2023-2024学年福建省莆田市高二下学期期末质量监测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省莆田市2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某质点的运动方程是，则该质点在时的瞬时速度是（）A.4 B.6 C.8 D.12【答案】D【解析】，当时，，故质点在时的瞬时速度为12.故选：D.2.已知某次考试的成绩，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由正态分布对称性可知，.故选：A.3已知向量，，若，，三点共线，则（）A. B. C.2 D.3【答案】B【解析】因为，，三点共线，则，又向量，，所以，解得，故选：B.4.随机变量服从两点分布，其分布列如下则（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】由题知，，解得或，又，所以，故选：C.5.斜三棱柱中，设，，，若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为.故选：A.6.函数，的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，关于原点对称，又，即为偶函数，当时，，，令，则为增函数，因为，，，使，即有，当时，，时，，即，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，又，，，，当时，，时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，结合图象，选项A符合题意，选项BCD不符合题意，故选：A.7.，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，不等式在区间上恒成立，即，也即在区间上恒成立，整理得到在区间上恒成立，令，所以在区间上单调递增，又，令，得到，当，，即在区间的单调递增，所以，得到，故选：B.8.在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（）A.2 B.4 C. D.【答案】C【解析】如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心为正方体对角线的交点，，，，，，，设三棱锥外接球的半径为，，则，，，，，，，，，所以，当时，取得最大值.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于变量和变量，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，，…，，其中，，…，和，，…，的均值分别为和，方差分别为和.（）A.该样本相关系数越接近0时，其线性相关程度越弱B.假设一组数据是，，…，，则该组数据的方差为C.该成对样本数据点均在直线上，则样本相关系数D.该成对样本数据满足一元线性回归方程，则其回归直线必过样本中心【答案】ABD【解析】对于选项A，由样本相关系数的意义可知，样本相关系数越接近0时，其线性相关程度越弱，所以选项A正确，对于选项B，因为，，…，的平均数为，方差为，所以选项B正确，对于选项C，该成对样本数据点均在直线上，则样本相关系数，所以选项C错误，对于选项D，由最小二乘法知，样本中心在线性回归方程上，所以选项D正确，故选：ABD.10.甲箱中有4个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球，2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球.用，，分别表示从甲箱取出的球是红球，白球，黑球；用表示从乙箱取出的球是红球.则下列结论正确的是（）A. B. C. D.和相互独立【答案】AB【解析】由题知，，对于A，因为，所以A正确，对于B，因为，所以B正确，对于C，，所以C错误，对于D，，，所以D错误，故选：AB.11.是棱长为2的正方体表面上一点，则（）A.当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值B.当在线段上运动时，与所成角的取值范围是C.设是的中点，若，则线段长度的最大值为D.若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为【答案】BCD【解析】对于选项A，如图1，连接，因为，易知平面即平面，过作于，因为面，面，所以，又，面，所以面，又的面积为定值，而随着的变化而变化，所以三棱锥的体积不为定值，所以选项A错误，对于选项B，如图2，建立空间直角坐标系，因为正方形的棱长为2，则，设，，又，，设与所成的角为，则，当时，，此时，当时，令，，又，得到，所以，得到，故，所以选项B正确，对于选项C，如图3，取的中点，连接，易知，所以与确定唯一平面，由正方体性质知与相交，所以，连接，易知，又，，面，所以面，又面，所以，同理可得，又，所以面，因为，所以，故面，又是正方体表面上一点，故在正六边形的边上运动，由对称性知，当与重合时，线段长度最大，最大值为，所以选项C正确，对于选项D，因为直线与平面所成的角为，若点在平面内，如图4，过，连接，则为直线与平面所成的角，由题知，则，显然只有与重合符合题意，同理可知若点在平面内，与重合符合题意，又因为面，得直线与所成角为，若点在平面内时，点的轨迹是，此时轨迹长为，若点在平面内时，点的轨迹是，此时轨迹长为，若点在平面时，作面，连接，如图4所示，因为，所以，又，所以，得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的四分之一的圆，此时轨迹长为，所以点的轨迹长度为，故选项D正确，故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，.