课程大纲数学分析

附件：课程大纲

数学分析

MathematicalAnalysis

一、课程简介

数学分析是数学与应用数学专业的科类基础课程之一。它于实数域的范围内讨论数列与困数，

在一维和多维下的极限、连续、可微、可积的性质，相互的联系和区别，以及实际的应用价值。在

课程的学习中，充满多种计算方法的应用和严密有趣的逻辑推理，是学好其他后继数学课程如常微

分方程、复变函数、实变函数与泛函分析概率论、数理统计与数学模型等课的必备的基础。

本课程面向数学与应用数学专业，共260学时，16学分，其中包含习题讨论课教学56学时。

从大学一年级开始开设，历时三个学期，具体分配是：第一学期90学时，其中习题讨论课20学时；

第二学期90学时，其中习题讨论课20学时；第三学期80学时，其中习题讨论课16学时；习题讨

论课程分布在各具体的章节中。

二、课程目标和要求

数学分析是研究变量和函数的各种性态及其规律性的数学学科、是数学类专业的一门非常重:要

的必修基础理论课。通过三个学期学习和系统的数学训练，使学生良好的掌握数学分析的基本概念、

基本理论、基本技能和分析方法；逐步提高数学修养，特别是分析的修养；积累从事进一步学习所

需要的数学知识，掌握数学的基本思想方法；最终使学生的数学思维能力得到根本的提高，为学习

后继课程和进•步获得数学知识奠定必要的数学基础。同时，培养了学生良好的学习习惯，提高自

我选择知识、吸取知识、创造知识的能力，为学生应用数学的理论和方法解决实际问题提供基本的

数学素质。

三、与相关课程的联系和分工

本课程开设于大学一年级上学期，跨时三个学期，对学生基本无特殊要求。但是和高中的数学

相比，无论从内容上还是难度上有了很大的提升。要求教师在讲授本课程时，要特别重视与学生原

有数学知识的结合，开展互动教学，启发式教育，积极促动学生的主动思维和学习的积极性；着重

培养学生的计算和分析能力。

四、教学方法和考核形式

数学分析的教学是以理论讲授为主，教学过程中采用启发和互动式讲授与习题讨论课相结合的

教学方法，使学生掌握数学分析基本理论和研究方法，培养学生的熟练计算能力和逻辑推理能力。

本课程分三个学期完成，课程考核方式主要采用闭卷考试。课程成绩由于平时成绩和期末考试

成绩两部分组成，其中小测、出勤、作业完成情况、课堂表现等是作为平时成绩的打分标掂。具体

占比为：平时成绩30%,期末考试成绩70机也可以根据具体教学情况酌情确定。

五、教学内容和学时分配

1

学时分配表

讲授实验、上机、实训、

章目备注

学时习题讨论等学时

第一章集合与映射60

第二章数列极限144

第三章函数极限与连续函数144

第四章微分144

第五章微分中值定理及其应用126

第六章不定积分102

第七章定积分266

第八章反常积分62

第九章数项级数124

第十章函数顶级数104

笫十A章Fourier级数82

第十一-章Euclid空间上的极限和连续82

第十二章多元函数的微分学206

第十三章重积分204

第十四章曲线积分、曲面积分与场论184

第十五章含参变量积分62

合计20456

（一）理论教学内容（204学时）

第一学期：

第一章集合与映射（6学时）

1、目的要求：了解集合、映射和函数表示法，运算性质，以及初等函数的定义和性质。

2、重点难点：集合的运算，函数的四则运算与复合运算，会确定函数的定义域，反函数的定

义、图象和存在定理，有界函数无界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数等概念，六类基

本初等函数的定义与性质，能熟练地描绘它们的图像，两个常用不等式。

3、要点：

（1）集合

（2）映射与函数

第二章数列极限（14学时）

1、目的要求：了解实数系、数列的相关的基本定义，掌握极限存在的性质和利用性质和判别

法进行证明，以及判断无穷量的阶。

2、重点难点：应用“E-N”的语言证明极限和处理极限问题：各种极限的性质：极限存在判

别定理；运用定义、四则运算、极限存在判别法、夹逼性等方法判别极限存在性，并能熟练地利用

这些知识求极限；无穷大量与无穷大量的阶等。会证明单调有数列必有极限；实数连续性的基本定

理：区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定理等。

2

3、要点：

（1）实数系的连续性

（2）数列极限

（3）无穷大量

（4）收敛准则

第三章函数极限与连续函数（14学时）

1、目的要求：了解函数极限和连续的相关定义及扩充，函数极限与数列极限间的关系。掌握

函数极限和连续间的关系以及相关性质的证明。

2、重点难点：应用的语言证明和处理函数极限问题；函数极限存在判别定理；运

用定义、四则运算、极限存在判别法、夹逼性、函数与数列极限间的关系等方法判别函数极限存在

性，并能熟练地利用这些知识求极限；无穷小量的比较，极限与无穷小量的关系，无穷大量与无穷

大量的阶等；函数连续与间断的概念，理解函数在一点的连续性，单侧连续，间断点及其类型；并

能证明连续函数的局部性质：局部有界性、局部保号性；闭区间上连续函数的性质：有界性、取最

大最小值、零点存在、介值性；连续函数的有理运算、反函数的连续性、复合函数的连续性。一致

连续性概念及定理。

3、要点：

（1）函数极限

（2）连续函数

（3）无穷小量与无穷大量的阶

（4）闭区间上的连续函数

第四章微分（14学时）

1、目的要求：了解导数与微分的基本定义和相关概念，以及其几何意义。掌握函数的意义和

性质.以及导数的四则运算、反函数求导及高阶导数的运算.

