一元二次方程的根与系数的关系课件北师大版数学九年级上册

第二章

一元二次方程2.5一元二次方程的根与系数的关系复习导入数学与生活息息相关，前面，我们主要研究了一元二次方程的解法，回顾一元二次方程的解法一共有几种？1．一元二次方程的解法：(1)配方法；(2)直接开平方法；(3)公式法；(4)因式分解法．2．利用因式分解法快速地求出下列方程的根．(1)x2－2x－3＝0；

(2)x2＋4x＋3＝0；(3)x2－5x－6＝0；(4)x2＋7x＋12＝0.解：(1)(x－3)(x＋1)＝0，x1＝3，x2＝－1；(2)(x＋3)(x＋1)＝0，x1＝－3，x2＝－1；

(3)(x－6)(x＋1)＝0，x1＝6，x2＝－1；

(4)(x＋3)(x＋4)＝0，x1＝－3，x2＝－4．3．根据方程的根的情况，完成下列问题．(1)x2－2x－3＝0；x1＝___，x2＝___，x1＋x2＝___，x1x2＝___；(2)x2＋4x＋3＝0；x1＝___，x2＝___，x1＋x2＝___，x1x2＝___；(3)x2－5x－6＝0；x1＝___，x2＝___，x1＋x2＝___，x1x2＝___；(4)x2＋7x＋12＝0；x1＝___，x2＝___，x1＋x2＝___，x1x2＝___．3－12－3－1－3－436－15－6－3－4－712你发现了什么规律？1.解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1＋x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？一元二次方程x1x2x1＋x2x1·x2x2＋3x－4＝0x2－2x－5＝02x2－3x＋1＝06x2＋x－2＝0112－4－3－4－5实践探究2.在前面学过利用公式法求解一元二次方程，对于一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，它的求根公式是能得出以下结果：证一证：归纳总结一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）如果方程

ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1、x2，那么，满足上述关系的前提条件b2-4ac≥0应用举例

利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：(1)x2+7x+6=0；

(2)2x2-3x-2=0.例1方法指导：利用一元二次方程根与系数的关系求两根之和、两根之积时，要先利用根的判别式b2－4ac判断方程根的情况．解：这里a=1,b=7,c=6.

Δ

=b2-4ac=72–4×1×6=25>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-7,x1x2=6.(1)x2+7x+6=0;(2)2x2-3x-2=0.解：这里a=2,b=-3,c=-2.

Δ=b2-4ac=（-3）2–4×2×(-2)=25>0,∴方程有两个实数根.

设方程的两个实数根是x1,

x2,

那么x1+x2=,

x1x2=-1.

关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2.(1)求m的取值范围；(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值．例2方法指导：(1)由一元二次方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；(2)根据根与系数的关系，可得出x1＋x2，x1x2的值，结合已知条件可得出关于m的方程，解之即可得出m的值．解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2，∴Δ≥0，即32－4(m－1)≥0.解得m≤；(2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝m－1.∵2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，∴2×(－3)＋m－1＋10＝0.∴m＝－3.

若关于x的一元二次方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两个根互为倒数，则k＝_____．例3方法指导：应用根与系数关系时，注意还要考虑根的判别式．解：设方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两个根为x1，x2.由一元二次方程根与系数的关系，得x1x2＝k2＝1，解得k＝±1.当k＝1时，Δ＜0；当k＝－1时，Δ＞0.综上所述，k＝－1.－1练一练1．设一元二次方程x2－6x＋4＝0的两实根分别为x1和x2，则(x1＋x2)－x1·x2＝(

)A．－10

B．10

C．2

D．－22．设a，b是方程x2＋x－2016＝0的两个不相等的实数根，则a2＋2a＋b的值为________．C20153.设x1,x2为方程x2–4x+1=0的两个根，则:(1)x1+x2=

,(2)x1·x2=

,(3)x12+x22=

,(4)(x1–x2)2=

.411412内容如果一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、x2，那么应用根与系数的关系（韦达定理）课堂小结与作业随堂练习知识点1

利用根与系数的关系直接求两根之和与两根之积1.设x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1＋x2的值为()A.－2 B.－3 C.2 D.3C2.已知一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个根为x1，x2，则x1x2＝____.33.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积：(1)x2＋4x－5＝0；

3.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积：(2)2x2＋4x＝3；

3.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积：(3)(3x＋1)(x－2)＝x－1.

D5.(2025·葫芦岛绥中月考)若方程x2－2x－3＝0的两个实数根为x1，x2，则(x1－1)(x2－1)的值为

()A.7 B.3 C.－4 D.－5C

A

58.已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数根，则(x1－x2)2＋3x1x2的值是_____.

14知识点3

利用根与系数的关系求方程的另一个根或参数的值9.(教材P51习题T3变式)已知关于x的一元二次方程x2＋mx－6＝0的一个根是2，则它的另一个根是()A.2 B.－2 C.3 D.－3[变式]若关于x的一元二次方程x2－3x＋t＝0的一个根是－1，则另一个根是_________，t＝___________.D

4

－4

10.已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－k－1＝0的两个根，且x1x2＝－3，则k的值为()A.1 B.2 C.3 D.4B

A

易错点

已知根与系数的关系求参数时，忽略Δ≥012.(2025·鞍山铁东区月考)已知关于x的一元二次方程x2－(2m－1)x＋m2＝0的两个实数根为x1，x2.若(x1＋1)(x2＋1)＝3，则m的值为()A.－3 B.－1C.－3或1 D.－1或3A13.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程的题目时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5.原来的方程是()A.x2＋6x＋5＝0 B.x2－7x＋10＝0C.x2－5x＋2＝0 D.x2－6x－10＝0B14.【整体思想】如果关于x的一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根分别为α，β，那么α2＋4α＋β＝_____.[变式]

已知α，β是方程x2＋3x＋1＝0的两个根，则(1＋5α＋α2)(1＋5β＋β2)的值为_____.

4

4

15.已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2－1＝0有实数根.(1)求实数k的取值范围；

16.【新考法·阅读理解】阅读材料，解答问题：已知实数m，n满足m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2－x－1＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可以知道m与n的和，m与n的积.(1)材料理解：m＋n＝_____，mn＝______；

1

－1

16.【新考法·阅读理解】阅读材料，解答问题：已知实数m，n满足m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2－x－1＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可以知道m与n的和，m与n的积.