视野拓展一 物理中的三维空间情境问题

视野拓展一物理中的三维空间情境问题

在近儿年高考试题中出现了不少三维空间情境问题，且出现频率有增多的趋势。这类问题对学生的空间

想象能力要求较高，大多数学生看到题目后往往束手无策。下面通过具体的、典型的例题谈一下这类问题的

解题技法。

对称等效法

技法一

【典例1】如图所示，有一长方体八ACKA/iG。1，AR=2RC,R%=RGM、N、P、Q分别为AR、

45、C,D,.CO的中点（图中未画出），下列说法正确的是（）

A.若4点放置一正点电荷，则电势差Uca>UNP

B.若8点放置一正点电荷，则电势差UCCI=UNP

C.若在BI、8两点放置等量异种点电荷，G、M两点场强相同

D.若在当、8两点放置等量异种点电荷，。、功两点的电势相等

答案：A

解析：如图所示，若在3点放一正点电荷，连接BP,以B为圆心，分别以8C、AN的长为半径作圆弧，分

别交8P于R、S点、,则0c=%?,（pci=（ps,故有UCCI=URS,又因为”="，故有UNP=USP,设3C=d,则

有RS=（V2-1）J,SP=（次一夜）d,显然RS>SP,根据正点电荷电场的特点，可知RS段的平均电场

强度大于SP段的，兄离正点电荷越远场强越小、电势越低，根据U-EQ,故必有即Ucci>

UNP,逸项A正确，B错误；若在历、8两点放等量的异种点电荷，在G点产生的场强方向在BBiGC面

上，在M点产生的场强方向在44B出面上，故此两点的场强方向一定不同，选项C错误；若在办、B两点

放置等量的异种点电荷，囱、8连线的中垂面是等势面，则。、5两点分布在中垂面的两侧，电势不相等，

选项D错误。

名师指津

在处理三维空间情境中有图形对称特点的物理问题时，可通过分割、填补、等效法将非理想化的物理问

题转化成熟悉的具有对称性的物理问题。如［典例1］中将三维空间中不在同一平面上各点电势问题通过等

势面转化为同一平面或同一直线上的也势问题。

【即时训练】

1.一球面均匀带有负电荷，球内的电场强度处处为零，。为球心.A、B为直径上的两点，OA=OB,现垂直

于48将球面均分为左右两部分，C为截面上的一点，移去左半球面，右半球面所带电荷仍均匀分布，如图

所不，则0、C两点电势夕0、9c大小关系为（）

A"。〉。。B.夕。二伙7

C.30V(pcD.无法确定

解析：B对于完整带电球面，在其内部A8的中垂面上各点场强为零，可知左、右半球面在此中垂面上各

点的场强等大反向，因左、右半球面的电场关于中垂面对称，则左、右半球面各自在中垂面上各点的场强方

向均垂直于中垂面，则左半球面移走之后，右半球面在中垂面上各点场强均垂直于中垂面，则中垂面为等势

面，见O、C两点电势相等，故B正确，A、C、D错误。

分段法

技法二

【典例2】在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是离子注入工作原理示意图,

离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，经偏转系统后注入

处在水平面内的晶圆(硅片)。速度选择器和磁分析器中的匀强磁场的磁感应强度大小均为8,方向均垂直

纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场的电场强度大小均为石，方向分别为竖直向上和垂直纸面向

外。磁分析器截面是内外半径分别为凡和&的四分之一圆环，其两端中心位置M和N处各有一个小孔；偏

转系统中电场的分布区域是一边长为L的正方体，其底面与晶圆所在水平面平行，间距为2L。当偏转系统

不加电场时，离子恰好竖直注入晶圆上的。点。整个系统置于真空中，不计离子重力。求：

<1)离子通过速度选择器的速度大小y和磁分析器选择出来离子的比荷;

