2024-2025学年广东省茂名市电白区高一上学期期末质量监测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省茂名市电白区2024-2025学年高一上学期期末质量监测数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.1.已知集合，则等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为是上的单调递增函数，故时，，故，是R上的减函数，故时，，即，故.故选：A.2.“函数满足”是“函数在区间上有零点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若函数满足，根据零点存在定理，如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点.但是这里并没有说明函数在区间上的图象是连续不断的，比如函数，当，时，，但在上没有零点.所以“函数满足”不能推出“函数在区间上有零点”，充分性不成立.若函数在区间上有零点，比如函数在区间上有零点，此时.这说明“函数在区间上有零点”不能推出“函数满足”，必要性不成立.“函数满足”是“函数在区间上有零点”的既不充分也不必要条件.故选：D.3.已知角的终边在直线上，则的值为（）A. B. C.0 D.【答案】C【解析】由题知，设角的终边上一点，则.当时，，，，所以；当时，，，，所以.故选：C.4.当取得最小值时，（）A.0 B.1 C. D.【答案】A【解析】将变形为.设（），那么式子就变为.根据均值不等式则，当且仅当时等号成立.由（），即，解得（舍去，因为）.当时，也就是，那么，所以.当取得最小值时，.故选：A.5.若与（且，，）互为相反数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因与互为相反数，则，即得.故选：C.6.如图，①②③④中不属于函数的一个是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】B【解析】根据题意函数中两个底数，图象单调递增，故③，④满足题意.根据增长规律，“在定点右边，顺时针底数越来越大”，知道③对应，④对应.由于函数，则它与关于x轴对称，且①与④关于x轴对称.故函数图象为①.则②不属于函数的一个.故选：B.7.函数，的图象与直线的交点个数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】作出函数，的图象与直线的图象如下图所示：由图可知，函数，的图象与直线有个交点.故选：D.8.设，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】比较和，采用作差法，将和转化为同底数形式来比较.利用换底公式，则，.计算.根据基本不等式，对于和，有.而，即.所以，也就是，即.比较与的大小，同样利用换底公式，，.计算.由基本不等式，对于和，.且，即.所以，也就是，即.综上可得.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.给定函数用表示中的最大者，记为，则（）A.函数的单调递增区间是 B.函数无最大值C.函数的最小值为1 D.【答案】BC【解析】令，即.解这个不等式，可得.所以当时，.令，即.解这个不等式，可得或.所以当或时，.综上，.分析选项A，对于，其对称轴为，在上单调递减，在上单调递增.对于，在上单调递增.所以的单调递增区间是，A选项错误.分析选项B，当时，（时）或（时），的值会无限增大，所以无最大值，B选项正确.分析选项C，当时，；当时，.且在的整个定义域内，在处取得最小值，C选项正确.分析选项D，当时，因为，所以，D选项错误.故选：BC.10.已知函数是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则下列结论正确的有（）A.B.C.当时，D.当时，【答案】AC【解析】已知函数是偶函数，则，所以.又因为函数周期为，当时，，那么，所以，选项正确.由于函数周期为，则.因为函数是偶函数，所以.当时，，那么，所以选项错误.当时，.因为函数是偶函数，所以，已知当时，，那么，选项正确.当时，.因函数周期为，所以.由前面选项可知当时，，那么，所以选项错误.故选：AC.11.已知函数，则下列命题正确的是（）A.若在上单调递增，则的取值范围是B.若在上恰有3个零点，则的取值范围是C.若在上的值域为，则的取值范围是D.若在上有最大值，没有最小值，则的取值范围是【答案】ACD【解析】对于A，当时，，又在上单调递增，所以，可得，故A正确；对于B，当时，，若在上恰有3个零点，则，所以，故B错误；对于C，由题意得，即，故C正确；对于D，由题意得，解得，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，为第四象限角，则__________．【答案】【解析】，又因为为第四象限角，所以，则．13.已知，则的最小值为__________．【答案】20【解析】，而，则，当且仅当时取等号，所以所求最小值为20.14.若函数在内恰有一个零点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】当时，，解得，符合题意，则；当时，二次函数的判别式为：，若，即时，函数的零点为，符合题意，则；当，即时，由，解得且，则且；当时，，方程另一根，当时，，方程中一根，则或，所以实数a的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.