练素养 判定平行四边形的五种常用方法

判定平行四边形的五种常用方法练素养第9章中心对称图形——平行四边形12345温馨提示：点击进入讲评[2023·扬州节选]如图，点E，F，G，H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF，CE相交于点M，连接AG，CH相交于点N.求证：四边形AMCN是平行四边形．1【证明】∵点E，F，G，H分别是平行四边形ABCD各边的中点，∴AH∥CF，AH＝CF，AE∥CG，AE＝CG.∴四边形AFCH是平行四边形．∴AM∥CN.同理可得四边形AECG是平行四边形，∴AN∥CM.∴四边形AMCN是平行四边形．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．求证：四边形ADEF是平行四边形．2【证明】∵△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形，∴BA＝BD＝AD，BC＝BE，AF＝AC，∠DBA＝∠EBC＝60°.∴∠EBC－∠EBA＝∠DBA－∠EBA，即∠ABC＝∠DBE.∴△ABC≌△DBE(SAS)．∴AC＝DE.∴AF＝DE.同理可证△ABC≌△FEC，∴AB＝FE.∴AD＝EF.∴四边形ADEF是平行四边形．【点方法】平行四边形的判定方法有很多种，解题时要注意灵活选用，尽量选使解题过程简便的方法．[2022·宿迁]如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点，求证：AF＝CE.3如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB．4(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB＝60°.∴∠ADE＝∠DAB＝∠DCB＝∠CBF＝60°.∵AE＝AD，CF＝CB，∴△AED，△CFB是等边三角形．∴∠AEC＝∠BFC＝60°，∠EAD＝∠FCB＝60°.∴∠EAF＝∠FCE＝120°.∴四边形AFCE是平行四边形．(2)若去掉已知条件的“∠DAB＝60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【解】上述的结论还成立．证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB，AD＝BC，DC∥AB，AD∥BC.∴∠ADE＝∠BCD，∠BCD＝∠CBF.∴∠ADE＝∠CBF.∵AE＝AD，CB＝CF，∴∠ADE＝∠AED，∠CBF＝∠CFB.∴∠AED＝∠CFB.又∵∠ADE＝∠CBF，AD＝CB，∴△ADE≌△CBF(AAS)．∴ED＝BF，AE＝CF.∵DC＝AB，∴DC＋ED＝AB＋BF，即EC＝AF.又∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．如图①，▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；5(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)．【解】与四边形AGHD面积相等的平行四边形有▱GBCH，▱ABFE，▱EFCD，▱EGFH.【点方法】当条件出现