2023-2024学年江苏省无锡市普通高中高二下学期期末调研考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省无锡市普通高中2023-2024学年高二下学期期末调研考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，由于等价于，即，故集合.所以.故选：D.2.“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等反之不成立．“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．故选B．3.平面内有A，B，C，D共4个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条（）A.4 B.6 C.12 D.20【答案】B【解析】线段为AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6条.故选：B.4.一个小球做简谐运动，其运动方程为，其中（单位：m）是小球相对于平衡点的位移，t（单位：s）为运动时间，则小球在时的瞬时速度为（单位：）（）A B. C. D.【答案】A【解析】，当时，，所以小球在时的瞬时速度为.故选：A5.已知随机变量，且，，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】A【解析】由正态密度曲线的对称性可知，，，所以.故选：A6.设随机变量的概率分布列如下，且，则的方差（）01A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，解得，所以，所以.故选：C7.函数在区间上存在最大值与最小值，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，得或，因为区间的端点是开区间，所以函数在区间上存在最大值和最小值，只能是极值点处取得最大值和最小值，的变化情况如下表，单调递减单调递增单调递减当，得或，当，得，或，则，得.故选：B8.设A,是一个随机试验中的两个事件,且，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，，所以，，又，即，解得，故A错误；因为，所以，故B错误；，故C错误；因为，所以，所以，故D正确.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BD【解析】A.若，此时，故A错误；B.若，则，则，故B正确；C.，，所以，即，故C错误；D.若，则，则，故D正确；故选：BD10.已知，，，则下列结论成立的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A，由已知有，所以，即，A错误；对于B，令，得，令，得.两式相加并除以2，可得，B正确；对于C，令即得，C正确；对于D，在原式两边同时求导得，再令，可知，D正确.故选：BCD.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数的最小值为B.若方程有2个不同的解，则C.不等式对成立D.当时，若不等式恒成立，则【答案】ACD【解析】对A，，所以，，，，所以在单调递减，在上单调递增，所以最小值为，A正确；对B，根据A中的单调性分析，结合翻折变换，又，可绘制图象如下，由图可知若有两个不同的解，则，B错误；对C，令，所以，令，，易知，，，，所以在上单调递减，在上单调递增，又时，，，所以，，，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，C正确；对D，即恒成立，令，，即恒成立，，所以，，，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，又，所以，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则曲线在点处的切线方程为______.【答案】【解析】函数，，则曲线在点处的切线方程，即.故答案为：.13.某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方法数是______.（用数字作答）【答案】30【解析】情形一，分组人数为1，1，3.此时，甲乙在3人组，再添一人共种方法，所以此时方法数为.情形二，分组人数为1，2，2.此时，甲乙两人为单独一组，丙丁各在一组，戊与丙一组，或戊与丁一组，所以此时方法数为.所以，共30种方法.故答案为：30.14.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数,并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次散子，最终得分为X，则随机变量X的期望是______；若抛掷50次骰子，记得分恰为n分的概率为，则当取最大值时n的值为______.【答案】；82或84【解析】得1分的概率为，得3分的概率为，的可能取值为，，，，则随机变量的期望是；记得1分的次数为，则得3分的次数为，因此抛掷50次骰子，所得总分为，次数得n分的概率为，若取最大，则，，可得，因为，所以，或，当时，，当时，，故答案为：①；②或.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，集合.（1）若，求；（2）若“，都有成立”为真命题，求实数的取值范围.解：（1）当时，.又，，.（2）由“，”为真命题，即.当时，，即，符合题意；当时，或，即或.综上所述，实数的取值范围是.16.已知的展开式中所有项的二项式系数之和为64，前3项的系数之和为49.（1）求实数和的值；（2）求的展开式中的系数.解：（1）所有项的二项式系数之和为64，，.又前3项系数之和为49，，解得或，又，.综上，，；（2）的展开式中第项为，令，可得，不合题意，所以中不含的项，令，可得，所以，令，可得，所以，的展开式中的系数为.17.水果店的销售额与所售水果的价格、质量及该店被附近居民的认可度密不可分.