甘肃省普通高中2023-2024学年高一下学期期末教学质量统一检测数学试题（含解析）

甘肃省普通高中2023-2024学年高一下学期期末教学质量统一检测数学试题1．已知集合A=x1<x4<20A．∅ B．2 C．2,3 D．1,2,32．复数z=2+2iA．1 B．2 C．i D．2i3．已知直线l，m及平面α，β，且α⊥β，α∩β=l，下列命题正确的是（）A．若m⊥l，则m⊥α B．若m⊥α，则m⊥lC．若m∥α，则m∥l D．若m∥l，则m∥α4．某射击运动员射击5次的成绩如下表：第1次第2次第3次第4次第5次9环9环10环8环9环下列结论正确的是（）A．该射击运动员5次射击的平均环数为9.2B．该射击运动员5次射击的平均环数为9.5C．该射击运动员5次射击的环数的方差为1D．该射击运动员5次射击的环数的方差为255．已知单位向量a，b满足a+3b⋅a−2A．0 B．π2 C．π3 6．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=3，AD=4，则该四棱锥外接球的表面积为（）A．34π B．234π C．34π7．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（）A．45 B．23 C．358．已知sinα−π5A．0 B．12 C．22 9．下列函数中是偶函数的是（）A．y=sinx+π2 B．y=x210．已知函数fxA．fx的最小正周期为B．fx的图象关于直线x=C．fx的图象关于点−D．fx11．有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1.也可由正方体切割而成，如图2.在如图2所示的“蒺藜形多面体”中，若AB=2，则（）A．该几何体的表面积为123 C．直线HM与直线GN所成的角为π3 D．二面角B−EF−H的余弦值为12．函数fx=213．已知正实数a，b满足a+b=9，则2a+114．已知四边形ABCD的顶点都在半径为2的圆O上，且AD经过圆O的圆心，BC=2，CD<AB，四边形ABCD的面积为3+3，则AB=15．已知向量a=1,2，（1）若a⊥a−（2）若向量c=−3,−2，a∥b+16．如图，在四棱锥D−ABCE中，平面ADE⊥平面ABCE，AB//CE，AB=2CE，DA=DE，G为AE的中点，点P在线段BD上，CP//平面ADE.（1）证明：DG⊥AB；（2）求BPDP17．已知函数fx=Asinωx+φ（A>0，（1）求fx（2）设α，β为锐角，sinα=45，cos18．某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动.本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答4道题目，任何1道题答对就算通过本轮挑战赛.若参赛选手前2道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰.甲、乙都参加了本次挑战赛，且在第一轮挑战赛中甲、乙答对每道趣味智力题的概率均为34（1）求甲通过第一轮挑战赛的概率；（2）求乙通过第一轮挑战赛的概率；（3）求甲、乙中只有1人通过了第一轮挑战赛的概率.19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin（1）求角A；（2）已知a=2；①求△ABC面积的最大值；②延长BC至D，使得CD=BC，连接AD，设△ACD外接圆的圆心为O，求CO⋅

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：当x=1时，x4当x=2时，1<x当x=3时，x4所以A∩B=2故答案为：B.【分析】根据已知条件和交集的运算法则，从而得出集合A∩B.2．【答案】B【解析】【解答】解：因为z=2+2i所以复数z的虚部为2.故答案为：B.【分析】由复数的除法运算法则结合复数的虚部定义，从而得出复数z的虚部.3．【答案】B【解析】【解答】解：对于A：若m⊥l，则m不一定垂直α，故A错误；对于B：因为α∩β=l，所以l⊂α，