计算：（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式.16.如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为．（1）求的值；（2）若，求的坐标．（3）分别计算和的值，根据计算结果，请你提出一个猜想，并证明你的猜想．解：（1）因为点在单位圆上且，所以且，解得，即，故，故原式．（2）由题意，故，，故．（3）由（1）知，所以．根据计算结果猜想：.证明：，故猜想成立．17.对于函数，（1）若函数是增函数，求的取值范围；（2）是否存在实数使函数为奇函数？解：（1）函数的定义域为，在上任取且，若函数是增函数，则，即，故，∵，∴．所以，的取值范围是．（2）假设存在实数使函数为奇函数，则，都有．所以，即，所以.所以时函数为奇函数．18.2023年金年中国新能源汽车产销量分别达到958.7万辆和949.5万辆，比分别增长和；我国新能源汽车产销量占全球比重超过，连续9年位居世界第一位．新能源汽车出口120.3万辆、同比增长，均创历史新高．2024年中国数家车企推出多款电动新能源汽车，引起市场轰动，电动新能源汽车还逐步成为人们购车的热门选择．有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量P（单位：）与速度v（单位：）的数据如下表所示：为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量P与速度v的关系，现行以下两种函数模型供选择：①，②．（1）请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式；（2）李华驾驶一辆同型号电动汽车从银川出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为甘肃省天水市秦安县．出发前汽车电池存量为，汽车到达秦安县后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）．已知该高速公路上服务区有功率为的充电桩（充电量=充电功率×充电时间），若不充电，该电动汽车能否到达秦安县？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从银川到达秦安县所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值（结果保留一位小数）解：（1）由表格中所列数据，与的函数关系，在定义域内单调递增，由增长速度可知，选择函数模型②，由题意有：解得：所以.（2）设耗电量为，则，任取，，由，，，，则有，即，所以函数在区间单调递增，，即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车不在服务区充电不能到达秦安县；又设行驶时间与充电时间分别为，总和为，若能到达秦安县，则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量，即，解得，所以总时间，当且仅当，即时取等，所以该汽车到达秦安县的最少用时约为小时.19.函数.（1）若的定义域为，求实数a的取值范围；（2）当时，为定义域为的奇函数，且时，，①求的解析式；②若关于x的方程恒有两个不同的实数根，求t的取值范围.解：（1）因的定义域为，故恒成立，即恒成立，设，则，在上单调递增，则，即，故，即.（2）①因，则当时，；若，则，，又因为为定义域为的奇函数，所以当时，，故；②方程等价于，根据解析式可知，当时，，当时，，当时，，即，，故方程即，由于在上是单调递增函数，故方程等价于，即：，当时，函数在单调递减，在上单调递增，而，故要使得有两个不同的实数解，须使，即；当时，同理可得.综上可得，.广东省茂名市电白区2024-2025学年高一上学期期末质量监测数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.1.已知集合，则等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为是上的单调递增函数，故时，，故，是R上的减函数，故时，，即，故.故选：A.2.“函数满足”是“函数在区间上有零点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若函数满足，根据零点存在定理，如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点.但是这里并没有说明函数在区间上的图象是连续不断的，比如函数，当，时，，但在上没有零点.所以“函数满足”不能推出“函数在区间上有零点”，充分性不成立.若函数在区间上有零点，比如函数在区间上有零点，此时.这说明“函数在区间上有零点”不能推出“函数满足”，必要性不成立.“函数满足”是“函数在区间上有零点”的既不充分也不必要条件.故选：D.3.已知角的终边在直线上，则的值为（）A. B. C.0 D.【答案】C【解析】由题知，设角的终边上一点，则.当时，，，，所以；当时，，，，所以.故选：C.4.当取得最小值时，（）A.0 B.1 C. D.【答案】A【解析】将变形为.设（），那么式子就变为.根据均值不等式则，当且仅当时等号成立.由（），即，解得（舍去，因为）.当时，也就是，那么，所以.当取得最小值时，.故选：A.5.