已知某水果店于2023年1月开张，前6个月的销售额（单位：万元）如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月时间代码x123456销售额y（单位：万元）2.04.05.26.16.87.4（1）根据题目信息，与哪一个更适合作为销售额y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果，求出销售额y关于时间x的回归方程.（注：数据保留整数）；（3）为进一步了解该水果店的销售情况，从前6个月中任取3个月进行分析，X表示取到的3个月中每月销售额不低于5万元的月份个数，求随机变量X的分布列和数学期望.参考公式与数据：，，，，，样本数据的线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，.解：（1）根据表中的数据，可得关于时间的变化不是直线型，所以更适合作为销售额关于时间的回归方程类型；（2），，，，所以，销售额关于时间的回归方程为；（3）的所有可能取值为1，2，3，则，，.所以，的分布列为123，即的数学期望为2.18.为提升学生体质，弘扬中华传统文化，某校本学期开设了武术社团，有10位武术爱好同学参加，并邀请专业体育教师帮助训练.教师训练前对10位同学测试打分，训练一段时间后再次打分，两次得分情况如表格所示.规定满分为10分，记得分在8分以上（包含8分）的为“优秀”.12345678910训练前4759528.5675训练后8.59.57.59.58.569.58.599优秀人数非优秀人数合计训练前训练后合计（1）将上面的列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，判断武术社团同学的武术优秀情况与训练是否有关？并说明原因；（2）从这10人中任选4人，在这4人中恰有3人训练后为“优秀”的条件下，求这4人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率；（3）为迎接汇报表演，甲同学连续4天每天进行和两个武术项目的训练考核，、项目考核相互独立，且每天考核互相不影响，项若为优秀得2分，概率为，项若为优秀得3分，概率为，否则都只得1分.设甲同学在这4天里，恰有3天每天得分不低于3分的概率为，求为何值时，取得最大值.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假设：假设武术社团同学的武术优秀情况与训练无关.列联表为优秀人数非优秀人数合计训练前2810训练后8210合计101020.故根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即同学的优秀情况与训练有关.（2）设“所选4人中恰有3人训练后为优秀”为事件A，“所选4人中恰有1人训练前也为优秀”为事件，事件为所选4人中，有1人训练前优秀，有2人为训练前非优秀，训练后变为优秀，有1人训练前非优秀，训练后也非优秀，从（1）中可知，有6人训练前非优秀，训练后变为优秀，有2人训练前非优秀，训练后也非优秀，则，，所以.（3）设“甲同学一天得分不低于3分”为事件，有，则恰有3天每天得分不低于3分的概率，，，当时，，时，，故在上单调递增，在单调递减.所以当时，取得最大值.19.已知函数，.（1）证明：当时，；（2）已知，且在区间上单调递增，求的最小值；（3）若恰有一个零点，求的取值范围.解：（1）当时，，，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；，即.（2），，，由题意知在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立，，.下面研究函数，的最大值.令，，，，，，，的最大值为，即，的最大值为，时，取到最大值.，即的最小值为.（3），.①当时，.令得；令得，在单调递增，上单调递减，，此时无零点，不符合题意.②当时，.令得或；令得，在和上单调递增，在上单调递减，又，当时，，在上无零点.由（1）知，当时，，即恒成立.用替换得，即，，，，当时，，，，存在，使得，又因为，所以存在，使得，又因为在上单调递增，且在无零点，所以是的唯一零点.③当时，，在上单调递增，又，有唯一零点，符合题意.综上，.江苏省无锡市普通高中2023-2024学年高二下学期期末调研考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，由于等价于，即，故集合.所以.故选：D.2.“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等反之不成立．“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．故选B．3.平面内有A，B，C，D共4个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条（）A.4 B.6 C.12 D.20【答案】B【解析】线段为AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6条.故选：B.4.一个小球做简谐运动，其运动方程为，其中（单位：m）是小球相对于平衡点的位移，t（单位：s）为运动时间，则小球在时的瞬时速度为（单位：）（）A B. C. D.【答案】A【解析】，当时，，所以小球在时的瞬时速度为.故选：A5.已知随机变量，且，，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】A【解析】由正态密度曲线的对称性可知，，，所以.故选：A6.设随机变量的概率分布列如下，且，则的方差（）01A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，解得，所以，所以.故选：C7.函数在区间上存在最大值与最小值，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，得或，因为区间的端点是开区间，所以函数在区间上存在最大值和最小值，只能是极值点处取得最大值和最小值，的变化情况如下表，单调递减单调递增单调递减当，得或，当，得，或，则，得.