2025年山东省中考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年山东省中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，数轴上表示−2的点是(

)

A.M B.N C.P D.Q2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.3.我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是(

)

A. B.C. D.4.好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省2024年全年接待游客超9亿人次．数据“9亿”用科学记数法表示为(

)A.9×107 B.0.9×108 C.5.已知a≠0，则下列运算正确的是(

)A.−2a+3a=5a B.(−2a3)2=4a6.某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是(

)A.19 B.16 C.137.明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为(

)A.x+3y=368x+6y=108B.x+3y=366x+8y=108C.3x+y=368x+6y=1088.在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是(

)

A.π B.2π C.3π D.4π9.如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形．若函数y=kxx>0的图象经过点B，则满足y≥2的x的取值范围为(

)

A.0<x≤2 B.x≥2 C.0<x≤4 D.x≥410.在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系．在低光照强度范围(200≤x<1000)内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围x≥1000内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是(

)

A.当x≥1000时，y随x的增大而减小 B.当x=2000时，y有最大值

C.当y≥0.6时，x≥1000 D.当y=0.4时，x=600二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.写出使分式12x−3有意义的x的一个值

．12.在平面直角坐标系中，将点P3,4向下平移2个单位长度，得到的对应点P′的坐标是

．13.若关于x的一元二次方程x2+4x−m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是

．14.取直线y=−x上一点Ax1,y1，①过点A1作x轴的垂线，交y=1x于点A2x2,y2；②过点A2作y轴的垂线，交y=−x15.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，AB=6，BC=8.点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作▱PAQB，则线段PQ的最小值是

．

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(1)计算：−13×(2)先化简，再求值：x2−1117.(本小题8分)在Rt▵ABC中，∠ABC=90∘，∠ACB=30∘，∠BAC的平分线AD交如图1．

(1)求∠ADC的度数；(2)已知AB=3，分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，交AD的延长线于点F.如图2，求18.(本小题8分)山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米．(1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y(米)与注水时间x(小时)之间的关系式；(2)已知蓄水池的底面积为0.4万平方米，每立方米的水可供发电0.3千瓦时，求注水多长时间可供发电4.2万千瓦时？19.(本小题10分)在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的pH值进行了检测，并对一天(24小时)内每小时的pH值进行了整理、描述及分析．【收集数据】甲基地水体的pH值数据：7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26．乙基地水体的pH值数据：7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21．【整理数据】7.00≤x<7.307.30≤x<7.607.60≤x<7.907.90≤x<8.208.20≤x≤8.50甲25773乙429a2【描述数据】【分析数据】平均数众数中位数方差甲7.79b7.810.10乙7.787.77c0.13根据以上信息解决下列问题：(1)补全频数分布直方图；(2)填空：b=

，c=

；(3)请判断甲、乙哪个基地水体的pH值更稳定，并说明理由；(4)已知两基地对水体pH值的日变化量(pH值最大值与最小值的差)要求为0.5∼1，分别判断并说明该日两基地的pH值是否符合要求．20.(本小题10分)如图，在▵OAB中，点A在⊙O上，边OB交⊙O于点C，AD⊥OB于点D．AC是∠BAD的平分线．(1)求证：AB为⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为2，∠AOB=45∘，求21.(本小题9分)【问题情境】2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1．【问题提出】部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到l的长度的方案，以检测该部件中l的长度是否符合要求．【方案设计】兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱(圆柱)．操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，⊙O分别与AC，AD相切于点B，D.用游标卡尺测量出CC′的长度y．【问题解决】已知∠CAD=∠C′A′D′=60∘，l的长度要求是1.9cm∼2.1cm(1)求∠BAO的度数；(2)已知钢柱的底面圆半径为1cm，现测得y=7.52cm.根据以上信息，通过计算说明该部件l的长度是否符合要求．(参考数据：(3)【结果反思】本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由．22.(本小题11分)

已知二次函数y=xx−a+x−ax−b+xx−b，其中(1)当a=0、b=3时，求此函数图象的对称轴；(2)当b=2a时，若该函数在0≤x≤1时，y随x的增大而减小；在3≤x≤4时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；(3)若点A(a,y1)，B(a+b2,y2)23.(本小题11分)【图形感知】如图1，在四边形ABCD中，已知∠BAD=∠ABC=∠BDC=90∘，AD=2，(1)求CD的长；(2)【探究发现】老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究．在线段CD上取一点E，连接BE.将四边形ABED沿BE翻折得到四边形A′BED′，其中A′，D′分别是A，D的对应点．其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：①甲：点D′恰好落在边BC上，延长A′D′交CD于点F，如图2.判断四边形DBA′F的形状，并说明理由；②乙：点A′恰好落在边BC上，如图3.求DE的长；(3)如图4，连接DD′交BE于点P，连接CP.当点E在线段CD上运动时，线段CP是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由．