2、重点难点：连续、可导、可微的关系，并能证明这些关系；导数、左右导数与微分的概念；

在掌握基本初等函数的导数公式基础上，运用导数运算性质与求导数法则，特别是复合函数的求导

法则导数，并能求隐函数、复合函数与反函数的导数及其高阶导数；微分的运算法则与导数的异同；

在理解一阶微分形式不变性的基础上，会求一阶二阶及一些特殊的高阶微分。

3、要点：

（1）微分和导数

（2）导数的意义和性质

（3）导数的四则运算和反困数求导法则

（4）复合函数求导法则及其应用

（5）高阶导数与高阶微分

第五章微分学中值定理及其应用（12学时）

1、目的要求：了解数学建模、函数作图和方程的近似解。掌握利用导数性质和法则实现待定

型的计算、力），/“公式和插值多项式

2、重点难点：中值定理的内容并能证明：Fermat引理、Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy

中值定理；利用中值定理研究一些简单的恒等式与不等式；用Z/HospiS/法则求待定型（7种）的

极限；能够把某些函数按Taylor（Lagrange）公式展开；利用带Peano余项或Lagrange余项

的为），/“公式进行极限或近似计算；利用导数判断和计算函数的某些基本特征：函数的单调性、极

值、最大值与最小值（含实际问题的最值），曲线的凸性、拐点、渐近线等等。

3

3、要点：

（1）微分中值定理

（2）L'Hospifa，法则

（3）第三节77?/“公式和插值多项式

（4）函数的刀7），/“公式及其应用

（5）应用举例

（6）方程的近似解

第六章不定积分（10学时）

1、目的要求：了解不定积分与微分之间的关系、原函数与不定积分概念。掌握利用不定枳分

公式以及换元积分法和分部积分法进行计算。

2、重点难点：基本初等函数的不定积分公式；换元积分法与分部积分法：有理函数和三角有

理式积分法；并会利用它们来求函数的积分。

3、要点：

（1）不定积分的概念和运算法则

（2）换元积分法和分部积分法

（3）有理函数的不定积分及其应用

第二学期：

第七章定积分（26学时）

1、目的要求：了解定积分的相关概念、微积分实际应用举例；定积分的数值计算。掌握利用

定积分进行平面面积、曲线弧长，平行截面体的体积、曲率等的计算，以及相关的数值计算。

2、重点难点：定积分存在的必要条件；可积函数类：定积分与可变上限定积分性质，会证明

连续函数原函数的存在性;运用New/。?-》乃niz公式、换元积分法和分部积分法计算某些定积分。

定积分的几何应用：平而图形的面积.已知截面面积函数的立体体积，旋转体的体积.平面曲线的

弧长与弧微分，旋转体的侧面积；利用“微元法”构造积分求解。

3、要点：

（1）定积分的概念和可积条件

（2）定积分的基本性质

（3）微积分的基本定理

（4）定积分的几何计算中的应用

（5）微积分实际应用举例

（6）定积分的数值计算

第八章反常积分（6学时）

1、目的要求：了解反常积分的相关概念；与定积分间的联系与区别。掌握反常积分的计算和

收敛的判别。

2、重点难点：反常积分的分类；反常积分的计算；反常积分的收敛判别法：Cs/由收敛原则、

非负函数反常积分的收敛判别法、一般函数反常积分的收敛判别法、无界函数反常积分的收敛判

别法。

3、要点：

（1）反常积分的概念和计算

（2）反常积分的收敛判别法

第九章数项级数（12学时）

4

1、目的要求：了解数项级数敛散性定义、数项级数与数列及反常积分间的联系、了解无穷乘

积。掌握正项级数、任意项级数的各种判别法的涵义和证明。

2、重点难点：几何级数与P一级数敛散性判断；无穷级数的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛

等概念；收敛级数的性质（包括绝而收敛与条件收敛的性质）；应用正项级数敛散判别法：收敛原

理、比较判别法、判别法、d-Alembert用心区判别法、积分判别法（俗称比较、

比值、根式、积分）；能够应用任意项级数的敛散判别法：力判别法与。万判别法；能够

应用绝对收敛判别法与Leibniz判别法等。

3、要点：

（1）数项级数的收敛性

（2）上极限与下极限

（3）正项级数

（4）任意项级数

（5）无穷乘积

第十章函数项级数（10学时）

1、目的要求：了解函数项级数与数项级数中的连续和乂别；幕级数在近似计算上的应用（用

多项式逼近连续函数）。掌握〜致收敛性的判别法以及函数的某级数展开。

2、重点难点：收敛域、极限函数、和函数和一致收敛等概念；极限函数与和函数的分析性质：

连续性、可微性、可积性；判断某些函数项级与函数列的一致收敛性，主要是利用他iers力级

数判别法；基级数的性质；求基级数的收敛半径与某些基级数的收敛域；将某些函数展开成幕级数，

包括会用间接法求函数的泰勒展开式。

3、要点：

（1）函数项级数的一致收敛性

（2）一致收敛级数的判别与性质

（3）辕级数

（4）函数的幕级数展开

（5）用多项式逼近连续函数

第十六章Fourier积分（8学时）

1、目的要求：了解三角函数系的正交性与函数的&4切切•级数性质；等周问题；快速尸仪"九厂

变换。掌握•”级数的判别法和性质，实现脱〃770•变换。

2、重点难点：•级数的展开（包括只含正弦或余弦的展开）；&龙山"级数的收敛判别

法；Fourier变换和积分。

3、要点：

（1）函数的Rn加比级数展开

（2）府级数的收敛判别法

（3）&龙山夕级数的性质

（4）Fourier变换和Fourier积分

（5）快速/变换

第十一章Euclid空间上的极限和连续（8学时）

1、目的要求：了解空间上的基本定理；连通集与连通集上的连续映射。掌握多元连续

函数的相关性质。

2、重点难点：平面点集的基本概念、多元函数的极限、累次极限的计算、连续的定义判定（特

5

别是•致连续）及性质等概念。

3、要点：

（1）泊空间上的基本定理

（2）多元连续函数

（3）连续函数的性质

第十二章多元函数微分学（26学时）

1、目的要求：了解隐函数、函数相关等概念；函数行列式的性质；一些相关的数学模型。掌

握多元函数的全微分、求导、极值的计算方法。

2、重点难点：全微分、偏导数、连续三者之间的关系；隐函数存在定理；分别针对显函数和

隐函数的求偏导数；求多元函数的全微分、方向导数、公式、高阶偏导数、极值；求曲线的

切线方程和法平面方程、曲面的切平面方程式和法线方程；多元函数的极值和条件极值的求法。

3、要点：

（1）偏导数与全微分

（2）多元复合函数的求导法则

（3）中值定理和血），/“公式

（4）隐函数

（5）偏导数在几何中的应用

（6）无条件极值

（7）条件极值问题与Lagrange乘数法

第十三章重积分（20学时）

1、目的要求：了解单位元法（微元法）与重积分间的我系：一些重积分的数学模型；反常重

积分；微分形式。掌握多重积分、反常重积分的计算，变量替换。

2、重点难点：二重积分与二重积分的概念及其性质：重积分的计算方法：矩形I乂域卜的重积

分计算、•般区域上的重积分计算；重积分的变量代换：曲线坐标矩形区域上的重积分计算、•般

区域上的重积分计算、二重积分的变量代换；某些图形的面积、体积及某些物体的质量和重心的求

法。

3、要点：

（1）有界闭区域上的重积分

（2）重积分的性质与计算

（3）重积分的变量代换

（4）反常重积分

（5）微分形式

第十四章曲线积分、曲面积分与场论（18学时）

1、目的要求：了解微分形式的外微分：场的概念以及向量场的散度与梯度；一些相关数学模

型。掌握第一、二类曲线、曲面积分的计算，以及相互的推导。

2、重点难点：两类曲线积分与曲面积分的概念及其性质；两种类型曲线积分的关系和两种类

型曲面积分的关系：公式、Gasss公式和S幻履s公式；公式的证明和某些应用以及

Ga依s公式和57。履s公式的应用；曲线积分与路线无关的几个充要条件；两类曲线积分与曲面积

分计算。

3、要点：

（1）第一类曲线积分与第一类曲面积分

6

（2）第二类曲线积分与第二类曲面积分

（3）Green公式、Gauss公式和Stokes公式

（4）微分形式的外微分

（5）场论初步

第十五章含参变量的积分（6学时）

1、目的要求：了解含参变量积分与一重、多重积分间的联系和区别，EW"积分。掌握含参变

量广义积分的收敛与一致收敛性。

2、重点难点：含参变量为常义积分的概念、性质、计算；含参变量广义积分的收敛与一致收

敛的概念；含参变量广义积分的性质。

3、要点：

（1）含参变量的常义积分

（2）含参变量的反常积分

（3）Eider积分

（二）习题讨论教学内容（8学时）

习题讨论一：数列收敛判断与极限的运算（2学时）

1.目的：掌握数列求极限的典型方法与技巧。

2.内容：利用确界、极限四则运算性质进行数列收敛的判断和极限的计算。

习题讨论二：实数间基本定理的互推讨论及极限求解（2学时）

1.目的：掌握实数间基本定理的互推实现极限求解。

2.内容：利用区间套定理等实现数列极限存在的判断和计算。

习题讨论三：数列极限和函数极限间联系的讨论和应用（2学时）

1.目的：掌握利用数列极限和函数极限问题实现相互的证明和计算。

2.内容：利用性质推到和具体的实例实现数列和函数间极限的存在性的讨论。

习题讨论四：闭区间上连续函数性质的研讨（2学时）

1.目的：熟练掌握闭区间上连续函数性质。

2.内容：利用闭区间上连续函数性质做习题证明的讨论。

习题讨论五：导数在各学科中的应用讨论（2学时）

1.目的：导数在实际生产生活中的意义。

2.内容：导数在各学科中应用的举例和分析。

习题讨论六：复合函数的导数及高阶导数的求解（2学时）

1.目的：掌握复合函数和高阶导数的求解。

2.内容：用实例进行大量的训练。

习题讨论七：待定型极限的求解讨论（2学时）

1.目的：掌握待定型极限的求解。

2.内容：利用实例进行七种待定型的极限的计算。

习题讨论八：利用函数展开的习题讨论（2学时）

1.目的：掌握利用函数展开实现近似计算和证明。

2.内容：具体的实例讨论课程.