故选：B8.设A,是一个随机试验中的两个事件,且，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，，所以，，又，即，解得，故A错误；因为，所以，故B错误；，故C错误；因为，所以，所以，故D正确.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BD【解析】A.若，此时，故A错误；B.若，则，则，故B正确；C.，，所以，即，故C错误；D.若，则，则，故D正确；故选：BD10.已知，，，则下列结论成立的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A，由已知有，所以，即，A错误；对于B，令，得，令，得.两式相加并除以2，可得，B正确；对于C，令即得，C正确；对于D，在原式两边同时求导得，再令，可知，D正确.故选：BCD.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数的最小值为B.若方程有2个不同的解，则C.不等式对成立D.当时，若不等式恒成立，则【答案】ACD【解析】对A，，所以，，，，所以在单调递减，在上单调递增，所以最小值为，A正确；对B，根据A中的单调性分析，结合翻折变换，又，可绘制图象如下，由图可知若有两个不同的解，则，B错误；对C，令，所以，令，，易知，，，，所以在上单调递减，在上单调递增，又时，，，所以，，，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，C正确；对D，即恒成立，令，，即恒成立，，所以，，，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，又，所以，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则曲线在点处的切线方程为______.【答案】【解析】函数，，则曲线在点处的切线方程，即.故答案为：.13.某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方法数是______.（用数字作答）【答案】30【解析】情形一，分组人数为1，1，3.此时，甲乙在3人组，再添一人共种方法，所以此时方法数为.情形二，分组人数为1，2，2.此时，甲乙两人为单独一组，丙丁各在一组，戊与丙一组，或戊与丁一组，所以此时方法数为.所以，共30种方法.故答案为：30.14.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数,并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次散子，最终得分为X，则随机变量X的期望是______；若抛掷50次骰子，记得分恰为n分的概率为，则当取最大值时n的值为______.【答案】；82或84【解析】得1分的概率为，得3分的概率为，的可能取值为，，，，则随机变量的期望是；记得1分的次数为，则得3分的次数为，因此抛掷50次骰子，所得总分为，次数得n分的概率为，若取最大，则，，可得，因为，所以，或，当时，，当时，，故答案为：①；②或.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，集合.（1）若，求；（2）若“，都有成立”为真命题，求实数的取值范围.解：（1）当时，.又，，.（2）由“，”为真命题，即.当时，，即，符合题意；当时，或，即或.综上所述，实数的取值范围是.16.已知的展开式中所有项的二项式系数之和为64，前3项的系数之和为49.（1）求实数和的值；（2）求的展开式中的系数.解：（1）所有项的二项式系数之和为64，，.又前3项系数之和为49，，解得或，又，.综上，，；（2）的展开式中第项为，令，可得，不合题意，所以中不含的项，令，可得，所以，令，可得，所以，的展开式中的系数为.17.水果店的销售额与所售水果的价格、质量及该店被附近居民的认可度密不可分.已知某水果店于2023年1月开张，前6个月的销售额（单位：万元）如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月时间代码x123456销售额y（单位：万元）2.04.05.26.16.87.4（1）根据题目信息，与哪一个更适合作为销售额y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果，求出销售额y关于时间x的回归方程.（注：数据保留整数）；（3）为进一步了解该水果店的销售情况，从前6个月中任取3个月进行分析，X表示取到的3个月中每月销售额不低于5万元的月份个数，求随机变量X的分布列和数学期望.参考公式与数据：，，，，，样本数据的线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，.解：（1）根据表中的数据，可得关于时间的变化不是直线型，所以更适合作为销售额关于时间的回归方程类型；（2），，，，所以，销售额关于时间的回归方程为；（3）的所有可能取值为1，2，3，则，，.所以，的分布列为123，即的数学期望为2.18.为提升学生体质，弘扬中华传统文化，某校本学期开设了武术社团，有10位武术爱好同学参加，并邀请专业体育教师帮助训练.教师训练前对10位同学测试打分，训练一段时间后再次打分，两次得分情况如表格所示.规定满分为10分，记得分在8分以上（包含8分）的为“优秀”.12345678910训练前4759528.5675训练后8.59.57.59.58.569.58.599优秀人数非优秀人数合计训练前训练后合计（1）将上面的列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，判断武术社团同学的武术优秀情况与训练是否有关？并说明原因；（2）从这10人中任选4人，在这4人中恰有3人训练后为“优秀”的条件下，求这4人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率；（3）为迎接汇报表演，甲同学连续4天每天进行和两个武术项目的训练考核，、项目考核相互独立，且每