(2)偏转系统加电场时离子注入晶圆的位置到。点的距离。

答案•(1)--------.......2.(2)—^

口乖,B(%+&)BRX+R2

解析：(1)能通过速度选择器的离子受到的静电力和洛伦兹力等大反向，有qvB=qE,即i，=《

从磁分析器中心孔N射出离子的运动半径为/?二中

2

ri,,niv_Dq_v_2E

~R,2。

(2)经过偏转系统过程中，竖直方向离子做匀速直线运动，沿电场方向做匀加速直线运动，设偏转的距离

为为，离开偏转系统时，离子速度与竖直方向的夹角为仇

则为=白丝(-)2

2mv

离开电场后，离子继续偏转的距离为X2,

则X2=2Ltan0

所以离子注入晶圆的位置到。点的距离x-+k氤

名师指津

当物体在三维空间情境中的运动可分为多个阶段或过程，而各个阶段或过程又分别在不同的平面内运动

时，则可将三维空间情境中的物理问题通过分段等方法转化为我们熟悉的二维空间中的问题来处理。如【典

例2】中离子通过速度选择器、磁分析器的过程在纸面内运动；当离子进入偏转系统后则在垂直于纸面的竖

直平面内运动。

【即时训练】

2.（多选）（2022•湖南府考）如图，间距L=1m的U形金属导轨，-一端接有0.1Q的定值电阻R,固定在

高〃=0.8m的绝缘水平桌面上。质量均为0.1kg的匀质导体棒。和〃静止在导轨上，两导体棒与导轨接触良

好且始终与导轨垂直，接入电路的限值均为0.1Q,与导轨间的动摩擦因数均为0.1（设最大静摩擦力等于滑

动摩擦力），导体棒〃距离导轨最右端1.74m。整个空间存在竖直向下的匀强磁场（图中未画出），磁感应

强度大小为0.1T。用户=0.5N沿导轨水平向右的恒力拉导体棒小当导体棒。运动到导轨最右端时，导体

棒〃跳要滑动，撤去F,导体棒。离开导轨后落到水平地面上。重力加速度取10m*,不计空气阻力，不计

其他电阻，下列说法正确的是（）

A.导体棒。离开导轨至落地过程中，水平位移为0.6m

B.导体棒。离开导轨至落地前，其感应电动势不变

C.导体棒。在导轨上运动的过程中，导体棒匕有向右运动的趋势

D.导体棒。在导轨上运动的过程中，通过电阻R的电荷量为0.58C

解析：BD导体棒。向右运动时，由楞次定律可知，导体棒〃有向左运动的趋势，C错误；没导体棒。运动

到最右端时的速度为山，此时棒々切割磁感线产生的感应电动势E=8Za，o,回路中的感应电流/=与，R+,

R&

=g+R,此时棒b所受安培力为/英=8夕，导体棒人刚要滑动时所受静摩擦力Ff达到最大值，此时尸安

=R=umg,联立以上各式解得w=3m/s,导体棒。离开导轨到落地做平抛运动，有仁刎，尸孙人解得

x=1.2m,A错误；磁场方向竖直向下，导体棒。离开导轨后在水平方向做匀速直线运动，又七=8小。，可

知导体棒〃平抛过程中感应电动势不变，B正确；导体棒。在导轨上运动过程中，感应电动势平均值为

E=警，回路中平均感应电流/=占，通过导体棒a的电荷量产/加，联立三式解得夕=黑=盥=i/6C,

导体棒人与定值电阻尺并联，所以通过电阻R的电荷量q，=3=Q58C,D正确。

“三视图”转换法

技法三

【典例3】（2022•广东高考）如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分

布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直Oyz平

面进入磁场，并穿过两个磁场区域c下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是

（）

答案：A

解析：根据题述情境，质子垂直0）2平面进入磁场，由左手定则可知，质子先向），轴正方向偏转穿过MNPQ

平面，再向x轴正方向偏转，所以A可能正确，B错误；该轨迹在平面上的投影为一条平行于x轴的直

线，C、D错误。

名师指津

利用“三视图”（正视、侧视、俯视），可以将空间三维问题转化为我们熟悉的平面问题，会降低试题

难度，一个三维空间可以从多个二维平面去描述，解题的关键是对题目信息进行分析，寻找到最有效解决问

题的二维平面。

【即时训练】

3.如图所示，在水平地面上有一斜面，质量均为〃?的A、8两物块放在斜面的等高处，A、8之间连接着一个

轻质弹簧，其劲度系数为鼠弹簧史于压缩状态，且物块与斜面均能保持静止。已知斜面的倾角为仇两物

块和斜面间的动摩擦因数均为4,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度的大小为g。下列说法正确

的是（）

A.斜面对A、8组成系统的静摩擦力为0

B.斜面和水平地面间有静摩擦力

C.若将弹簧拿掉，A物块有可能发生滑动

mgl^2cos20—sin20

D.弹簧的最大压缩量为」----------

K

解析：D选A、8组成的系统为研究对象，画出侧视图如图甲所示，可看出静摩擦力大小等于系统重力沿

斜面的分力，即尸2〃?gsin仇选项A错误。以两物块、轻质弹簧和斜面组成的整体为研究对象进行受力分

析知，整体只在竖直方向上受重力及地面的支持力，没有沿水平方向的相对运动趋势，故斜面与水平地面间

没有静摩擦力作用，选项B错误。以A物块为研究对象进行受力分析，在斜面内的受力如图乙所示，人与弹

力尸弹和"取sin<9的合力大小相等，方向相反；若撤去弹簧，A在斜面内的受力如图丙所示，则启=〃zgsin

他分析可知fi'V方，所以4物块不可能发生滑动，选项C错误。由于几皿=〃〃985仇则

运动的独立性原理

技法四

【典例4］如图所示的直角坐标系中，在xOz平面上方空间存在沿），轴负方向的匀强电场，xOz平面下方

空间存在沿x轴正方向的匀强磁场，电场强度、磁感应强度均未知，坐标（一2〃，d,0）处一电荷量为外

质量为机的带电粒子以速度如沿x轴正方向飞出，从坐标原点。进入匀强磁场，该粒子在磁场中的周期为

吧,不计重力。

V。

(I)求电场强度£和进入磁场时粒子速度与x轴正方向的夹角孔

(2)求磁感应强度B的大小。

(3)若粒子穿过原点O记为第0次穿越xOz平面，求粒子第4次穿越xOz平面时的坐标。

答案：(1)皿45°(2)吧效(3)(16J,0,—)