在检验喜欢某种甜品与性别是否有关的过程中,某研究员搜集数据并计算得到,则我们至少有______把握认为喜欢某种甜品与性别有关.【答案】【解析】因为，又，，所以我们至少有把握认为喜欢某种甜品与性别有关，故答案为：.13.已知，，三点，则到直线的距离为______.【答案】【解析】因为，，所以，得到，所以到直线的距离为，故答案为：.14.已知和为上的可导函数，满足：，，且为奇函数.写出函数图象的一个对称中心，可以为______.若，则______.【答案】（，答案不唯一）；11【解析】由，求导得，又，则，即，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，即为函数图象的一个对称中心，由为奇函数，得，求导得，即，函数的图象关于直线对称，则点是图象的一个对称中心，显然有，即，于是，函数是以4为周期的周期函数，所以函数的图象关于点对称；由，得，即有（为常数），而，则，取，得，因此，又，则，即，，于是函数是周期为4的周期函数，又，则函数的图象可由的图象平移而得，从而函数是周期为4的周期函数，，显然，因此，，则，又，则，所以.故答案为：；11.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤：15.已知函数，.（1）若，求在上的值域；（2）讨论的单调性.解：（1）当时，，又在区间恒成立，当且仅当时取等号，所以在区间上单调递增，得到在上的最小值为，最大值为，所以在上的值域为.（2）易知定义域为，因为，当时，时，，时，，当时，时，，时，，当时，在区间上恒成立，当且仅当时取等号，当时，时，，时，，综上所述，当时，的减区间为，增区间为；当时，的减区间为，增区间为；当时，的增区间为，无减区间；当时，的减区间为，增区间为.16.人均可支配收入的高低，直接影响到居民的生活质量水平，是衡量一个国家或地区经济发展状况的重要依据.下图是某市2015~2023年城镇居民人均可支配收入（单位：万元）的折线图，发现城镇居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系.（注：年份代码1~9分别对应年份2015~2023）（1）建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01），并预测2024年该市城镇居民人均可支配收入；（2）为进一步对该市城镇居民人均可支配收入结构进行分析，某分析员从2015~2023年中任取两年的数据进行分析，将选出的人均可支配收入超过4.5万元的年份数记为，求随机变量的分布列与数学期望.附注：参考数据：，.参考公式：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.解：（1）依题意，，，而，，则，，所以关于的经验回归方程为，2024年即，，所以预测2024年该市城镇居民人均可支配收入约为万元.（2）2015~2023年中，人均可支配收入超过4.5万元的年份数有3个，的可能取值为，，，，所以随机变量的分布列为：012数学期望.17.如图，在四棱锥中，，，，，，为等边三角形.（1）若为的中点，求证：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明：取中点，连接，因为为的中点，所以且，又且，所以且，所以是平行四边形，得到，又面，面，所以平面.（2）解：过作于，因为，，，，所以，又为等边三角形，所以，又，所以，得到，又，，面，所以面，又面，所以面面，取中点，连接，则，又面面，面面，面，所以面，过作，以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由，，知，所以，，，设平面的一个法向量为，由，得到，取，得到，所以，设平面的一个法向量为，由，得到，取，得到，所以，设二面角的平面角为，，因为，所以.18.甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮3次.一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至少多2个时，则该方获胜并得1分，另一方不得分.其他情况，双方均不得分.（1）若，（i）假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率；（ii）求在一轮比赛结束后，乙获得1分的概率.（2）若，问至少进行多少轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分？解：（1）（i）因为甲和乙每次进球的概率分别是和，所以甲、乙两人各投篮一次，至少有一人进球的概率为.（ii）由题知甲进球个，乙进球个或个，或甲进球个，乙进球个，乙获得1分，记事件：甲进球个，乙进球个或个，事件：甲进球个，乙进球个，事件表示乙获得1分，则，，易知互斥，所以.（2）因为一轮比赛结束后，乙获得1分的概率为，设轮比赛后，乙累计得分为，则，由题知，又，函数在上单调递增，所以，由，得到，所以至少进行轮比赛后，乙累计得分的期望值达到3分，此时.19.设是直角坐标平面上的一点，曲线是函数的图象.若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”.已知.（1）求证：；（2）设，判断为函数的“几度点”，并说明理由；（3）设，若为函数的“3度点”，求实数的取值范围.