2023-2024学年四川省泸州市江阳区高二下学期6月期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省泸州市江阳区2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置.2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效.3．非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效.第一卷选择题（58分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知直线，若，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】因为直线，且，则，所以.故选：B2.求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得，圆的半径，所以圆的方程为，所以圆的一般方程为.故选：C.3.已知双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F的距离等于（）A.3 B.3或7 C.5 D.7【答案】D【解析】由题意可知，,，则，所以或，又因为,所以，故选：D.4.已知等差数列中，，则公差（）A.4 B.3 C. D.【答案】B【解析】在等差数列中，，所以有．故选：B5.甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A小区的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分或当5人被分为时，情况数为;当5人被分为时，情况数为；所以共有.由于所求甲不去，情况数较多，反向思考，求甲去的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为3，则共计种，当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为2，则，共计种，所以甲不在小区的概率为故选：B.6.函数的图象大数为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意可知，函数的定义域为.又，所以，函数为奇函数.当时，，则.设，则在上恒成立，所以，在上单调递增.又，，所以，根据零点存在定理可得，，有，且当时，有，显然，所以在上单调递增；当时，有，显然，所以在上单调递减.因为，所以C项满足题意.故选：C.7.下列说法正确的有（）个①已知一组数据方差为，则的方差也为.②对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是.③已知随机变量服从正态分布，若，则.④已知随机变量服从二项分布，若，则.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】C【解析】对于A：设平均数为，方差为，则，，所以的平均数为，所以方差为，故选项A正确；对于B：因为线性回归直线过样本点中心，所以，可得，故选项B错误；对于C：因为随机变量服从正态分布，所以对称轴为，又，而，所以，则，故选项C正确；对于D：因为服从二项分布，所以，所以，则，故选项D错误.故选：C.8.如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点Q，使得 B.存在点Q，使得平面C.三棱锥的体积是定值 D.存在点Q，使得PQ与AD所成的角为【答案】B【解析】A：正方体中，而P为线段的中点，即为的中点，所以，故不可能平行，错；B：若为中点，则，而，故，又面，面，则，故，，面，则面，所以存在Q使得平面，对；C：由正方体性质知：，而面，故与面不平行，所以Q在线段上运动时，到面的距离不一定相等，故三棱锥的体积不是定值，错；D：构建如下图示空间直角坐标系，则，，且，所以，，若它们夹角为，则，令，则，当，则，；当则；当，则，；所以不在上述范围内，错.故选：B二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知，.若随机事件A，B相互独立，则（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】对B，，B正确；对A，，，A错误；对C，，，C正确；对D，，D正确.故选：BCD.10.若，则（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】将代入得，解得，A正确；由二项式定理可知展开式的通项为，令得，所以，B错误；将代入得，即，C正确；将代入得，即①，将代入得，即②，①+②得，所以，①-②得，所以，所以，D正确；故选：ACD11.已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（）A.直线的斜率为 B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A，易得，由可得点A在的垂直平分线上，则A点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确.故选：ACD.第二卷非选择题（92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）12.已知数列满足，，则______．【答案】【解析】因为数列满足，所以，，…，，当时，；当时，，满足上式．综上所述，．故答案为：．13.若随机变量的数学期望和方差分别为，，则对于任意，不等式成立.在2023年湖南省高三九校联考中，数学科考试满分150分，某校高三共有500名学生参加考试，全体学生的成绩,则根据上述不等式，可估计分数不低于100分的学生不超过___________人.【答案】10【解析】取，，所以或，又因为，所以，即估计分数不低于100分的学生不超过（人）.故答案为：1014.若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是______．【答案】【解析】因为，所以，则原问题等价于在上有解，即在上有解，即在上有解，令，则，，所以，当且仅当，即时，等号成立，此时，所以，则，所以，即.