习题讨论九：微分在实际中的应用展示（2学时）

1.目的：了解微分在实际生活中的应用。

2.内容：具体的应用举例。

7

习题讨论十：不定积分计算技巧讨论（2学时）

1.目的：掌握不定积分的计算技巧。

2.内容：具体的例题讨论。

习题讨论十一：利用微元法建立定积分模型及实现计算（6学时）

1.目的：掌握微元法建立积分模型并实现计算。

2.内容：具体的实例讨论和演算。

习题讨论十二：反常积分收敛判别习题讨论（2学时）

1.目的：掌握反常积分收敛的判别。

2.内容：具体的实例诗论和演算。

习题讨论十三：数列与级数敛散性的讨论（1学时）

1.目的：掌握数列与级数敛散间的关系。

2.内容：具体的实例讨论。

习题讨论十四：正项级数和任意项级数收敛性判断（3学时）

1.目的：掌握正项级数和任意项级数敛散性的判断。

2.内容：具体的判断实例。

习题讨论十五：函数的塞级数展开讨论（2学时）

1.目的：掌握利用基本初等函数的.级数实现函数的哥级数展开。

2.内容：具体的计算实例练习。

习题讨论十六：函数的幕级数在极限计算等方向上的应用（2学时）

1.目的：掌握利用幕级数简化待定型的极限计算和函数逼近。

2.内容：具体的计算实例练习。

习题讨论十七：«〃万6•级数展开的练习（2学时）

1.目的，掌握&"〃加厂级数的展开C

2.内容：具体的计算实例练习。

习题讨论十八：多元函数和一元函数在极限、连续、微分和积分上的联系探讨（2学时）

1.目的：掌握多元和一元函数在以上性质的纵向联系与区别。

2.内容：性质大讨论。

习题讨论十九：偏导数的几何应用（2学时）

1.目的：掌握切线、法平面等几何方程的构建。

2.内容：与解析几何内容结合，具体的计算实例验证。

习题讨论一十：偏导数在数学建模中的应用（4学时）

1.目的：为将来的数学模型课程的相关内容打好基础。

2.内容：一些简单的偏微分方程模型举例。

习题讨论二十一：重积分计算技巧讨论（2学时）

1.目的：掌握重积分计算技巧。

2.内容：具体的计算实例练习。

习题讨论二十二：重积分在概率模型等方向中的应用（2学时）

1.目的：掌握利用微元法建立模型解决在概率、物理等方面的模型建立。

2.内容：具体的概率、物理模型举例。

习题讨论二十三：曲线积分、曲面积分的计算方法讨论（2学时）

1.目的：掌握曲线、曲面积分的计算技巧。

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2.内容：具体的计算实例练习。

习题讨论二十四：曲线、曲面积分在物理学中的应用（2学时）

1.目的：了解曲线、曲面积分在物理模型中的应用。

2.内容：具体物理模型的演示。

习题讨论二十五：含参变量积分的敛散性判断举例（2学时）

1.目的：掌握含参变量积分的敛散性判断。

2.内容：具体的实例练习。

六、授课教材及主要参考书目

1、推荐使用教材：

数学分析.陈纪修、於崇华、金路.北京：高等教育出版社，2007.

2、主要参考书：

（1）数学分析.黄玉民.天津：南开大学出版社，2（X）0.

（2）数学分析.刘玉琏.吉林：吉林大学出版社，1982.

（3）数学分析（第三版）.欧阳光中等.北京：高等教育出版社，2007.