【答案】解：（1）令函数，求导得，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，，所以.（2）设过点的直线与函数图象相切的切点，而，因此该切线方程为，即有，整理得，令，函数有个零点，等价于过点恰能作图象的条切线，即是的“度点”，求导得，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，，①当时，，此时函数仅有一个零点，是的“1度点”；②当时，，当时，，则，当时，，即是函数在的唯一零点，因此函数仅有一个零点，是的“1度点”；③当时，，由，得，则，，取，则，于是，使得，即函数在上有唯一零点，又是函数在上的唯一零点，因此函数有两个零点，是“2度点”；④当时，，取，则，于是，使得，即函数在上有唯一零点，显然是函数在上的唯一零点，因此函数有两个零点，是的“2度点”，所以当或时，是的“1度点”；当或时，是的“2度点”.（3）设过的直线与曲线相切的切点为，而，因此该切线方程为，即有，整理得，由为函数的“3度点”，得方程有3个不同的解，令，求导得，当或时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，函数在处取得极大值，在处取得极小值，而当时，恒有，，因此当且仅当，即时，直线与曲线有3个不同交点，即方程有3个不同的解，则过点的切线条数为3，所以实数的取值范围是.福建省莆田市2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某质点的运动方程是，则该质点在时的瞬时速度是（）A.4 B.6 C.8 D.12【答案】D【解析】，当时，，故质点在时的瞬时速度为12.故选：D.2.已知某次考试的成绩，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由正态分布对称性可知，.故选：A.3已知向量，，若，，三点共线，则（）A. B. C.2 D.3【答案】B【解析】因为，，三点共线，则，又向量，，所以，解得，故选：B.4.随机变量服从两点分布，其分布列如下则（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】由题知，，解得或，又，所以，故选：C.5.斜三棱柱中，设，，，若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为.故选：A.6.函数，的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，关于原点对称，又，即为偶函数，当时，，，令，则为增函数，因为，，，使，即有，当时，，时，，即，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，又，，，，当时，，时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，结合图象，选项A符合题意，选项BCD不符合题意，故选：A.7.，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，不等式在区间上恒成立，即，也即在区间上恒成立，整理得到在区间上恒成立，令，所以在区间上单调递增，又，令，得到，当，，即在区间的单调递增，所以，得到，故选：B.8.在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（）A.2 B.4 C. D.【答案】C【解析】如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心为正方体对角线的交点，，，，，，，设三棱锥外接球的半径为，，则，，，，，，，，，所以，当时，取得最大值.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于变量和变量，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，，…，，其中，，…，和，，…，的均值分别为和，方差分别为和.（）A.该样本相关系数越接近0时，其线性相关程度越弱B.假设一组数据是，，…，，则该组数据的方差为C.该成对样本数据点均在直线上，则样本相关系数D.该成对样本数据满足一元线性回归方程，则其回归直线必过样本中心【答案】ABD【解析】对于选项A，由样本相关系数的意义可知，样本相关系数越接近0时，其线性相关程度越弱，所以选项A正确，对于选项B，因为，，…，的平均数为，方差为，所以选项B正确，对于选项C，该成对样本数据点均在直线上，则样本相关系数，所以选项C错误，对于选项D，由最小二乘法知，样本中心在线性回归方程上，所以选项D正确，故选：ABD.10.甲箱中有4个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球，2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球.用，，分别表示从甲箱取出的球是红球，白球，黑球；用表示从乙箱取出的球是红球.则下列结论正确的是（）A. B. C. D.和相互独立【答案】AB【解析】由题知，，对于A，因为，所以A正确，对于B，因为，所以B正确，对于C，，所以C错误，对于D，，，所以D错误，故选：AB.11.是棱长为2的正方体表面上一点，则（）A.当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值B.当在线段上运动时，与所成角的取值范围是C.设是的中点，若，则线段长度的最大值为D.