答案解析1.【答案】A

【解析】本题主要考查了数轴，弄清数轴上表示数的位置是解题的关键．观察数轴得到表示−2的点即可．【详解】解：如图，在数轴上的点M、N、P、Q中，表示−2的点是M．故选：A．2.【答案】B

【解析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可．【详解】解：A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；B.是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；C.是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；D.是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．故选：B．3.【答案】C

【解析】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形成为解题的关键．根据主视图是从正面看到的图形即可解答．【详解】解：根据三视图的概念，可知该正六棱柱的主视图为．故选：C．4.【答案】C

【解析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a、将“9亿”写成a×10n其中1≤|a|<10，【详解】解：“9亿”=900000000=9×10故选C．5.【答案】B

【解析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法法则逐项判断即可解答．【详解】解：A．−2a+3a=a，故该选项错误，不符合题意；B.−2aC.a2与a不是同类项，无法合并为aD.a6故选：B．6.【答案】A

【解析】本题主要考查了运用列表法求概率，根据题意正确列表确定所有等可能结果数和符合题意的结果数是解题的关键．先用列表法确定所有等可能结果数和符合题意的结果数，然后用概率公式计算即可．【详解】解：设三款镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”分别用A、B、C表示：根据题意列表如下：ABCAA，AA，BA，CBB，AB，BB，CCC，AC，BC，C则共有9种等可能结果，其中甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的结果数为1，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是19故选A．7.【答案】D

【解析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键．设哪吒有x个，夜叉有y个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答．【详解】解：设哪吒有x个，夜叉有y个，然后根据题意可得：3x+y=366x+8y=108故选D．8.【答案】D

【解析】本题主要考查了正方形的内切圆、外切圆、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．如图：连接AB、DC相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，AC=BC=4，OA=OB，再运用勾股定理可得AB=22，则【详解】解：如图：连接AB、DC相交于O，∵正方形的内切圆的半径是2，∴AC=BC=4，OA=OB，∴AB=AC∴图中阴影部分的面积是π⋅2故选D．9.【答案】A

【解析】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形、反比例函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．由题意可设点B的坐标为b,b，易得b=2，即点B的坐标为2,2，再结合反比例函数图象即可解答．【详解】解：∵四边形OABC是面积为4的正方形，设点B的坐标为b,b，∴b2=4，解得：b=2(∴点B的坐标为2,2，∵函数y=kxx>0∴满足y≥2的x的取值范围为0<x≤2．故选A．10.【答案】B

【解析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为x=2000，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项．【详解】解：A.当x≥1000时，y随x的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意；B.由函数图象可知：抛物线的对称轴为x=1000+30002=2000，即当x=2000时，yC.由函数图象可知：当y≥0.6时，1000≤x≤3000，即C选项错误，不符合题意；D.当y=0.4时，由图象知，x对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意．故选B．11.【答案】1(不唯一)

【解析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键．先根据分式有意义的确定x的取值范围，然后确定x的可能取的值即可．【详解】解：∵分式12x−3∴2x−3≠0，解得：x≠3∴x的取值可以为x=1．故答案为：1(不唯一)．12.【答案】3,2

【解析】本题主要考查了点的平移，掌握平移规律“左减右加，上加下减”是解题的关键．直接运用平移规律“上加下减”即可解答．【详解】解：将点P3,4向下平移2个单位长度，得到的对应点P′的坐标是3,4−2，即3,2故答案为：3,2．13.【答案】m>−4

【解析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式>0，即可求解本题．【详解】解：∵方程x2∴Δ=4解得：m>−414.【答案】1,−1

【解析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点A2、A3、A4、A【详解】解：∵点A1的坐标为1,−1∴点A2的横坐标为1∴点A2的坐标为1,1∴点A3的纵坐标为1∴点A3的坐标为−1,1同理点A4的横坐标为−1∴点A4的坐标为−1,−1点A5的坐标为1,−1∴四个点一个循环，∵2025÷4=506余1，∴点A2025的坐标与点A1相同，是故答案为：1,−1．15.【答案】245【解析】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短等知识点，掌握平行四边形对角线相互平分是解题的关键．由勾股定理可得AC=10，设AB与PQ交于点O，过O作OP1⊥AC于点P1，由四边形作PAQB是平行四边形得OA=OB=12AB=3、OP=OQ=12PQ，根据垂线段最短可得当OP【详解】解：∵在Rt▵ABC中，∠ABC=90∘，AB=6，∴AC=如图，设AB与PQ交于点O，过O作OP1⊥AC∴∠AP∵四边形PAQB是平行四边形，∴OA=OB=12∴当线段PQ长最小，则线段OP的长最小，由垂线段最短可得：OP1⊥AC时，即P与P∵sin∴OP1∴线段PQ长最小为2OP故答案为：24516.【答案】【小题1】解：−==1+1=2；【小题2】x====x当x=2时，原式=2

【解析】1.

