2023-2024学年福建省南平市高二下学期7月期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省南平市2023-2024学年高二下学期7月期末质量检测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、班级和座号.考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名”.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知可得.故选：C.2.已知随机变量，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】随机变量，由，得，解得，所以.故选：B3.“在上单调递增”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数定义域为，求导得，由，得或，即函数在上单调递增，而在上单调递增，于是，显然真包含于，所以“在上单调递增”是“”的充分不必要条件.故选：A4.若，，则（）A.10 B.20 C.50 D.100【答案】B【解析】因为，又因为可得,所以.故选：B.5.已知随机变量X的分布列如下表所示，设，则（）X01PnA.5 B. C. D.【答案】A【解析】依题意，，解得，，，而，所以.故选：A6.将函数图象上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，，因此.故选：C7.将分别标有数字1，2，3，4，5的五个小球放入A，B，C三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球．若标有数字1和2的小球不放入同一个盒子，则不同方法有（）A.72种 B.42种 C.114种 D.36种【答案】C【解析】5个不同的小球，先分成3组，可分为1,1,3,或者是1,2,2，共种，将每一种分法放到3个盒子中，共有种不同方法，根据分步乘法计数原理得：种.故选：C.8.以maxM表示数集M中最大的数．若，且，则的最小值为（）A.4 B. C.3 D.2【答案】D【解析】设，则.显然．，当且仅当取得等号.，当且仅当取得等号.两式相乘，即，则.此时，前面都要成立，则，，则.的最小值为2,当且仅当取得最小值.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，则n的值可能为（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】BC【解析】依题意，，因此，所以或.故选：BC10.已知函数（且）在R上为单调函数，，则（）A.实数a的取值范围为B.当时，的取值范围为C.函数是周期函数D.函数与图象之间关于直线对称的点有无数多对【答案】ACD【解析】对于A，由函数在R上为单调函数，而在上为增函数，得，解得，A正确；对于B，当时，，B错误；对于C，显然，函数是周期函数，C正确；对于D，函数的图象关于对称的图象对应解析式，由，得，即，由，，得，又，因此函数的图象与函数的图象有无数个交点，所以函数与的图象之间关于直线对称的点有无数多对，D正确.故选：ACD11.A是轮子（半径为0.5m）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为xm（）时，点A距离地面的高度为，则（）A.当时，点A恰好位于轮子的最高点B.C.当时，点A距离地面的高度在下降D.若，，则的最小值为【答案】BCD【解析】由题意知，轮子的半径为，则轮子滚动一周的水平距离为，如图所示，设轮子滚动了后到达了点，即，可得过点作垂直地面，过点作，则，即，对于A中，当时，，所以A不正确；对于B中，可得，所以B正确；对于C中，当时，可得，由余弦型函数的性质，都可在上单调递减，所以C正确；对于D中，由，可得，可得，所以，令且，且，则，且，当时，可得的最小值为，所以D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机变量，若，则________．【答案】0.2【解析】如图，画出正态分布的曲线图，，即，即红色区域面积为.根据对称性，知，则，故答案为：0.2.13.若，则________．【答案】【解析】由，得，解得，所以.故答案为：14.若存在实数x使得成立，则实数m的最大值为________．【答案】1【解析】，，，，令，若存在使得不等式成立，，函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递增，在上单调递减，，，即，，解得：，，实数的最大值为1，故答案为：1．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的展开式中，二项式系数和为64．（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含的项．解：（1）由的展开式中，二项式系数和为64，得，解得，所以展开式中各项系数的和为.（2）展开式的通项公式，令，得，所以展开式中含的项为.16.