题12．若向量，且，则．13．已知古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则.14．已知正三棱锥的顶点都在球O的球面上，其侧棱与底面所成角为，且，则球O的表面积为四、解答题15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求B；（2）若，，求的面积.16．古人云“民以食为天”，某校为了了解学生食堂服务的整体情况，进一步提高食堂的服务质量，营造和谐的就餐环境，使同学们能够获得更好的饮食服务．为此做了一次全校的问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如表所示的频数分布表．样本分数段[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数51020a2510（1）求频数分布表中a的值，并求样本成绩的中位数和平均数；（2）已知落在[50，60）的分数的平均值为56，方差是7；落在[60，70）的分数的平均值为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．17．江苏省高考目前实行“3+1+2”模式，其中“3”指的是语文､数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理､历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治､地理､化学､生物这4门再选科目中选择2门.已知南京医科大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学､生物至少1门.（1）从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求的概率；（2）假设甲､乙､丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中至少有两人的选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求的概率.18．如图，在四棱锥中，平面是的中点.

（1）证明：面（2）证明：平面平面；（3）求三棱锥的体积.19．如图所示，将一副三角板拼接，使它们有公共边，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若.

（1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角的正切值；（3）求异面直线与间的距离.

答案1．【正确答案】A【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.【详解】因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限.故选A.2．【正确答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，所以．故选B．3．【正确答案】C【详解】依题意设另外一名同学的成绩为x，则，解得,将这5名同学的成绩按从小到大的顺序排列为96，109，109，120，126，则成绩的第75百分位数为即排序后的第4个数据，所以这5名同学成绩的第75百分位数是120，故选C4．【正确答案】A【详解】在直观图中作，垂足分别为E，F，则

确定原平面图形的形状及部分边长：在斜二测画法中，平行于y轴的线段，在原图形中长度变为直观图中对应线段长度的倍．已知直观图是底角为，腰和上底均为的等腰梯形，因为直观图中腰长为且平行于y轴，所以原平面图形为直角梯形，其直角腰长为直观图中腰长的倍，即；上底边长在斜二测画法中长度不变，所以原平面图形上底边长为．原图如下：

将原平面图形上底，下底，高代入公式，可得．原平面图形的面积是．故选A．5．【正确答案】D【详解】解：①若，，则或，故①错误；②若，，，则或与异面，故②错误；③若，，则或，又，则，故③正确；④若，，则，又，，可得，故④正确.故选D.6．【正确答案】C【详解】解：记“甲队答对该题”为事件A，“乙队答对该题”为事件B，“丙队答对该题”为事件C，则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率，故选C.7．【正确答案】C【详解】在中，，所以，在中，，则，由正弦定理得，即，解得，在中，.故选C.8．【正确答案】C【详解】分别取的中点，连接.因为点在平面上的射影是，所以平面，则.因为分别为中点，所以，所以与所成的角即或其补角.因为，所以，所以.又因为，所以，所以，异面直线所成角的范围是,故异面直线与所成角的余弦值为.

故选:C.9．【正确答案】ABD【详解】对于A，，则，A正确；对于B，，则，B正确；对于C，，又，则，而，因此为锐角，C错误；对于D，，，向量在上的投影向量，D正确.故选ABD10．【正确答案】AC【详解】对于A，若，则，又，所以必有两解，故A正确；对于B，若，则或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，由正弦定理得：，即，而，故，所以一定为直角三角形，故C正确；对于D，若，且该三角形有两解，所以，即，也即，故D错误.综上所述，只有AC正确，故选AC.11．【正确答案】ACD【详解】对于A，连接，如图所示，在正方体中，平面，平面，，在正方形中，，又平面，平面，，平面，又平面，，A正确；对于B，如图所示，假设，则四点共面，这与“直线与直线是异面直线”矛盾，所以假设不成立，B错误；对于C，连接，，连接交于，则点是的中点，接，如图所示，设正方体的棱长为，则，在矩形中，，在等边中，，，，，C正确；对于D，如图所示，由上可知，平面，，，，D正确.故选ACD.12．【正确答案】/【详解】因为向量，且，所以，解得．13．【正确答案】【详解】因为，，，所以，所以.14．【正确答案】【详解】如图，正三棱锥中，设点Q为的中心，则PQ⊥平面ABC，

∴，∴，PQ＝3．球心O在直线PQ上，连接AO，设球O的半径为r，则，，在中，，即，解得，∴球O的表面积为．15．【正确答案】（1）；（2）.【详解】解：（1）∵，由正弦定理得，，.∴，∴，.∴，而，∴，∴，又，∴；.（2），..由正弦定理得，，.∴.16．【正确答案】（1），中位数为75，平均数74（2）总平均数是62，总方差是23．【详解】（1）由，解得，前三段的频率之和，，前四段的频率之和，，由成绩在段的频率为0.3，所以中位数为，．（2）由表可知，分数在[50，60）的问卷为10份，分数在[60，70）的问卷为20份，故，．所以两组成绩的总平均数是62，总方差是23．17．【正确答案】（1）（2）【详解】（1）用分别表示“选择物理”“选择历史”，用分别表示选择“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”，则所有选科组合的样本空间，，设“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求”则，，.（2）设甲､乙､丙三人每人的选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求的事件分别是，由题意知事件相互独立.由（1）知.记“甲､乙､丙三人中至少有两人的选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求”，则易知以上子事件两两互斥，根据互斥事件概率加法公式得.18．【正确答案】（1）见详解（2）见详解（3）【详解】（1）取中点，连接，∵,,∴,∴为平行四边形，则，∵面，面，∴面.

（2）因为，所以，由平面平面，所以，又由，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面，即平面平面.（3）由（1）可得，且平面，平面，所以平面，所以，因为平面，可得，又由，所以，所以，即三棱锥的体积为.19．【正确答案】（1）见详解（2）2（3）【详解】（1）∵平面平面平面平面,平面，所