河北省承德市双滦区实验中学2024-2025学年高一下册5月月考数学试题有解析

/河北承德市双滦区实验中学2024—2025学年第二学期高一年级5月份月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．已知向量，，且，则实数（

）A．-10 B．-6 C．5 D．112．在锐角中，角所对的边长分别为．若，则角等于（

）A． B． C． D．3．把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（

）A．B．C． D．.4．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（

）A．6B．9C．12D．155．已知单位向量满足，则与的夹角为（

）A． B． C． D．6．已知表示不同的直线，表示不同的平面，给出下面四个(1)若，则

(2)若，则;(3)若，则;

(4)，则.上面四个命题正确的有（

）A．(1)，(3)B．(2)，(4)C．(1)，(2)，(4) D．(1)，(3)，(4).7．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（

）A． B．1 C．2 D．8．如图，在正三棱柱中，为上一点，，，平面将三棱柱截为两部分，则这两部分几何体的表面积之比为（

）

A． B．C．8 D．9二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）9．下列命题正确的是（

）A．若向量，共线，则A，B，C，D必在同一条直线上B．若A，B，C为平面内任意三点，则C．若点G为的重心，则D．若向量，满足，且，方向相同，则10．已知函数，则下列说法中正确的是（

）A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称C．若，则的最小值为D．若，则的最小值为11．如图，已知正三棱柱的所有顶点均在球O的球面上，，D，E，F，M分别为BC，AC，，的中点，且，则（

）A．平面DEF B．C．球O的表面积为 D．点F到平面DEM的距离为三、填空题（本大题共3小题，共15分12．已知，，，，则.13．已知为单位向量，，则．14．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内．已知球为该八面体的外接球，设该八面体的体积为，球的体积为，则．四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题13分）设的内角，，的对边分别为，，，是边的中点，的面积为1，且.(1)求；(2)求的值.16．（本小题15分）如图，，是海上相距海里的两个观测塔，位于的正南方向.观测塔发现其南偏东方向处有一艘轮船发出求救信号，同时，观测塔也发现其北偏东方向上处发出求救信号.此时位于观测塔南偏西方向且与相距海里的处有一艘救援船，其航行的最大速度为30海里/时.(1)求处到观测塔的距离；(2)处的救援船应该朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？至少航行多长时间才能到达处？17．（本小题15分）如图，在平行四边形中，，，.(1)用，表示，；(2)若，判断的形状，并用向量的方法证明你的结论.18．（本小题17分）如图，在四棱锥中，平面，为的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面的夹角；(3)求点M到平面的距离．19．（本小题17分）已知在正四棱柱中，，，点是的中点.