某企业拥有甲、乙两种生产工艺，用这两种生产工艺共生产40件同一类型产品，所得合格品情况如表1，该企业对甲生产工艺研发投入x（亿元）与总收益y（亿元）的数据统计如表2.表1：工艺合格情况合计合格品不合格品甲1820乙8合计40表2：研发投入x（亿元）1234收益y（亿元）6.5788.5（1）完成列联表，并根据的独立性检验，能否认为产品合格率与生产工艺有关？（2）用线性回归方程预估当对甲生产工艺研发投入10亿元时，总收益将达到多少亿元？附：①，.②临界值表：α0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828③参考公式：，.解：（1）列联表为：工艺合格情况合计合格品不合格品甲18220乙12820合计301040零假设：两种工艺生产的配件与合格率无关，由列联表中数据得，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为产品合格率与生产工艺有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.（2）显然，，，则，，因此关于的线性回归方程为，令，得，所以预估研发投入10亿元，收益将达到12.75亿元.17.已知函数，为偶函数．（1）求实数a的值；（2）写出的单调区间（不需要说明理由）；（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围．解：（1）函数的定义域为R，由为偶函数，得，即，即，又不恒为0，所以.（2）函数，令，函数在上单调递增，当时，，而函数在上单调递增，因此在上单调递增，又函数是R上的偶函数，因此在上单调递减，所以函数递减区间是，递增区间是.（3）由（2）知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，不等式，则，而，于是，依题意，对于任意恒成立，当时，，当且仅当或时取等号，，当且仅当时取等号，因此，所以实数k的取值范围是.18.已知甲盒中装有3个白球，2个黑球；乙盒中装有2个白球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同．（1）若从两个盒子中一次性各摸出2个球，用X表示摸出的4个球中白球的个数，求X的分布列和数学期望．（2）若先从甲盒中一次性摸出2个球放入乙盒，再从乙盒中摸出一个球．（ⅰ）计算在乙盒中摸出的是黑球的概率；（ⅱ）如果在乙盒中摸出的是黑球，计算甲盒中恰剩一个黑球的概率．解：（1）依题意，的可能值为，，，，，，所以的分布列为：01234数学期望.（2）（ⅰ）设事件“从甲盒中摸出2个白球”，事件“从甲盒中摸出1个白球和1个黑球”，事件“从甲盒中摸出2个黑球”，事件“从乙盒中摸出1个黑球”，显然，且两两互斥，，，则，所以在乙盒中摸出的是黑球的概率是.（ⅱ）在乙盒中摸出的是黑球，甲盒中恰剩一个黑球的事件是在事件发生的条件下，事件发生，因此，所以在乙盒中摸出的是黑球，甲盒中恰剩一个黑球的概率为.19.函数的定义域为R，若存在非零实数T，对，都有，则称函数关于T可线性分解，已知（，）．（1）若关于T可线性分解，求，；（2）若，关于3可线性分解．（ⅰ）求函数的零点；（ⅱ）对，，求m的取值范围．解：（1）若关于可线性分解，则，即，由，得(*)，若，则充分大时，将大于2，而的值域为，故等式(*)不可能成立，所以必有.（2）（i）由（1）知，即，则，，而，则，，又，则，此时，不符合题意；或，，又，则，此时，满足，符合题意，因此，依题意，，则或，显然不成立，于是，则，解得，，所以函数的零点为，.（ii）显然，又周期为3，则当时，，当时，，当时，，因此恒成立，则，所以的取值范围为.福建省南平市2023-2024学年高二下学期7月期末质量检测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、班级和座号.考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名”.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知可得.故选：C.2.已知随机变量，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】随机变量，由，得，解得，所以.故选：B3.“在上单调递增”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数定义域为，求导得，由，得或，即函数在上单调递增，而在上单调递增，于是，显然真包含于，所以“在上单调递增”是“”的充分不必要条件.故选：A4.若，，则（）A.10 B.20 C.50 D.100【答案】B【解析】因为，又因为可得,所以.故选：B.5.已知随机变量X的分布列如下表所示，设，则（）X01PnA.5 B. C. D.【答案】A【解析】依题意，，解得，，，而，所以.故选：A6.将函数图象上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，，因此.故选：C7.将分别标有数字1，2，3，4，5的五个小球放入A，B，C三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球．