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高等代数

HigherAlgebra

一、课程简介

《高等代数》课程是大学数学类专业必修的一门专业基讯课。这门课程以矩阵为主要研究对象,

在系统介绍多项式理论、行列式、矩阵，二次型及线性方程组解理论的基础.上，进一步展开对

有限维空间理论及其相关的基本内容的讨论，它的核心内容是线性空间和线性变换，所使用的研

究工具则是矩阵和行列式。其中包含的内容既有较强的抽象性和概括性，又具有广泛的应用性。

本课程共138学时，8.5学分，大学一年级开设，共开设两个学期。其中理论课110学时，习

题讨论课28学时。第一学期48学时（理论课40学时，习题讨论课8学时），第二学期90学时（理

论课70学时，习题讨论课20学时）。

二、课程目标和要求

高等代数是数学专业（本科）的专业基础课，其特点是概念多、定理多，内容纵横交错，知识

前后连贯，知识之间逻辑性强。通过本课程的学习，一方面使学生了解和掌握代数学研究的基本理

论、思想和方法，培养和提高抽象思维，推理论证及独立创造的能力。另一方面，为后继课程（如

近世代数，数论，离散数学，计算方法，微分方程，泛函分析等）的学习提供必需的理论基础知

识。特别是随着计算机以及数值计算方法的不断发展，使得数学已日益渗透到各领域（包括经济、

金融、管理等）并得以把实际问题量化处理解决。而高等代数是数值计算的重要基础和有力的工具。

它对于形成和提高学生的科学计算能力，建立数学模型、解决实际问题的能力显现出更加重要的

意义。

三、与相关课程的联系和分工

高等代数课程是大学数学类专业的主干基础课程。大学一年级开设，它是其它数学课程的先修

基础课，是后续课程近世代数、离散数学、微分方程、数值分析、泛函分析等课程的必需基础课程。

四、教学方法和考核形式

高等代数课程的教学是以理论讲授为主，每章配备一定量习题讨论课程。教学过程中采用启

发和互动式讲授与教学方法，使学生掌握本课程基本理论和研究方法，培养学生的熟练计算能力

和逻辑推理能力。

课程考核方式主要采用闭卷考试。课程成绩由于平时成绩和期末考试成绩两部分组成，其中

小测、出勤、作业完成情况、课堂表现等是作为平时成绩的打分标准。具体占比为：平时成绩

30%,期末考试成绩70%；也可以根据具体教学情况酌情确定。

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五、教学内容和学时分配

学时分配表

讲授实验、上机、实训、

早目备注

学时习题讨论等学时

第一章多项式164

第二章行列式142

第二章线性方程组124

第四章矩阵102

第五章矩阵的对角化问题122

第六章二次型104

第七章线性空间与线性变换268

第八章欧氏空间102

合计11028

（一）理论教学内容（110学时）

第一章多项式（16学时）

1、目的要求：理解多项式基本概念和基本定理，会多项式的除法及因式分解理论，并能初步

掌握基本定理的应用。

2、重点难点：整除性理论；因式分解定理。

3、要点：

（1）一元多项式及其运算

（2）整除性理论

（3）最大公因式

（4）因式分解定理

（5）复系数与实系数多项式的因式分解

（6）有理系数多项式

第二章行列式（14学时）

1、目的要求：

（1）掌握行列式的性质及行列式的计算，会用Cramer法则解线性方程组

（2）掌握行列式按行（列）展开，初步了解Laplace定理

2、重点难点：行列式理论，行列式的计算。

3、要点：

（1）n阶行列式的定义

（2）行列式的性质计算

（3）行列式按行（列）展开公式

（4）Cramer法则

第三章线性方程组（12学时）

1、目的要求：

（1）掌握以下要点所列的各个概念

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（2）掌握向量组的极大无关组和矩阵的秩的概念和求法

（3）理解线性方程组有解判别定理及解的结构，并会应用

2、重点难点：线性相关性理论：线性方程组解的结构

3、要点：

（1）n维向量空间

（2）向量线性相关性

（3）矩阵的秩

（4）线性方程组有解判别定理

（5）线性方程组解的结构

