浙江省培优联盟2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题（含解析）

浙江省培优联盟2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题1．设集合M={−1,0,1,A．{−1,0} C．{−1,0,2．已知复数z满足z=(2−2i)i，则z的虚部是（）A．2 B．2i C．2 D．3．已知角α的终边经过点P(−1,−1)，则A．−22 B．−1 C．−4．正方体的平面展开图如图所示，AB，CD，EF，GH为四条对角线，则在正方体中，这四条对角线所在直线互相垂直的有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对5．在△ABC中，B=π6，则“BC=3A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知函数f(x)=x2+2xA．1 B．2 C．3 D．47．已知函数f(x)=sinx+λcosx(λ>0)在(0,π3A．0<λ<33 B．λ>33 C．8．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”ABC−A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，且A．2+22 B．22 C．3+229．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为正方形A．B1C1 B．A1B 10．已知函数f(x)=23A．f(x)=2sin(2x−B．f(x)在(0,C．f(x)在(πD．直线x=5π6为11．如图，设θ∈0,π2，当∠xOy=θ时，定义平面坐标系xOy为θ的斜坐标系．在θ的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设e1，e2是分别与x轴，yA．设a=m,n，b=s,tB．设a=m,n，b=s,tC．设a=m,nD．设a=2,−1，b=−1,2，若a与b12．已知复数z1=1+3i，z2=3+2i，则13．已知函数f(x)=ax3+bx+4，若f(−2024)=2，则14．如图，点P是棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1表面上的一个动点，直线AP与平面15．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=2（1）求当x<0时，f(x)的解析式；（2）求f(x)在[−2,16．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点N在边CD上．（1）若点N为线段CD上靠近D的三等分点，求AM⋅（2）求AM⋅17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a=2csinA（1）求C的值；（2）若c=3，且△ABC是锐角三角形，求△ABC面积S的最大值．18．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，（1）证明：EF//平面ABCD.（2）求异面直线EF与BC（3）求直线BD与平面D119．当a>0且a≠1时，loga(m×n)=logam+logan（1）若正数m，n满足log2(m×n)=log2（2）除整数对(1,1)，请再举出一个整数对(m,（3）证明：当m>1时，只有一对正整数对(m,n)使得等式

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：M∩N={−1,故答案为：C．【分析】根据交集的定义求解即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：z=(2−2i)i=2+2i，故其虚部为2.故答案为：C．【分析】求出z后由虚部定义即可得解.3．【答案】A【解析】【解答】解：α的终边经过点P(−1,−1)，所以故答案为：A．【分析】由三角函数的定义直接计算即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：展开图合成一个正方体，连接EH和HF，如图所示：

因为AH//BF，AH=BF，四边形HCFD为正方形，所以四边形AHFB为平行四边形，

HF⊥CD，所以AB//HF，所以AB⊥CD，同理可得：EF⊥GH，因为AB//HF，所以∠EFH为异面直线AB与EF所成的角或其补角，又因为EF=FH=EH，所以△EFH为等边三角形，则∠EFH=60同理可得：AB与GH所成角为60∘；CD与EF所成角为60∘；CD与GH所成角为综上可得：AB与CD垂直；AB与EF所成角为60∘；AB与GH所成角为60∘；CD与EF所成角为60∘；CD与GH所成角为60∘；故答案为：B．【分析】先将平面展开图合成正方体，连接EH和HF，利用正方体的性质和根据异面直线所成角即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：BC=3AC，由正弦定理可得又因为B=π6，所以A∈(0,5π6)，可得所以“BC=3AC”是“故答案为：B．【分析】由BC=3AC利用正弦定理可得A=π6．【答案】C【解析】【解答】解：g(x)=f(x)−3的零点个数可以转化为f(x)和函数y=3的图象交点个数，作出它们的图象如图，故答案为：C．【分析】作f(x)的图象，问题转化为求解f(x)和y=3两个函数图象交点个数.7．【答案】B【解析】【解答】解：f(x)=sinx+λcosx=λ令sinφ=λλ2+1，cosφ=1因为0<x<π3，φ<x+φ<φ+π3，所以要使f(x)存在最大值，只需φ+π故答案为：B．【分析】通过辅助角公式变形，结合已知条件即可得解.8．【答案】C【解析】【解答】解：设BC，B1C1的中点分别为M，M1，连MM直三棱柱ABC−A1B1C四边形BMM1B因为三棱柱ABC−A1B1C1的底面是直角三角形，M，M1分别是Rt△ABC，Rt△A1B1C1的外接圆圆心，因为A所以O为ABC−A连OB，由球O的表面积为4π，可得半径为1，即OB=1，AB=AC=1，则BC=2，BM=22，可得OM=所以三棱柱ABC−A1B故答案为：C．【分析】先根据条件确定球心的位置，再根据球的半径求得棱柱的高，即可求出表面积.9．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：易知OM⊂平面BBA、B1∈平面BB1D1D，C1∉B、B∈平面BB1D1D，A1∉平面BC、D1∈平面BB1D1D，C∉平面BD、当M为B1D1故答案为：ABC．