若标有数字1和2的小球不放入同一个盒子，则不同方法有（）A.72种 B.42种 C.114种 D.36种【答案】C【解析】5个不同的小球，先分成3组，可分为1,1,3,或者是1,2,2，共种，将每一种分法放到3个盒子中，共有种不同方法，根据分步乘法计数原理得：种.故选：C.8.以maxM表示数集M中最大的数．若，且，则的最小值为（）A.4 B. C.3 D.2【答案】D【解析】设，则.显然．，当且仅当取得等号.，当且仅当取得等号.两式相乘，即，则.此时，前面都要成立，则，，则.的最小值为2,当且仅当取得最小值.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，则n的值可能为（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】BC【解析】依题意，，因此，所以或.故选：BC10.已知函数（且）在R上为单调函数，，则（）A.实数a的取值范围为B.当时，的取值范围为C.函数是周期函数D.函数与图象之间关于直线对称的点有无数多对【答案】ACD【解析】对于A，由函数在R上为单调函数，而在上为增函数，得，解得，A正确；对于B，当时，，B错误；对于C，显然，函数是周期函数，C正确；对于D，函数的图象关于对称的图象对应解析式，由，得，即，由，，得，又，因此函数的图象与函数的图象有无数个交点，所以函数与的图象之间关于直线对称的点有无数多对，D正确.故选：ACD11.A是轮子（半径为0.5m）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为xm（）时，点A距离地面的高度为，则（）A.当时，点A恰好位于轮子的最高点B.C.当时，点A距离地面的高度在下降D.若，，则的最小值为【答案】BCD【解析】由题意知，轮子的半径为，则轮子滚动一周的水平距离为，如图所示，设轮子滚动了后到达了点，即，可得过点作垂直地面，过点作，则，即，对于A中，当时，，所以A不正确；对于B中，可得，所以B正确；对于C中，当时，可得，由余弦型函数的性质，都可在上单调递减，所以C正确；对于D中，由，可得，可得，所以，令且，且，则，且，当时，可得的最小值为，所以D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机变量，若，则________．【答案】0.2【解析】如图，画出正态分布的曲线图，，即，即红色区域面积为.根据对称性，知，则，故答案为：0.2.13.若，则________．【答案】【解析】由，得，解得，所以.故答案为：14.若存在实数x使得成立，则实数m的最大值为________．【答案】1【解析】，，，，令，若存在使得不等式成立，，函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递增，在上单调递减，，，即，，解得：，，实数的最大值为1，故答案为：1．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的展开式中，二项式系数和为64．（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含的项．解：（1）由的展开式中，二项式系数和为64，得，解得，所以展开式中各项系数的和为.（2）展开式的通项公式，令，得，所以展开式中含的项为.16.某企业拥有甲、乙两种生产工艺，用这两种生产工艺共生产40件同一类型产品，所得合格品情况如表1，该企业对甲生产工艺研发投入x（亿元）与总收益y（亿元）的数据统计如表2.表1：工艺合格情况合计合格品不合格品甲1820乙8合计40表2：研发投入x（亿元）1234收益y（亿元）6.5788.5（1）完成列联表，并根据的独立性检验，能否认为产品合格率与生产工艺有关？（2）用线性回归方程预估当对甲生产工艺研发投入10亿元时，总收益将达到多少亿元？附：①，.②临界值表：α0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828③参考公式：，.解：（1）列联表为：工艺合格情况合计合格品不合格品甲18220乙12820合计301040零假设：两种工艺生产的配件与合格率无关，由列联表中数据得，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为产品合格率与生产工艺有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.（2）显然，，，则，，因此关于的线性回归方程为，令，得，所以预估研发投入10亿元，收益将达到12.75亿元.17.已知函数，为偶函数．（1）求实数a的值；（2）写出的单调区间（不需要说明理由）；（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围．解：（1）函数的定义域为R，由为偶函数，得，即，即，又不恒为0，所以.（2）函数，令，函数在上单调递增，当时，，而函数在上单调递增，因此在上单调递增，又函数是R上的偶函数，因此在上单调递减，所以函数递减区间是，递增区间是.（3）由（2）知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，不等式，则，而，于是，依题意，对于