第四章矩阵（10学时）

1、目的要求：

（1）掌握以下要点所列的概念

（2）理解矩阵的运算及逆的求法，掌握低阶矩阵逆的求法，会用矩阵的分块解决问题

2、重点难点：矩阵的运算；矩阵的逆

3、要点：

（1）矩阵的概念、矩阵的运算

（2）初等矩阵与初等变换

（3）矩阵的逆

（4）正交矩阵

第五章矩阵的对角化问题（12学时）

1、目的要求：

（1）掌握特征值、特征向后的概念与求解

（2）理解掌握矩阵可对角化的条件,会实对称矩阵的对角化

2、重点难点：矩阵特征值、特征向量的计算；矩阵的相似对角化。

3、要点：

（1）矩阵特征值、特征向量

（2）矩阵可对角化的条件

（3）矩阵相似对角化

第六章二次型（10学时）

1、目的要求：

（1）掌握一次型的基本概念，会将一次型用矩阵表示，了解一次型的标准型、规范理

（2）会将二次型化为标准型

2、重点难点：二次型化为标准型。

3、要点：

（1）二次型的矩阵表示

（2）标准型、规范型

（3）正定二次型

第七章线性空间与线性变换（26学时）

1、目的要求：

（1）理解线性空间的概念及简单性质

（2）掌握线性空间维数、基与坐标的计算

12

（3）理解掌握线性变换的概念，理解掌握线性空间的同构

（4）线性变换的矩阵

2、重点难点：线性变换概念；线性变换的运算，不变子空间。

3、要点：

（1）线性空间的概念与性质

（2）维数、基与坐标

（3）基变换与坐标变换

（4）线性子空间

（5）线性空间同构概念

（6）线性变换的矩阵

（7）线性空间的同构

（8）不变子空间

第八章欧氏空间（10学时）

1、目的要求：

（1）熟练掌握欧氏空间的基本概念、会判断一个空间何时能成为欧氏空间

（2）掌握标准正交基的性质并会应用，掌握正交变换、对称变换的性质及应用

（3）掌握对称矩阵的基本性质，并会求对称矩阵的标注

2、重点难点：欧氏空间基本概念；正交变换和对称变换。

3、要点：

（1）欧氏空间的定义及性质

（2）标准正交基

（3）欧氏空间的同构

（4）中交变换与对称变族

（5）子空间

（二）习题讨论教学内容（28学时）

习题讨论一：多项式的运算（2学时）

1.目的：掌握多项式整除理论。

2.内容：多项式的带余除法，多项式的分解等运算。

习题讨论二：多项式的因式分解（2学时）

1.目的：掌握因式分解，多项式的分解等运算。

2.内容：有理系数多项式、复系数实系数多项式分解。

习题讨论三：行列式（2学时）

1.目的：掌握行列式的性质与计算。

2.内容：行列式化上三角型计算、行列式按一行展开计算。

习题讨论四：线性方程组（2学时）

1.目的：掌握线性方程组概念、解法及解的结构等。

2.内容：矩阵的秩、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的解。

习题讨论五：线性方程组（2学时）

1.目的：掌握线性方程组概念、解法及解的结构等。

2.内容：非齐次线性方程组有解判定，非齐次线性方程组的解的结构。

习题讨论六：矩阵（2学时）

13

1.目的：掌握矩阵的概念与运算。

2.内容：矩阵的加法，数乘，乘法，逆矩阵求法。

习题讨论七：矩阵对角化问题（2学时）

1.目的：掌握矩阵对角化问题的基本概念。

2.内容：特征值、特征向量计算，矩阵相似对角化，矩阵相似对角化条件讨论。

习题讨论八：二次型（4学时）

1.目的：掌握二次型理论，会二次型化为标准型等运算。

2.内容：二次型的矩阵表示，二次型化为标准型，规范型。

习题讨论九：线性空间与线性变换（2学时）

1.目的：掌握线性空间的基本理论。

2.内容：维数、基与坐标，基变换与坐标变换本章练习题讲解。

习题讨论十：线性空间与线性变换（2学时）

1.目的：掌握线性变换的基本概念。

2.内容：线性变换的矩阵及其运算，不变子空间。

习题讨论十一：线性空间与线性变换（4学时）

1.目的：进一步掌握线性空间与线性变换理论。

2.内容：本章课程小论文（提前布置.）学生参与的本章内容讨论交流。

习题讨论十二：欧氏空间（2学时）

1.目的：掌握欧氏空间的基本理论。

2.内容：欧氏空间定义、基本性质，本章习题讲解。

六、授课教材及主要参考书目

1、推荐使用教材：高等代数.王萼芳.北京：高等教育出版社，2009.