本题考查了实数的混合运算，分式化简求值．根据零指数，算术平方根的性质，进行计算即可求解；2.

先根据分式的加减计算括号内的，然后进行乘法进行化简，最后将字母的值代入求解．17.【答案】【小题1】解：∵∠ABC=90∘，∴∠BAC=60∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC=∠DAB=1∴∠ADC=∠DAB+∠ABC=120【小题2】解：由作图知MN是线段CD的垂直平分线，∴DE=CE=1∵∠DAC=∠C=30∴AD=CD，∵∠ABC=90∘，∴AD=ABcos30∵∠ADB=∠FDE，∠ABD=∠FED=90∴▵ADB≌▵FDE，∴DF=AD=2

【解析】1.

本题考查了三角形的外角性质，垂直平分线的作法和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．由角平分线的定义求得∠DAB=12.

由作图知MN是线段CD的垂直平分线，求得DE=CE=12CD，求得AD=ABcos18.【答案】【小题1】解：由题意可得：蓄水池的水位高度y(米)与注水时间x(小时)之间的关系式y=6x+5．【小题2】解：根据题意，得0.46x+5解得x=5．答：注水5小时可供发电4.2万千瓦时．

【解析】1.

本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点，正确列出函数解析式和方程是解题的关键．根据蓄水池的水位高度等于注水时水位每小时升高的高度乘以注水时间与本次注水前蓄水池的水位高度的和，据此列出函数关系式即可；2.

根据y与x的函数关系式以及已知条件列关于x的一元一次方程并求解即可．19.【答案】【小题1】解：根据题意得a=24−4−2−9−2=7，补全频数分布直方图如图；；【小题2】7.677.79【小题3】解：∵甲的方差为0.10，乙的方差为0.13，0.10<0.13，∴甲基地水体的pH值更稳定；【小题4】解：甲基地对水体pH值的日变化量：8.26−7.27=0.99，乙基地对水体pH值的日变化量：8.21−7.11=1.1，∴该日两基地的pH值甲符合要求，乙不符合要求．

【解析】1.

略

2.

解：甲基地水体的pH值数据中，7.67出现了4次，出现次数最多，则b=7.67；乙基地水体的pH值数据中，由小到大排列中间两个数为7.77和7.81：则c=7.77+7.81故答案为：7.67；7.79；3.

略

4.

略20.【答案】【小题1】证明：∵AD⊥OB，∴∠DAC+∠ACD=90∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC是∠BAD的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∴∠BAC+∠OAC=∠DAC+∠OCA=90即AB⊥OA且OA为半径，∴AB为⊙O的切线；【小题2】解：∵∠AOB=45∘，又∴▵OAB等腰直角三角形，∵⊙O的半径为2，∴OA=2=OC，∴OB=∴CB=OB−OC=2

【解析】1.

略

2.

略21.【答案】【小题1】解：∵⊙O分别与AC，AD相切于点B，D，∴AB=AD，∠OAB=∠OAD=1【小题2】∵钢柱的底面圆半径为1cm，∴BC=OB=1，∵∠OAB=30∘，∴AB=OB∴AC=BC+AB=1+同理A′C′=1+∴l=7.52−21+∵1.9<2.06<2.1，∴该部件l的长度符合要求；【小题3】能，将圆柱换成正方体．如图，设正方体的棱长为a，用游标卡尺测量出CF的长度y．∴BC=BD=a，∵∠CAD=60∴AB=BD∴AC=a+∴l=y−2a+

【解析】1.

略

2.

略

3.

略22.【答案】【小题1】解：当a=0、b=3时，二次函数y=xx−a+x−a∴此函数图象的对称轴为x=−b【小题2】解：当b=2a时，二次函数y=xx−a+x−a∴抛物线对称轴为x=−b∵3>0，∴抛物线开口方向向上，∵在0≤x≤1时，y随x的增大而减小；∴a≥1，∵在3≤x≤4时