2qd4qdn

解析：(1)带电粒子从坐标原点0进入匀强磁场，则可知电场力方向向下，故粒子为正电荷，在电场中做

类平抛运动，则有2d=w,1=：4尸，又由牛顿第二定律可知"=〃?〃

联立解得七=驾

2qa

粒子运动到O点时沿电场方向的分速度为Vy=at=vo

进入磁场时粒子速度与x轴正方向的夹角。满足tan0=—=1,即8=45。。

%

(2)进入磁场时粒子速度为v=-^；=&也)，在磁场中，由Bqi，=吟，T=—

解得7=黑，由于该粒子在磁场中的周期为％,则磁感应强度8的大小为8=喏。

Bqv04qd

(3)电子进入磁场时，粒子速度分解为沿磁场方向和垂直于磁场方向，粒子做螺旋运动，根据左手定则判

断，经过半个周期，第1次经过xOz平面出磁场，则沿x轴的位移大小为川=ucos45°-/i=vcos45。六44,

沿z轴的位移大小为zi=2R=墨

出磁场后，粒子在)，轴方向做匀减速运动后反向做匀加速运动，粒子在x轴方向做匀速运动，之后第2次经

过xOz平面进入磁场，则及=2加2=21户=44

a

以此类推，第3次经过xOz平面出磁场，则由=4乩Z2=2R=^

笫4次经过xOz平面进入磁场，则g=4,7,所以

x=x\+也+工3+必=16d

z=21+z2=_,

则粒子第4次穿越xOz平面时的坐标为

(16乩0,噤o

名师指津

本题本质是带电粒子在电场和磁场的组合场内周期性运动问题，创新点是粒子由电场进入磁场时速度方

向与磁场方向不垂直，粒子做螺旋运动，从而使粒子的运动变为复杂的空间运动，解决此类问题的关键点就

是根据运动的独立性原理，将螺旋运动分解为匀速圆周运动和匀速直线运动，在x、y、z三个方向上分别求

解运动的位移。

【即时训练】

4.如图甲所示，空间存在两边界为同心圆的电、磁场区域/、II,区域II位于区域/外侧，圆柱面的轴线沿

空间直角坐标系Qxyz的x轴方向。半径R=0.05m的足够长水平圆柱形区域/内分布着沿x轴正方向的匀强

磁场，磁感应强度大小8=4X10-沿刀轴正方向观察电磁场分布如图乙，宽度d=0.05m的区域II同时

存在电、磁场，电场强度£=40N/C的匀强电场沿x轴正方向(图中未画出)，磁场的磁感应强度大小也为

5=4X103T,磁感线与圆弧边界平行且沿顺时针方向。沿)，轴负方向观察电磁场分布如图丙。比荷

t=5X107C/kg的带正电粒子，从坐标为(0,0,0.10m)的4点以一定初速度沿z轴负方向进入区域【I。

(不计粒子的重力和空气阻力)

B

（1）该粒子若以速度如沿直线通过区域II,求速度卬大小以及它在区域/中运动的半径；

（2）若撤去区域n的电场，求该粒子以速度2%从进入区域n到离开区域/运动的总时间；

（3）若撤去区域n中的磁场，该粒子以速度物进入区域n,求它第二次离开区域ii的位置坐标。

答案：(1)IXl^m/s0.05m

(2)-X10^5s(3)(―m,0.1in,0)

440

解析：(1)粒子沿直线通过区域H,则%=/，o8,

解得vo=7=1XIO'm/s

D

设粒子在区域/中运动的半径为R,则夕因”〃舁解得R=0.05m°

（2）撤去区域H的电场，设粒子在区域H中运动的半径为&，则夕2M解得4=01（）m

如图（a）所示，根据几何关系可知sin〃i=5=3即。i=30。，粒子在区域II中运动转过的圆心角为30。,

R22

所以/产々.陋=吧

360°qB6Bq

辖咫J

（a）

设在区域/中粒子运动的半径为R/，将粒子在区域/中的运动分解，垂直x轴方向分速度为2%cos仇，则

“ZbBcos30。="1。弋30。），解得尺，=。05百m

Ri

如图（b）所示，根据几何关系可知，tan02=9=",故粒子在区域/运动转过的圆心角为60。，所以

n।3

12=S•竿=翳，所以粒子从进入区域II到离开区域/运动的总时间为，=力+/2=翳=：、10

2ITqB3Bq