2、主要参考书：

（1）高等代数（第匹版）.张禾瑞，郝那新.北京：高等教育出版社，1999。

（2）高等代数（第二版）.丘维声.北京：高等教育出版社，2003o

14

解析几何

AnalyticGeometry

一、课程简介

解析几何是数学与应用数学专业的科类基础课程之一。它是几何学的一个分支，是运用代数工

具研究几何问题的一门学科。其基本思想是用代数的方法研究和解决几何问题，使空间几何结构代

数化，这也是现代数学的主要研究角度之一。主要介绍向量代数、平面与空间直线，二次曲面以及

常用的一些特殊曲线和曲面等空间解析几何的基本知识。培养学生掌握以向量为工具运用代数知识

解决几何问题的基本思想方法，提高学生运用代数方法解决几何问题的能力，以及提高空间想象能

力，为进一步学习后继课程打下基础。

本课程面向数学与应用数学专业，共40学时，2.5学分，其中包含习题讨论课教学6学时。

二、课程目标和要求

解析几何是数学专业一匚必修的基础课，通过教学使学生系统掌握解析几何的基本知识和基本

理论，善于运用坐标和矢量为工具，把几何问题转化为代数方程以达到解决几何问题的目的，从而

培养学生用形数结合的方法来解决问题的能力；熟练地掌握一些几何图形的性质及其标准方程，熟

练地进行某些几何量的计算：会描绘一些常见的空间曲线和曲面的图形，进一步提高学生的空间想

象能力。通过本课程的学习，将为学生在后续专业学习过程中的交叉学科研究能力、前沿问题理解

能力以及其他信息科学专业课学习能力的提升奠定良好的基础。

三、与相关课程的联系和分工

本课程开设于大学一年级上学期，对学生基本无特殊要求。本课程学到的思想方法对后续课程

的学习具有积极意义。

四、教学方法和考核形式

本课程以理论讲授为主，教学过程中采用启发和互动式讲授与习题讨论课相结合的教学方法，

使学生掌握解析几何基本理论和研究方法，培养学生运用代数方法解决几何问题的能力以及提高空

间想象能力。

本课程考核方式主要采用闭卷考试。课程成绩由于平时成绩和期末考试成绩两部分组成，其中

小测、出勤、作业完成情况、课堂表现等是作为平时成绩的打分标准。具体占比为：平时成绩30%,

期末考试成绩70%：也可以根据具体教学情况酌情确定。

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五、教学内容和学时分配

学时分配表

讲授实验、上机、实训、

章目备注

学时习题讨论等学时

第一章矢量与坐标70

第二章轨迹与方程32

第三章平面与空间直线80

第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次

72

曲面

第五章二次曲线的一般理论92

合计346

（一）理论教学内容（34学时）

第一章矢量与坐标（7学时）

1、目的要求：引入矢量代数的基本概念和运算，为研究解析几何打好基础。要求：（1）理解矢

量及与之有关诸概念，并能在具体问题中区分那些是矢量，那些是数量。（2）掌握矢量的运算（矢

量加（减）法）数与矢量乘法，两失的数性积，矢性积，混合积，二重失性积等的定义与性质，注

意与数的运算规律的异同之处。（3）理解坐标系的建立，区分仿射坐标系与空间直角坐标系的区别，

掌握在直角坐标系卜，用坐标进行失量的运算方法。（4）会用矢量法进行有关的几何证明问题。

2、重点难点：重点是矢量的概念和向量的数量积，矢量积，混合积，难点是矢量的线性关

系与矢量的分解、矢量数性积，矢量积与混合积的几何意义。

3、要点：

（1）矢量的定义、基本运算

（2）矢量的线性关系与分解

（3）标架与坐标

（4）数性积、矢性积与混合积

第二章轨迹与方程（3学时）

1、目的要求：在空间建立坐标系后，将满足一定条件的轨迹（曲线或曲面）用代数方程来表示,

将几何问题转化为代数问题，为用代数的方法研究几何奠定基础°要求：会建立点的轨迹方程，掌

握常见曲线与曲面的方程。

2、重点难点：重点是曲面和空间曲线的方程求法，难点是用向量法建立平面曲线，空间曲

面和空间曲线的参数方程。

3、要点：

（1）平面曲线的方程

（2）曲面的方程

（3）母线平行于坐标轴的柱面方程

（4）空间曲线的方程

第三章平面与空间直线（8学时）

1、目的要求：通过建立平面与空间直线的方程，用代数方法定量地研究平面和直线。要求：掌

握平面和直线的各种方程和性质，已及它们之间各种位置关系的解析表达式和距离、交角等计算公

16

式。

2、重点难点：重点是平酉与空间直线的方程求法及点、平面、直线之间的相关位置，难点是

平面与空间直线各种形式方程的互化。

3、要点：

（1）平面的方程、平面束

（2）平面与点的相关位置、两平面的相关位置

（3）空间直线的方程

（4）直线与平面的相关位置、空间两直线的相关位置、空间直线与点的位置

第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面（7学时）

1、目的要求：在前几章的基础上，扩建空间图形的方程，以二次曲面最简单的方程出发，来

区分这些曲面的类型，并概要地通过截痕法来讨论它们的性质。要求：掌握研究二次曲面的基本方

法一平行截面法，能识别常见二次曲面的方程和图形，掌握二次曲面的性质。

2、重点难点：重点是柱面、锥面、旋转曲面的概念及方程求法；椭球面、双曲面、抛物面方

程的讨论，图形性质和形状的画法。难点是根据二次曲面的方程和性质画出其图形。

3、要点：

（1）柱面

（2）锥面

（3）旋转曲面

（4）椭球面

（5）双曲面

（6）抛物面

（7）单叶双曲面与双曲抛物面的直母线

第五章二次曲线的一般理论（9学时）

1、目的要求：引入平面坐标变换，并以此为工具研究平面上的一般二次曲线，对它们进行简

化与分类。要求：掌握有关二次曲线的一些概念，如中心、渐进线、直径、共轲方向、主方向等及

其求法，会对曲线进行化简，并判别其类型。

2、重点难点：重点是二次曲线由渐近方向、中心、标潴方程得出的不同分类方法；二次曲线

方程的化简、分类与作图。难点是移轴变换和转轴变换对二次曲线方程系数的影响规律及其在化简

二次曲线方程中所起的作用。

3、要点：

（1）二次曲线与直线的相关位置

（2）二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线

（3）二次曲线的直径、主直径和主方向

（4）二次曲线方程的化简和分类、应用不变量化简二次曲线的方程

（二）习题讨论教学内容（6学时）

习题讨论一：矢量与坐标、轨迹与方程（2学时）

1.目的：掌握矢量及其运算、空间坐标和轨迹方程。

2.内容：关于矢量运算的计算、建立点的轨迹方程，掌握常见曲线与曲面的方程。

习题讨论二：平面与空间直线、柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面（2学时）

1.目的：平面、空间直线的计算、掌握研究二次曲面的基本方法。

2.内容：计算平面与空间直线的方程；分析平面、直线之间的相关位置；掌握平面与空间直

线各种形式方程的互化；掌握柱面、锥面.、旋转曲面的概念；

17

习题讨论三：二次曲线的一般理论（2学时）

1.目的：掌握二次曲线的一些概念的求解和化简。

2.内容：计算二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、直径、主直径和主方向：化简二

次曲线方程。

六、授课教材及主要参考书目

1、推荐使用教材：

解析几何（第四版）.吕林根、许子道.北京：高等教育出版料，2006.

2、主要参考书：

（1）解析几何学习解导书.吕林根.北京：高等教育出版社，2006.

（2）解析几何.吴光磊、丁石孙、姜伯驹等.北京：高等教育出版社，2014.