故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知是各项均为正数的等比数列，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.解：(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，，，所以令数列公比为，，，所以，解得(舍去)或，所以数列是首项为、公比为的等比数列，．(2)因为，所以，，，所以数列是首项为、公差为的等差数列，．16.某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A，B，C三大类，其中A类有3个项目，每项需花费2小时，B类有3个项目,每项需花费3小时，C类有2个项目，每项需花费1小时．要求每位员工从中随机选择3个项目，每个项目的选择机会均等．（1）求小张在三类中各选1个项目的概率；（2）设小张所选3个项目花费的总时间为X小时，求X的分布列．解：（1）记事件M为“在三类中各选1个项目”，则，所以小张在三类中各选1个项目的概率为．（2）由题知X的所有可能取值为4，5，6，7，8，9，则，，，，，．所以X的分布列为X456789P17.如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）求点到平面的距离．解：（1）在正三棱柱中，取中点，过作，连接，由平面，得平面，平面，则，，而，即两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，有，于是，，即，，而又平面，所以平面.（2）由（1）知，平面，则是平面的法向量，设平面的法向量，而，，则，取，得，则，设二面角的平面角为，因此，所以二面角的正弦值为．（3）由（2）知是平面的法向量，而向量，所以点到平面的距离为．18.已知双曲线：，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，直线与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上.（1）若点，，过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求的面积；（2）若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①；②；③.注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.解：（1）由已知可得，，.因为点，直线的斜率为，所以直线的垂线的方程为，整理可得，.设点，，联立直线与双曲线的方程可得，，则，且，所以，.原点到直线的距离为，所以，的面积为.（2）①②为条件，③为结论令点，，且，因为三点共线，所以.又，所以点的坐标为，所以直线的斜率为.又，所以.设点，因为直线的斜率，所以，所以；①③为条件，②为结论令点，，且，因为三点共线，所以.又，所以点的坐标为，又，点Q在x轴正半轴上，所以，所以.又，所以，所以，；②③为条件，①为结论令点，，且，不妨设.因为三点共线，所以，且.因为，点Q在x轴正半轴上，所以.因为，所以.又，所以，，且，所以，，即.19.已知函数．（1）若，求的最大值；（2）若，其中，求实数的取值范围．解：（1）当时，，则．令，则，在上单调递减．又，存在使得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，有最大值．另法：当时，，令，则，其中，，当时，单调递增；当时，单调递减，故，即的最大值为．（2）令，由题意知的取值应满足函数有两个零点．易得，若，则，在上单调递增，至多有一个零点，不符合题意，舍去；若，则当时，单调递减；当时，单调递增．要使函数有两个零点，则易知．令，则，令，则，在上单调递增，在上单调递减，，由知在和上各有一个零点，则实数的取值范围为．另法：令，由题意知m的取值应满足函数有两个零点，若，易知单调递增，不符合题意，舍去；若，由知，，令，则，在上单调递减，在上单调递增．又，且时，，解得，故实数的取值范围为．四川省泸州市江阳区2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置.2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效.3．非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效.第一卷选择题（58分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知直线，若，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】因为直线，且，则，所以.故选：B2.求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得，圆的半径，所以圆的方程为，所以圆的一般方程为.故选：C.3.已知双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F的距离等于（）A.3 B.3或7 C.5 D.7【答案】D【解析】由题意可知，,，则，所以或，又因为,所以，故选：D.4.已知等差数列中，，则公差（）A.4 B.3 C. D.【答案】B【解析】在等差数列中，，所以有．故选：B5.甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A小区的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分或当5人被分为时，情况数为;当5人被分为时，情况数为；所以共有.由于所求甲不去，情况数较多，反向思考，求甲去的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为3，则共计种，当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为2，则，共计种，所以甲不在小区的概率为故选：B.6.