课时32185.5.1两角和与差的正弦余弦正切公式（2）-5.5.1两角和与差的正弦余弦正

5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第2课时）(人教A高中数学必修第一册第五章)深圳高级中学东校区李迈一、教学目标1.掌握两角和与差的正弦、正切公式的推导，并进行简单的化简求值2.掌握两角和与差的正弦、正切公式的变形推导，及相关的应用二、教学重难点1.两角和与差的正弦、正切公式的推导、逆用、变形及其应用2.两角和与差的正弦、正切公式的应用三、教学过程1.正弦公式正切公式的形成问题1：两角和与差的正弦根据两角和与差的余弦公式可推出两角和与差的正弦公式：Sα＋β：sin(α＋β)＝Sα－β：sin(α－β)＝【预设的答案】证明：由诱导公式以及两角和与差的余弦公式可知：而且：==【预设的答案】【对点快练】1．sin75°＝____________.2．若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝____________.【预设的答案】1.2+√64【设计意图】两角和与差的正弦公式是可以由余弦公式推导的，用实际案例让学生感受该公式的应用，用变式训练让学生快速掌握公式的应用。2.具体感知，理性分析例1.(1)sin21°cos39°＋cos21°sin39°等于()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．1(2)已知eq\f(π,4)＜α＜eq\f(3π,4)，0＜β＜eq\f(π,4)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π＋β))＝eq\f(5,13)，求sin(α＋β)的值．【预设的答案】1.C2.63【变式练习】已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))且sin(α＋β)＝eq\f(33,65)，cosβ＝－eq\f(5,13)，求sinα.【预设的答案】3【设计意图】两角和与差的正弦公式的基本应用，字母转换为数据。【预设的答案】(−3.辅助角公式的形成由例4可以看出，当都是不为零的常数时，为了求出函数这就是说，满足（1）式的和一定存在，因此【设计意图】辅助角公式的推导证明。【变式练习1】将下列各式写成Asin(ωx＋φ)的形式：(1)eq\r(3)sinx－cosx；(2)eq\f(\r(2),4)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＋eq\f(\r(6),4)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)).【预设的答案】解(1)eq\r(3)sinx－cosx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinx－\f(1,2)cosx))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)sinx－sin\f(π,6)cosx))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))).(2)eq\f(\r(2),4)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＋eq\f(\r(6),4)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＋\f(\r(3),2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\f(π,6)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＋cos\f(π,6)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝eq\f(\r(2),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x－\f(π,6)))＝eq\f(\r(2),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－x))＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,12))).【变式练习2】sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝eq\f(1,3)，则cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))的值为()A．－eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(1,3) D．eq\f(1,3)【预设的答案】B【设计意图】辅助角公式的应用。4.正切公式的形成问题2：两角和与差的正切一般地，可以证明如下地两角和与差地正切公式：事实上，因为【对点快练】1．若tanα＝3，tanβ＝eq\f(4,3)，则tan(α－β)等于()A．eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．3 D．－32．tan75°＝____________.【预设的答案】（1）A（2）2+√3【设计意图】两角和与差的正切公式是可以由正弦与余弦公式推导的，用实际案例让学生感受该公式的应用，用变式训练让学生快速掌握公式的应用。例6.求下列各式的值。【预设的答案】【变式练习1】已知sinα＝eq\f(1,2)，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝－eq\r(3)，则tanβ的值为()A．－eq\r(3) B．eq\r(3)C．－eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(3),3)【变式练习2】若α＋β＝eq\f(3π,4)，则(1－tanα)(1－tanβ)等于()A．1 B．－1C．2 D．－2【预设的答案】C；C【设计意图】两角和与差的正切公式的基本应用，字母转换为数据。5.综合应用例7.已知函数f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x.(1)求f(x)的最大值，以及取得最大值时x的取值集合；(2)求f(x)的单调递增区间．【预设的答案】解f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，(1)当2x＋eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z时，函数取到最大值是2，此时x＝kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，所以x的取值集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ＋\f(π,6)，k∈Z)))).(2)由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)得kπ－eq\f(π,3)≤x≤kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，所以函数的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))k∈Z.【变式练习1】本例中，若加条件“x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))”，再求函数f(x)的最小值．【变式练习2】函数f(x)＝sinx－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\a