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程序设计基础

FundamentalsofProgramming

一、课程简介

《程序设计基础》是面向用于“计算机科学与技术”专业以及学习本课程的相关专业开

设的一门专业基础课。本课程共4.5学分，76学时，其中理论教学56学时，上机实验20

学时。本课程系统学习C语言的基本知识和基本语法，训练学生上机编程解决问题的实

践动手能力，提岛编写代码的逻辑分析能力、思路和技巧，为后继软件开发类课程和算

法课程打下良好基础。

二、课程目标和要求

《程序设计基础》是一门重要的专业基础课，它既可以为其它专业课程奠定程序设

计的基础，又可以用为其它专业课程的程序设计工具。

通过《程序设计基础》课程学习，使学生能正确阅读和分析用C/C++语言编制的源

程序，掌提程序设计的思想和方法、编程技巧和常用算法的程序实现。能针对简单的实

际问题构造算法，并能正确地进行算法描述和上机完成程序编写和调试。

《程序设计基础》以C语言为语言基础，介绍了C语言的数据类型、运算符和表达

式，顺序结构、选择结构和循环结构的程序设计，数组的定义和使用，指针，结构体和共

用体以及文件，并在此基础上简要介绍C++的初步知识，设置本课程的主要目的是使学生

掌握传统的结构化程序设计的一般方法，培养学生严谨的程序设计思想、灵活的思维方式

及较强的动手能力，并以此为基础，让学生逐渐掌握复杂软件的设计和开发手段，为后续

专业课程的学习打下扎实的理论和实践基础。

三、与相关课程的联系和分工

本课程可以作为大学计算机科学技术专业第一个学期开设课程。学习和掌握本课程

的教学内容是进一步修习面向对象程序设计、程序设计实践、数据结构、操作系统、编

译原理等所有涉及程序设计的课程的必要基础。

四、教学方法和考核形式

1、教学方法

（I）采用课堂讲授、上机实践相结合的教学方式；

（2）在教学过程中，辅以小型实例，使学生加深本基本语法知识和编程思路的理解

与运用，培养学生分析问期及实践能力。

（3）本课程是一门实践性很强的课程，学生不仅要掌握编程解决问题的基本思想，

而且能熟练的在计算机上编写程序和调试程序。在学习的过程中，要求学生能切实用C语

言上机动手编写代码解决实际问题，为今后工作岗位开发软硬件程序掌握实践技能，也

为学习其它后继课程打下良好理论基础。

2、课程考核方式

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程序设计基础课程评分采用百分制，总分100分，60分以上为及格，全部为上机考试,

没有笔试。

课程成绩=（第1次机试成绩+第2次机试成绩）30%+平时成绩10%+期末机试成绩60%o

平时成绩包括考勤情况、平时实验成绩、作业完成晴况及课堂表现情况。

五、教学内容和学时分配

本课程的主要内容：通过学习C语言程序设计的基本概念和方法，掌握上机编程解决

问题的实际技能。主要讲授内容有：C语言的数据类型、运算符和表达式，顺序结构、选择

结构和循环结构的程序设计，数组的定义和使用，指针，结构体和共用体以及文件，并在此

基础上简要介绍C++的初步知识。

重点：培养学生上机编程解决问题的技能。

难点：指针及文件。

学时分配表

章目讲授学时上机学瓦备注

第一章C语言基础知识62

第二章运算符与表达式62

第三章程序的控制结构84

第四章构造数据类型124

第五章函数124

第六章指针104其中2学时实验是综合练习

第七章文件20

合计5620

（一）理论教学内容（56学时）

第一章C语言基础知识（6学时）

1.目的要求：了解C语言的历史和特点；熟悉C程序的基本结构和简单的C程

序设计；熟悉VistualC++6.0的上机步骤；掌握C语言的数据类

型；掌握变量和常量的定义；熟悉C的输入和输出。

2.重点难点：重点：掌握变量和常量的定义；基本输入/输出函数的使用。

难点：格式控制字符以及scanf和printf函数使用中的一些细节。

3.主要内容：

第一节C语言概述

第二节C程序的结构

第三节C语言的数据类型

第四节C的输入输出

第二章运算符与表达式（6学时）

20

1.目的要求：掌握C语言的运算符和表达式；熟悉运算符的优先级。

2.重点难点：重点：赋值运算与赋值表达式，

难点：各种数值型数据间的混合运算以及各运算符的优先级。

3.主要内容：

第一节概述

第二节算术运算符与算术表达式

第三节赋值运算符与赋值表达式

第四节关系运算符与关系表达式

第五节逻辑运算符与逻辑表达式

第六节位运算符与位运算表达式

第七节条件运算符与条件表达式

第八节逗号运算符和逗号表达式

第九节求字节运算符与求字节表达式

第十节数据类型转换

第三章程序的控制结构（8学时）

I.FI的要求：了解C语句的全貌和程序的三种基本结构；掌握if语句的格式和

功能；掌握if嵌套的概念和应用；掌握switch语言的格式和功能:

掌握循环控制语句的格式；掌握循环嵌套的概念和多重循环程序

设计方法。

2.重点难点：重点：程序的三种基本结构及其程序设计

难点：多重循环的实现

3.主要内容；

第一节结构化程序设计概述

第二节顺序结构

第三节选择结构

第四节循环结构

第五节其他控制语句

第四章构造数据类型（12学时）

1.目的要求：掌握数组的定义、初始化和引用；掌握结构体和共用体类型的说明

以及结构体和共用体变量的定义、初始化和引用。

2.重点难点：重点：掌握一维及二维数组定义和使用；掌握一维及二维字符数组

的使用：掌握字符串处理函数；结构体与共用体的定义、成员的引

用。

难点：二维数组的编程；结构体数组的使用。

3.主要内容：

21

第一节数组

第二节结构体

第三节共用体

第四节枚举类型

第五节自定义类型名

第五章函数（12学时）

1.目的要求：掌握函数的定义与调用；掌握函数参数的传递方式；掌握函数的嵌

套调用与递归调用；掌握有参宏与无参宏的定义及使用；了解预编

译的概念。

2.重点难点：重点：函数的定义和调用；函数参数的传递。