又因为m⊥α，所以m⊥l，故B正确；对于C：若m∥α，则m不一定平行于l，故C错误；对于D：若m∥l，则m∥α或m⊂α，故D错误.故答案为：B.【分析】根据空间中线线垂直的判断方法、线线平行的判断方法、线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理，从而找出真命题的选项.4．【答案】D【解析】【解答】解：因为该射击运动员5次射击的平均环数为9+9+10+8+95所以，5次射击的环数的方差为s2故答案为：D.【分析】根据表中数据和平均值公式、方差的公式得出该射击运动员5次射击的环数的方差，从而逐项判断找出结论正确的选项.5．【答案】C【解析】【解答】解：由题意得，|a因为a+3所以a⋅所以cosa又因为a,所以a,b=π3，即a故答案为：C.【分析】根据单位向量定义何已知条件，结合数量积的运算法则得出a⃗⋅b⃗的值，再利用数量积求向量夹角公式得出6．【答案】C【解析】【解答】解：将四棱锥P−ABCD补全成以AD,AB,AP为长、宽、高的长方体，则该四棱锥的外接球即补全后长方体的外接球，则外接球的半径为长方体体对角线一半12所以外接球表面积为34π.故答案为：C.【分析】将四棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线得出外接球的半径，再利用球的表面积公式得出该四棱锥外接球的表面积.7．【答案】A【解析】【解答】解：由题意可知：从6个节气中任取2个节气，样本空间Ω={（立夏，小满），（立夏，芒种），（立夏，夏至），（立夏，小暑），（立夏，大暑），（小满，芒种），（小满，夏至），（小满，小暑），（小满，大暑），（芒种，夏至），（芒种，小暑），（芒种，大暑），（夏至，小暑），（夏至，大暑），（小暑，大暑）}，共有15个样本点；

则这2个节气不在同一个月的概率为1215故答案为：A．【分析】利用列举法，求出样本空间的样本点数，再找出满足题意的种数，最后根据古典概型公式求解即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：因为sin==2所以2cos则sinα−故答案为：A.【分析】利用辅助角公式、两角和与差的正弦公式，从而得出sinα−9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对于A：因为y=sin对于B：因为函数y=x2的定义域为R，令则f−x=−x2=对于C：因为y=2lnx定义域为对于D：令gx=ex，定义域为R，且g−x故答案为：ABD.【分析】根据偶函数的定义逐项判断，从而找出是偶函数的函数.10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：A、因为fx=sin(2x+πB、由2x+π4=kπ+所以fx图象的对称轴为x=当k=1时，fx图象的关于x=C、由2x+π4=kπ,k∈Z所以fx图象的对称中心为−π8fx图象的关于点−D、当sin(2x+π4故答案为：ABC.

【分析】求得最小正周期判断A；求得最大值判断B；求得对称中心判断C；求得对称轴判断D.11．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：A、，因为AB=2，所以BE=1蒺藜形多面体的表面可看作是八个全等的棱长为2的小正四面体构成，则该几何体的表面积为24×3B、该几何体的体积为V=2C、因为HM∥BD，所以∠BDN是直线HM与直线GN所成的角，

又因为BD=DN=BN=22，所以∠BDN=D、设EF的中点为O，连接OB、OH，则OB⊥EF，OH⊥EF，则∠BOH即二面角B−EF−H的平面角，建立空间直角坐标系，如图所示：

则B2,2,2、H2,2,0、E2,1,1、F1,2,1、O32则cos∠BOH=故答案为：ABC.【分析】根据正四面体的表面积即可判断A；利用割补法，结合体积公式求解即可判断B；根据异面直线所成角的定义平移直线HM到直线BD，求解∠BDN即可判断C；根据二面角的定义作出二面角B−EF−H的平面角，结合空间向量法求解即可判断D.12．【答案】1,+∞【解析】【解答】解：因为x2≥0，

根据指数函数性质得fx故答案为：1,+∞【分析】根据指数型复合函数单调性，从而得出函数fx13．【答案】1【解析】【解答】解：2a当且仅当2ba=a2b时，即当故答案为：12【分析】先变形2a+114．【答案】22【解析】【解答】解：如图，连接OC，OB，则△OBC是等边三角形，∠BOC=π3，

所以，四边形ABCD=2=2=2=23sin∠COD+因为∠COD∈0,2π3，

所以∠COD=因为CD<AB，

所以∠COD=π6，

则所以△OAB是等腰直角三角形，AB=2故答案为：22.

