专题训练：勾股数有关问题（解析版）

专题训练：勾股数有关问题题型7.勾股数有关问题解题技巧：常见勾股数有：（3,4,5）；（6,8,10）；（5,12,13）；勾股数组规律：（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）21．（2021·湖北）世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2＋n2），其中m，n（m＞n）是互质的奇数，则a，b，c为勾股数．我们令n＝1，得到下列顺序排列的等式：①32＋42＝52，②52＋122＝132，③72＋242＝252，④92＋402＝412，…根据规律写出第⑥个等式为______________．【答案】132＋842＝852【分析】通过观察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在观察各底数的特点，找到规律即可得出第⑥个等式．【详解】解：∵3＝2×1＋1，5＝2×2＋1，7＝2×3＋1，9＝2×4＋1，∴第一个数的底数是2n＋1，指数是2，∵4＝2×12＋2×1，12＝2×22＋2×2，24＝2×32＋2×3，40＝2×42＋2×4，∴第二个数的底数是2n2＋2n，指数是2，∵第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2，∴第n个等式为（2n＋1）2＋（2n2＋2n）2＝（2n2＋2n＋1）2，∴第⑥个等式为132＋842＝852，故答案为：132＋842＝852.【点睛】本题主要考查了整式的数字规律，解题的关键在于能够根据题意得到每一组数据的规律.2．（2021·南宁市第八中学八年级月考）可以构成直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数公式为其中m＞n＞0，m、n是互质的奇数，当n＝1时，则有一边长为13的直角三角形的另外两条边长为___．【答案】5,12或84,85．【分析】利用分类思想，整数的性质求解即可．【详解】当n=1时，得，当a=13时，得=13，即，解得m=，∵m是正整数，∴m=舍去；当b=13时，即m=13，得a==84，c==85；当c=13时，得=13，即，解得m=，∵m是正整数，∴m=-5舍去，∴m=5,∴a==12，∴b=5,故答案为：5,12或84,85．【点睛】本题考查了勾股数，熟练运用分类思想，整数的性质是解题的关键．3．（2021·安徽八年级期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格：n23456....a4581012.....b38152435.....c510172637......请回答下列问题：（1）当n＝7时，a＝，b＝，c＝；（2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝，b＝，c＝；（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明．【答案】（1）14，48，50；（2）；（3）是，证明见解析【分析】（1）观察表格，即可得出n=7时a、b、c的值；（2）利用图表可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是n2加、减1，即可得出答案；（3）计算出a2+b2的值以及c2的值，再利用勾股定理逆定理即可求出．【详解】解：（1）由图表可以得出：∵n=2时，a=2×2，b=22-1，c=22+1，n=3时，a=2×3，b=32-1，c=32+1，n=4时，a=2×4，b=42-1，c=42+1，n=5时，a=2×5，b=52-1，c=52+1，∴n=7时，a=2×7=14，b=72-1=48，c=72+1=50；故答案为：14，48，50；（2）由规律可得：a=2n，b=n2-1，c=n2+1；故答案为：2n，n2-1，n2+1；（3）以a、b、c为边的三角形是直角三角形．证明：∵a2+b2=4n2+（n2-1）2=n4+2n2+1，c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，∴a2+b2=c2，∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是仔细观察表中的数据，找出规律，进而利用勾股定理的逆定理解决问题．4．（2021·福建省福州一中贵安学校初二期中）大家见过形如x+y＝z，这样的三元一次方程，并且知道x＝3，y＝4，z＝7就是适合该方程的一个正整数解，法国数学家费尔马早在17世纪还研究过形如x2+y2＝z2的方程．（1）请写出方程x2+y2＝z2的两组正整数解：．（2）研究直角三角形和勾股数时，我国古代数学专著（九章算术）给出了如下数：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），（其中m＞n，m，n是奇数），那么，以a，b，c为三边的三角形为直角三角形，请你加以验证．【答案】（1）或；（2）验证见解析．【分析】（1）根据勾股数即可得出答案；（2）先分别求出、、，进而求出=，即可得出结论．【解析】解：（1）当，时，，当，时，，方程的两组正整数解为或，故答案为或；（2）以已知的，，为三边的三角形为直角三角形，理由：∵，，，，，以，，为三边的三角形为直角三角形，其中，为直角边，为斜边．【点睛】此题主要考查了勾股数，勾股定理的逆定理，掌握熟练运用完全平方公式计算是解本题的关键．5．（2020·山西初三一模）阅读下列内容，并解决问题．一道习题引发的思考小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究；习题再现：古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于1的整数，，，，那么，，为勾股数.你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？资料搜集：定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.一般地，若三角形三边长，，都是正整数，且满足，那么，，称为一组勾股数．关于勾股数的研究：我囯西周初数学家商高在公元前1000年发现了“勾三，股四，弦五”，这组数是世界上最早发现的一组勾股效，毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究．习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数，世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九幸算术），其勾股数公式为：，，，其中，，是互质的奇数．（注：，，的相同倍数组成的一组数也是勾股数）问题解答：（1）根据柏拉图的研究，当时，请直接写出一组勾股数；（2）若表示大于1的整数，试证明是一组勾股数；（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数．【答案】（1）(12，35，37)；（2）见解析；（3）反例：(5，12，13)【分析】(1)把直接代入，，即可求解；(2)利用勾股定理的逆定理即可证明结论；(3)柏拉图给出的勾股数公式不能构造出5、12、13这组勾股数．【解析】(1)把直接代入，，得，，，故答案为：(12，35，37)；(2)∵表示大于1的整数，∴，，都是正整数，且是最大边，∵，∴，即，，为勾股数；(3)当时，勾股数为(3，4，5)；当时，勾股数为(8，6，10)；当时，勾股数为(15，8，17)；(5，12，13)是勾股数，而柏拉图给出的勾股数公式不能构造出．【点睛】本题考查了勾股数以及勾股定理的逆定理，解题的关键是弄清题意，理解勾股数的意义．6．（2021·景县第二中学）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：等等都是勾股数．（探究1）（1）如果是一组勾股数，即满足，则为正整数）也是一组勾股数．如；是一组勾股数，则___也是一组勾股数；（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的是一组勾股数；（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中，书中提到：当，为正整数，时，构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___．（探究2）观察；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，并且勾为时股，弦；勾为时，股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股____；弦____；（2）如果用且为奇数)表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股___；弦___；（3）观察；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过．_；请你直接用为偶数且）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_；和弦的长__．【答案】探究1（1）6，8，10；（2）详见解析；（3）；探究2（1）,；（2），；（3）①80，②，弦【分析】探究1：（1）根据勾股定理，令k＝2即可求解（答案不唯一）；（2）根据完全平方公式求出、根据勾股定理逆定理即可求证；（3）根据勾股定理逆定理计算，证明结论，根据题意写出勾股数；探究2：（1）根据规律即求解；（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝，弦＝；（3）根据规律可得股比弦小2，根据规律可得，如果是符合同样规律的一组勾股数，为偶数且)，根据所给3组数据找出规律即可得结论．【详解】探究1：（1）6,8,10（答案不唯一)；·（2）证明：，，满足以上公式的