【分析】由题意，根据异面直线的定义逐项判断即可.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、f(x)=3B、x∈(0,π2)，2x−πC、当x∈(π6,D、当x=5π6时，故选：ABD.【分析】借助二倍角正弦公式与辅助角公式可判断A，结合正弦函数的性质结合整体思想代入验证即可判断B、C、D.11．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、设a=m,n，b=s,t，则a⃗=me1⃗B、若a//b，则me1+ne2C、a=meD、设a=2,−1，b=−1,2，若a与b的夹角为2π3，

则−12故答案为：BD.【分析】利用向量垂直的坐标表示即可判断A；由向量平行的坐标表示即可判断B；由向量模长的定义求解即可判断C；根据向量数量积的定义求解即可判断D.12．【答案】二【解析】【解答】解：z1故在复平面内对应的点为(−2,故答案为：二.【分析】由复数的减法化简z113．【答案】6【解析】【解答】解：令g(x)=ax3+bx，g(−x)=a所以f(−2024)=g(−2024)+4=2，g(−2024)=−2，g(2024)=2，所以f(2024)=6．故答案为：6.【分析】判断g(x)为奇函数，得g(−2024)=−2，再由奇函数的性质即可求出f(2024).14．【答案】4【解析】【解答】解：因为点P是棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1表面上的一个动点，且直线AP与平面ABCD所成的角为又因为点P是正方体ABCD−A1B则点P的轨迹长为21+故答案为：43【分析】由题意，求得点P的轨迹，再求点P的轨迹长度即可.15．【答案】（1）解：∵当x>0时，f(x)=2∴当x<0时，−x>0，f(−x)=2∴f(x)=−f(−x)=−(2（2）解：∵当x∈(0,2]时，f(x)=2x由奇函数性质可得，当x∈[−2,0)时，又f(0)=0，∴f(x)在[−2,2]上的值域为【解析】【分析】（1）由奇函数的性质即可得解；（2）求出x∈[−2,0)时的值域，16．【答案】（1）解：易知|AD|=2,|AB|=4,AD⋅AB=0，

因为点M为边BC的中点，点N为线段CD上靠近D的三等分点，

所以（2）解：设DN⃗=λDC⃗，则λ∈0,1，AN=AD+DN=AD【解析】【分析】（1）以AD，AB为基向量表示向量（2）设DN⃗=λDC⃗，计算AM⋅AN得到关于（1）由题意，|AD∵AM=AB+∴AM⋅（2）设DN=λDC∴AN=∴AM⋅显然为增函数，因λ∈0,1，故AM17．【答案】（1）解：∵3a=2csinA，即3∴sinC=32，即C=π（2）解：∵△ABC是锐角三角形，∴C=π3，则c2又c2=a2+b∵S=1∴Smax【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知式即可得解；（2）由余弦定理结合基本不等式可得ab≤9，再由三角形的面积公式即可求出S的最大值.18．【答案】（1）证明：连接AC交BD于点O，如图所示：

因为E，F分别为AD1，CD又因为AC⊂平面ABCD，且EF⊄平面ABCD，所以EF//平面ABCD；（2）解：因为AB//CD//D1C1，且AB=CD=D1C1，所以▱ABC1D1，所以因为AC=AD1=C则EF与BC1所成角的大小为（3）解：连接D1O，过D作DG⊥D1因为DD1⊥平面ABCD，且AC⊂所以DD1⊥AC，又BD⊥AC且DD1因为DG⊂平面D1DO，所以又因为DG⊥D1O，且AC∩D1O=O，AC,D所以直线BD与平面D1EF所成角为因为正方体的边长为1，所以DD1=1，DO=22，所以tan∠DOD1=D【解析】【分析】（1）连接AC交BD于点O，利用线线平行证明线面平行即可；（2）利用平移得到EF与BC1所成角为（3）连接D1O，过D作DG⊥D1O于点G，先证AC⊥平面D1DO，再证DG⊥平面AC（1）如图，连接AC交BD于点O，因为E，F分别为AD1，CD因为AC⊂平面ABCD，且EF⊄平面ABCD，所以EF//平面ABCD.（2）因AB//CD//D1C1，且则有BC1//AD1，由（1）得EF//AC，故EF因为AC=AD1=C即EF与BC1所成角的大小为（3）连接D1O，过D作DG⊥D因为DD1⊥平面ABCD，且AC⊂所以DD1⊥AC，又BD⊥AC所以AC⊥平面D1因为DG⊂平面D1DO，所以又DG⊥D1O，且AC∩D1所以DG⊥平面ACD所以直线BD与平面D1EF所成角为因为正方体的边长为1，