【分析】连接OC，OB，利用等边三角形的结构特征得到∠BOC=π3，再由S△OCD+S△OBC+S15．【答案】（1）解：因为a=1,2，b=2,x，由a⊥a−则−1×1+22−x=0，解得所以b=2,32，（2）解：依题意得b+因为a∥b+解得x=0，则b=因为a⋅b=2，a所以cosa所以a与b夹角的余弦值为55【解析】【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示求出x的值，再利用复数求模公式得出b的值.（2）利用已知条件和向量平行的坐标表示求出x的值，再由数量积求向量夹角的坐标公式，从而得出a与b夹角的余弦值.（1）因为a=1,2，b=由a⊥a−即−1×1+22−x=0，解得所以b=2,3（2）依题意得b+因为a∥b解得x=0，则b=a⋅b=2，a所以cosa所以a与b夹角的余弦值为5516．【答案】（1）证明：因为DA=DE，G为AE的中点，所以DG⊥AE，因为平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，DG⊂平面ADE，所以DG⊥平面ABCE.因为AB⊂平面ABCE，所以DG⊥AB.（2）解：设F为AB的中点，连接CF，PF，如图所示，因为AB//CE，CE=1所以四边形AFCE是平行四边形，所以CF//AE，因为CF⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，所以CF//平面ADE，因为CP//平面ADE，CF∩CP=C,CF,CP⊂平面PFC，所以平面PFC//平面ADE.因为PF⊂平面PFC，所以PF//平面ADE，因为平面ABD∩平面ADE=AD，PF⊂平面ABD，所以PF//AD，所以BPDP【解析】【分析】（1）利用已知条件和等腰三角形三线合一得出DG⊥AE，再结合面面垂直的性质定理证出DG⊥AB.（2）设F为AB的中点，连接CF，PF，利用平行四边形的结构特征得出线线平行，再结合线线平行证出线面平行，由线面平行的性质定理证出线线平行，从而得出BPDP（1）因为DA=DE，G为AE的中点，所以DG⊥AE.因为平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，DG⊂平面ADE，所以DG⊥平面ABCE.因为AB⊂平面ABCE，所以DG⊥AB.（2）设F为AB的中点，连接CF，PF，如图所示，因为AB//CE，CE=1所以四边形AFCE是平行四边形，所以CF//AE.因为CF⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，所以CF//平面ADE.因为CP//平面ADE，CF∩CP=C,CF,CP⊂平面PFC，所以平面PFC//平面ADE.因为PF⊂平面PFC，所以PF//平面ADE.因为平面ABD∩平面ADE=AD，PF⊂平面ABD，所以PF//AD，所以BPDP17．【答案】（1）解：由图可得T=2πω=2×π4由f3π4=Asin3π由f0=Asinπ4=1，故fx（2）解：因为α，β为锐角，cosα+β<0，

所以因为sinα=45所以sinα+β=13sin=13则cosβ=所以fβ【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式求出ω的值，利用正弦型函数的图象最高点的纵坐标和五点对应法，从而求出φ,A的值，进而得出函数fx（2）先根据平方关系求出sinα+β，cosα的值，根据两角差的正弦公式求出sinβ（1）由图可得T=2πω=2×π4由f3π4=Asin3π由f0=Asinπ4故fx（2）因为α，β为锐角，cosα+β<0，所以因为sinα=45所以sinα+β=13sin=13则cosβ=所以fβ18．【答案】（1）解：因为甲第一轮挑战赛被淘汰的概率为14所以，甲通过第一轮挑战赛的概率为1−1（2）解：因为乙第一轮挑战赛被淘汰的概率为14所以，乙通过第一轮挑战赛的概率为1−1（3）解：甲、乙中只有1人通过了第一轮挑战赛的概率为：255256【解析】【分析】（1）利用已知条件和对立事件求概率公式，从而得出甲通过第一轮挑战赛的概率.（2）利用已知条件和对立事件求概率公式，从而得出乙通过第一轮挑战赛的概率.（3）利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出甲、乙中只有1人通过了第一轮挑战赛的概率.（1）甲第一轮挑战赛被淘汰的概率为14甲通过第一轮挑战赛的概率为1−1（2）乙第一轮挑战赛被淘汰的概率为14乙通过第一轮挑战赛的概率为1−1（3）甲、乙中只有1人通过了第一轮挑战赛的概率为25525619．【答案】（1）解：由bsinB+csin则cosA=即bcosA=asin即sinBsinA−cosA=0，因为sinB>0，所以sin（2）解：①因为b2+c2−a2则△ABC的面积S=12bcsinA=②设AD的中点为E，CO=1因为asinA=当且仅当B=π2时等号成立，则故CO