若与（且，，）互为相反数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因与互为相反数，则，即得.故选：C.6.如图，①②③④中不属于函数的一个是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】B【解析】根据题意函数中两个底数，图象单调递增，故③，④满足题意.根据增长规律，“在定点右边，顺时针底数越来越大”，知道③对应，④对应.由于函数，则它与关于x轴对称，且①与④关于x轴对称.故函数图象为①.则②不属于函数的一个.故选：B.7.函数，的图象与直线的交点个数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】作出函数，的图象与直线的图象如下图所示：由图可知，函数，的图象与直线有个交点.故选：D.8.设，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】比较和，采用作差法，将和转化为同底数形式来比较.利用换底公式，则，.计算.根据基本不等式，对于和，有.而，即.所以，也就是，即.比较与的大小，同样利用换底公式，，.计算.由基本不等式，对于和，.且，即.所以，也就是，即.综上可得.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.给定函数用表示中的最大者，记为，则（）A.函数的单调递增区间是 B.函数无最大值C.函数的最小值为1 D.【答案】BC【解析】令，即.解这个不等式，可得.所以当时，.令，即.解这个不等式，可得或.所以当或时，.综上，.分析选项A，对于，其对称轴为，在上单调递减，在上单调递增.对于，在上单调递增.所以的单调递增区间是，A选项错误.分析选项B，当时，（时）或（时），的值会无限增大，所以无最大值，B选项正确.分析选项C，当时，；当时，.且在的整个定义域内，在处取得最小值，C选项正确.分析选项D，当时，因为，所以，D选项错误.故选：BC.10.已知函数是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则下列结论正确的有（）A.B.C.当时，D.当时，【答案】AC【解析】已知函数是偶函数，则，所以.又因为函数周期为，当时，，那么，所以，选项正确.由于函数周期为，则.因为函数是偶函数，所以.当时，，那么，所以选项错误.当时，.因为函数是偶函数，所以，已知当时，，那么，选项正确.当时，.因函数周期为，所以.由前面选项可知当时，，那么，所以选项错误.故选：AC.11.已知函数，则下列命题正确的是（）A.若在上单调递增，则的取值范围是B.若在上恰有3个零点，则的取值范围是C.若在上的值域为，则的取值范围是D.若在上有最大值，没有最小值，则的取值范围是【答案】ACD【解析】对于A，当时，，又在上单调递增，所以，可得，故A正确；对于B，当时，，若在上恰有3个零点，则，所以，故B错误；对于C，由题意得，即，故C正确；对于D，由题意得，解得，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，为第四象限角，则__________．【答案】【解析】，又因为为第四象限角，所以，则．13.已知，则的最小值为__________．【答案】20【解析】，而，则，当且仅当时取等号，所以所求最小值为20.14.若函数在内恰有一个零点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】当时，，解得，符合题意，则；当时，二次函数的判别式为：，若，即时，函数的零点为，符合题意，则；当，即时，由，解得且，则且；当时，，方程另一根，当时，，方程中一根，则或，所以实数a的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.计算：（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式.16.如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为．（1）求的值；（2）若，求的坐标．（3）分别计算和的值，根据计算结果，请你提出一个猜想，并证明你的猜想．解：（1）因为点在单位圆上且，所以且，解得，即，故，故原式．（2）由题意，故，，故．（3）由（1）知，所以．根据计算结果猜想：.证明：，故猜想成立．17.对于函数，（1）若函数是增函数，求的取值范围；（2）是否存在实数使函数为奇函数？解：（1）函数的定义域为，在上任取且，若函数是增函数，则，即，故，∵，∴．所以，的取值范围是．（2）假设存在实数使函数为奇函数，则，都有．所以，即，所以.所以时函数为奇函数．18.2023年金年中国新能源汽车产销量分别达到958.7万辆和949.5万辆，比分别增长和；我国新能源汽车产销量占全球比重超过，连续9年位居世界第一位．新能源汽车出口120.3万辆、同比增长，均创历史新高．2024年中国数家车企推出多款电动新能源汽车，引起市场轰动，电动新能源汽车还逐步成为人们购车的热门选择．有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量P（单位：）与速度v（单位：）的数据如下表所示：为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量P与速度v的关系，现行以下两种函数模型供选择：①，②．（1）请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式；（2）