若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为【答案】BCD【解析】对于选项A，如图1，连接，因为，易知平面即平面，过作于，因为面，面，所以，又，面，所以面，又的面积为定值，而随着的变化而变化，所以三棱锥的体积不为定值，所以选项A错误，对于选项B，如图2，建立空间直角坐标系，因为正方形的棱长为2，则，设，，又，，设与所成的角为，则，当时，，此时，当时，令，，又，得到，所以，得到，故，所以选项B正确，对于选项C，如图3，取的中点，连接，易知，所以与确定唯一平面，由正方体性质知与相交，所以，连接，易知，又，，面，所以面，又面，所以，同理可得，又，所以面，因为，所以，故面，又是正方体表面上一点，故在正六边形的边上运动，由对称性知，当与重合时，线段长度最大，最大值为，所以选项C正确，对于选项D，因为直线与平面所成的角为，若点在平面内，如图4，过，连接，则为直线与平面所成的角，由题知，则，显然只有与重合符合题意，同理可知若点在平面内，与重合符合题意，又因为面，得直线与所成角为，若点在平面内时，点的轨迹是，此时轨迹长为，若点在平面内时，点的轨迹是，此时轨迹长为，若点在平面时，作面，连接，如图4所示，因为，所以，又，所以，得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的四分之一的圆，此时轨迹长为，所以点的轨迹长度为，故选项D正确，故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，.在检验喜欢某种甜品与性别是否有关的过程中,某研究员搜集数据并计算得到,则我们至少有______把握认为喜欢某种甜品与性别有关.【答案】【解析】因为，又，，所以我们至少有把握认为喜欢某种甜品与性别有关，故答案为：.13.已知，，三点，则到直线的距离为______.【答案】【解析】因为，，所以，得到，所以到直线的距离为，故答案为：.14.已知和为上的可导函数，满足：，，且为奇函数.写出函数图象的一个对称中心，可以为______.若，则______.【答案】（，答案不唯一）；11【解析】由，求导得，又，则，即，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，即为函数图象的一个对称中心，由为奇函数，得，求导得，即，函数的图象关于直线对称，则点是图象的一个对称中心，显然有，即，于是，函数是以4为周期的周期函数，所以函数的图象关于点对称；由，得，即有（为常数），而，则，取，得，因此，又，则，即，，于是函数是周期为4的周期函数，又，则函数的图象可由的图象平移而得，从而函数是周期为4的周期函数，，显然，因此，，则，又，则，所以.故答案为：；11.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤：15.已知函数，.（1）若，求在上的值域；（2）讨论的单调性.解：（1）当时，，又在区间恒成立，当且仅当时取等号，所以在区间上单调递增，得到在上的最小值为，最大值为，所以在上的值域为.（2）易知定义域为，因为，当时，时，，时，，当时，时，，时，，当时，在区间上恒成立，当且仅当时取等号，当时，时，，时，，综上所述，当时，的减区间为，增区间为；当时，的减区间为，增区间为；当时，的增区间为，无减区间；当时，的减区间为，增区间为.16.人均可支配收入的高低，直接影响到居民的生活质量水平，是衡量一个国家或地区经济发展状况的重要依据.下图是某市2015~2023年城镇居民人均可支配收入（单位：万元）的折线图，发现城镇居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系.（注：年份代码1~9分别对应年份2015~2023）（1）建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01），并预测2024年该市城镇居民人均可支配收入；（2）为进一步对该市城镇居民人均可支配收入结构进行分析，某分析员从2015~2023年中任取两年的数据进行分析，将选出的人均可支配收入超过4.5万元的年份数记为，求随机变量的分布列与数学期望.附注：参考数据：，.参考公式：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.解：（1）依题意，，，而，，则，，所以关于的经验回归方程为，2024年即，，所以预测2024年该市城镇居民人均可支配收入约为万元.（2）2015~2023年中，人均可支配收入超过4.5万元的年份数有3个，的可能取值为，，，，所以随机变量的分布列为：012数学期望.17.如图，在四棱锥中，，，，，，为等边三角形.（1）若为的中点，求证：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明：取中点，连接，因为为的中点，所以且，又且，所以且，所以是平行四边形，得到，又面，面，所以平面.（2）解：过作于，因为，，，，所以，又为等边三角形，所以，又，所以，得到，又，，面，所以面，又面，所以面面，取中点，连接，则，又面面，面面，面，所以面，过作，以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由，，知，所以，，，设平面的一个法向量为，由，得到，取，得到，所以，设平面的一个法向量为，由，得到，取，得到，所以，设二面角的平面角为，，因为，所以.18.甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮3次.一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至