函数的图象大数为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意可知，函数的定义域为.又，所以，函数为奇函数.当时，，则.设，则在上恒成立，所以，在上单调递增.又，，所以，根据零点存在定理可得，，有，且当时，有，显然，所以在上单调递增；当时，有，显然，所以在上单调递减.因为，所以C项满足题意.故选：C.7.下列说法正确的有（）个①已知一组数据方差为，则的方差也为.②对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是.③已知随机变量服从正态分布，若，则.④已知随机变量服从二项分布，若，则.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】C【解析】对于A：设平均数为，方差为，则，，所以的平均数为，所以方差为，故选项A正确；对于B：因为线性回归直线过样本点中心，所以，可得，故选项B错误；对于C：因为随机变量服从正态分布，所以对称轴为，又，而，所以，则，故选项C正确；对于D：因为服从二项分布，所以，所以，则，故选项D错误.故选：C.8.如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点Q，使得 B.存在点Q，使得平面C.三棱锥的体积是定值 D.存在点Q，使得PQ与AD所成的角为【答案】B【解析】A：正方体中，而P为线段的中点，即为的中点，所以，故不可能平行，错；B：若为中点，则，而，故，又面，面，则，故，，面，则面，所以存在Q使得平面，对；C：由正方体性质知：，而面，故与面不平行，所以Q在线段上运动时，到面的距离不一定相等，故三棱锥的体积不是定值，错；D：构建如下图示空间直角坐标系，则，，且，所以，，若它们夹角为，则，令，则，当，则，；当则；当，则，；所以不在上述范围内，错.故选：B二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知，.若随机事件A，B相互独立，则（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】对B，，B正确；对A，，，A错误；对C，，，C正确；对D，，D正确.故选：BCD.10.若，则（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】将代入得，解得，A正确；由二项式定理可知展开式的通项为，令得，所以，B错误；将代入得，即，C正确；将代入得，即①，将代入得，即②，①+②得，所以，①-②得，所以，所以，D正确；故选：ACD11.已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（）A.直线的斜率为 B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A，易得，由可得点A在的垂直平分线上，则A点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确.故选：ACD.第二卷非选择题（92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）12.已知数列满足，，则______．【答案】【解析】因为数列满足，所以，，…，，当时，；当时，，满足上式．综上所述，．故答案为：．13.若随机变量的数学期望和方差分别为，，则对于任意，不等式成立.在2023年湖南省高三九校联考中，数学科考试满分150分，某校高三共有500名学生参加考试，全体学生的成绩,则根据上述不等式，可估计分数不低于100分的学生不超过___________人.【答案】10【解析】取，，所以或，又因为，所以，即估计分数不低于100分的学生不超过（人）.故答案为：1014.若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是______．【答案】【解析】因为，所以，则原问题等价于在上有解，即在上有解，即在上有解，令，则，，所以，当且仅当，即时，等号成立，此时，所以，则，所以，即.故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知是各项均为正数的等比数列，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.解：(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，，，所以令数列公比为，，，所以，解得(舍去)或，所以数列是首项为、公比为的等比数列，．(2)因为，所以，，，所以数列是首项为、公差为的等差数列，．16.某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A，B，C三大类，其中A类有3个项目，每项需花费2小时，B类有3个项目,每项需花费3小时，C类有2个项目，每项需花费1小时．要求每位员工从中随机选择3个项目，每个项目的选择机会均等．（1）求小张在三类中各选1个项目的概率；（2）设小张所选3个项目花费的总时间为X小时，求X的分布列．解：（1）记事件M为“在三类中各选1个项目”，则，所以小张在三类中各选1个项目的概率为．（2）由题知X的所有可能取值为4，5，6，7，8，9，则，，，，，．所以X的分布列为X456789P17.如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）求点到平面的距离．解：（1）在正三棱柱中，取中点，过作，连接，由平面，得平面，平面，则，，而，即两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，有，于是，，即，，而又平面，所以平面.（2）由（1）知，平面，则是平面的法向量，设平面的法向量，而，，则，取，得，则，设二面角的平面角为，因此，所以二面角的正弦值为．（3）由（2）知是平面的法向量，而向量，所以点到平面的距离为．18.已知双曲线：，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，直线与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上.（1）