(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值；(3)求三棱锥的体积.答案：题号12345678910答案DCBCCCBABCBC题号11答案AB1．D【分析】写出的坐标，利用两垂直向量的坐标关系列方程求解.【详解】因为，且，所以，解得.故选：D2．C【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，然后利用锐角三角形的性质求得的值.【详解】因为，由正弦定理，可得，又，所以，又因为为锐角三角形，可得.故选：C3．B【分析】求出把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数，求出再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数.【详解】把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数为，再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数为.故选：B.4．C【分析】根据直观图还原原图形，然后可求出的面积.【详解】由的直观图可知原图中，，所以的面积为.故选：C5．C【分析】对等式两边同时平方，即可求出结果.【详解】化简得，，，，，故选:C.6．C【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】（1）中，若，由面面平行的性质，可得，所以（1）正确；（2）中，由，根据线面平行的判定定理，可得，又由，且，根据线面平行的性质，可得，所以（2）正确；（3）中，若，则与平行或异面，所以（3）不正确；（4）中，若，根据线面垂直的性质，可得，所以（4）正确.故选：C.7．B【分析】利用平移思想，结合正切函数平移都是奇函数，可得的取值可能，从而可得最小值.【详解】函数的图象向左平移个单位，得到函数,由为奇函数，则，因为，所以的最小值是，故选：B.8．A【分析】几何体被截面截完后，分为两个部分，其中上部分的面积由一个正三角形、一个等腰三角形、两个直角梯形和一个正方形构成，下部分是由两个直角三角形、一个等腰三角形和一个正三角形组成的,逐个计算即可求解.【详解】该几何体被截面截完后，分为两个部分，其中上部分的面积由一个正三角形、一个等腰三角形、两个直角梯形和一个正方形构成，下部分是由两个直角三角形、一个等腰三角形和一个正三角形组成的.为了便于计算，设，，，中，边上的高，则上部分几何体的面积，下部分几何体的面积，故上下两部分表面积之比为.故选：A9．BC【分析】由向量共线的定义判断A，由向量运算性质判断D，由三角形重心的性质可判断C，对于D，由向量无法比较大小即可判断.【详解】对于A，若向量，共线，只需两个向量方向相同或相反即可，则A，B，C，D不必在同一直线上，故A项错误；对于B，由向量线性运算性质知，故B项正确；对于C，由平面向量中三角形重心的性质，可得C项正确；对于D，由于向量间无法比较大小，故D项错误.故选：BC.10．BC【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简，由函数的性质可逐一可验证求解.【详解】，易知函数对称中心不在x轴上，故A错误；，函数最大值也是3，故B正确；，所以分别为函数最大值和最小值，，故C正确；，即，其中一中情况，此时，的最小值为，故D错误；故选：BC.11．AB【分析】根据线性关系可得，结合平行公理、线面平行的判定定理即可判断A；取AB的中点N，由线面垂直判定定理可得平面MNCF，结合线线平行判断与的位置关系即可得判断B；结合正三棱柱的外接球的几何性质列方程求解球得半径，从而得面积即可判断C；结合三棱锥等体积法转化求解点F到平面DEM的距离即可.【详解】如图，因为D，E分别为BC，AC的中点，所以，又，所以，因为平面DEF，平面DEF，所以平面DEF，A正确；取AB的中点N，连接MN，则，连接CN，则，又，CN，平面MNCF，所以平面MNCF，因为平面MNCF，所以，又，所以，B正确；设，则，，，因为，所以，即，解得，所以，易得△ABC外接圆的半径为，设正三棱柱外接球的半径为R，则，所以其外接球的表面积为，C错误；因为，，，DE，平面DEF，所以平面DEF，由上可得，，，，，所以，，设点F到平面DEM的距离为h，由，得，所以，即点F到平面DEM的距离为，D错误.故选：AB.12．/【分析】根据两角差的正切公式化简求值即可.【详解】因为，，所以.故13．5【分析】根据平面向量数量积运算律计算求解.【详解】因为，所以．故5.14．【分析】根据正四棱锥性质可求出两个四棱锥的体积即可得八面体的体积，结合几何体特征可求出外接球半径，进而得到外接球体积，可得结果.【详解】设八面体的棱长为，由题意可知四棱锥和四棱锥为全等的正四棱锥，四边形为正方形.连接交于点，则，点为中点.连接，则为正四棱锥的高，且，所以，根据对称性可知点为八面体外接球的球心，点与点重合，且球半径为，所以八面体的体积，球的体积，故．故答案为.15．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理可求得，进而可求；（2）由三角形的面积利用三角形的面积可求，利用向量数量积的运算律把化简计算可求解.【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，所以，所以，因为，；（2）因为，，，.16．(1)海里(2)北偏东的方向，2小时【分析】（1）由条件确定，，，再结合，即可求解；（2）在中，由余弦定理先求得，再由，求得，即可求解.【详解】（1）由在的南偏东，在的北偏东方向，得在中，，，，由正弦定理，得，所以，又，所以海里，即处到观测塔的距离为海里.（2）在中，，，，由余弦定理，得，所以海里，航行时间至少为小时.又，且，所以，所以在的北偏东方向.故处的救援船应该朝北偏东的方向沿直线前往处救援，至少航行2小时才能到达处.17．(1)，(2)是直角三角形，证明见解析【分析】（1）用平面向量的线性运算可得，,并结合已知条件可得；（2）根据题意，，再通过计算得，即可得证.【详解】（1）由题意得，，则．．（2）是直角三角形．证明如下：由题意得，，则所以．故是直角三角形．18．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）根据中位线的性质可证明四边形为平行四边形，即可利用线面平行的判定求解，（2）根据线线垂直可得平面，即可知为直线与平面的夹角，利用三角形的边角关系即可求解，（3）由线面角的大小，即可求解.【详解】（1）取的中点为，连接,由于为的中点，所以且，又且，因此且，所以四边形为平行四边形，故,平面，平面，所以平面；（2）由（1）知：，所以直线与平面的夹角即为直线与平面的夹角，取的中点为，连接,由于所以,又平面平面，所以,平面，故平面，所以为直线与平面的夹角，由于，所以,由于为锐角，所以，故直线与平面的夹角为.（3）由（2）知直线与平面的夹角为，,故点M到平面的距离为.19．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到，进而得到线面平行；（2）为异面直线