中考数学复习知识梳理 第四章 三角形第 等腰三角形、等边三角形、直角三角形 课件

第四章三角形第15课时等腰三角形、等边三角形、直角三角形课前循环练（限时5分钟）1.

（广东真题）关于x的方程2（x-1）-a=0的根是3，则a的值为（

）A.4B.-4C.5D.-5A

图4-15-1D

3.

（广东真题）下列说法正确的是

（

）A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B.等腰三角形是轴对称图形，也是中心对称图形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.有两边平行的四边形是梯形C

图4-15-230°10

①理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合.

探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.

探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°.

探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形.

②理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.

课标要求

③探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.

④探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

⑤理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

对接教材

人教：八上第十三章轴对称（13.3等腰三角形）；八下第十七章勾股定理

北师：八上第一章勾股定理；八下第一章三角形的证明

考点梳理广东省对应考点例题例1.

如图4-15-3，AB=AC，AD=BD=DE=CE=AE，则图中共有

个等腰三角形，有

个等边三角形.

图4-15-341考点复习1.等腰三角形的概念有

相等的三角形是等腰三角形

两边2.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两条腰

，两个底角

，简称等边对等角.

（2）等腰三角形顶角的

、底边上的

及底边上的高线互相重合，简称“三线合一”.

（3）等腰三角形是轴对称图形，有

条对称轴

相等相等平分线中线1例2.

如图4-15-4，在△ABC中，AB=AC，AD是边BC上的高，BC=8cm，则BD=

cm.

图4-15-443.等腰三角形的判定（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形.（2）有两个

相等的三角形是等腰三角形，简称等角对等边

角例3.

如图4-15-5，AD是△ABC的边BC上的高，添加一个条件使△ABC是等腰三角形：

.（写一个即可）

图4-15-5BD=CD（答案不唯一）4.等边三角形的性质（1）等边三角形的三条边都

，每个角都等于

.

（2）等边三角形是轴对称图形，有

条对称轴

相等60°3例4.

如图4-15-6，△ABC是等边三角形，边长为2，AD⊥BC，则∠B=

，∠BAD=

，BD=

，△ABC的周长为

.

图4-15-660°30°165.等边三角形的判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形.

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形.

（3）有一个角等于60°的

是等边三角形.

（4）有两个角等于

的三角形是等边三角形

等腰三角形60°例5.

在△ABC中，如果AB=AC，

（只添加一个条件），则△ABC为等边三角形.

BC=AB（答案不唯一）

6.直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角

.

（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的

.

（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于

.

（4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于

.（解答题需证明使用）

（5）勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的

互余一半斜边的一半

30°平方例6.

（1）如图4-15-7，在Rt△ABC中，∠ABC=90°.若AC=2BC，则∠A=

；若D为斜边AC的中点，且AC=5，则BD=

；

30°图4-15-7

（2）如图4-15-8，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=4，则∠EAC=

，AC=

；

（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则AB的长是

.

图4-15-860°2

7.直角三角形的判定（1）有一个角是

的三角形是直角三角形.

（2）有两个角

的三角形是直角三角形.

（3）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

（4）如果三角形一边上的

等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（解答题需证明使用）

90°互余中线例7.

（1）如图4-15-9，已知P是射线ON上一动点（即点P可在射线ON上运动），若∠AON=30°，则当∠A=

时，△AOP是直角三角形；

图4-15-960°或90°

（2）如图4-15-10，在△ABC中，AD=DC=BD，则∠ABC=

.

图4-15-1090°8.角平分线的性质与判定（1）性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离

.

（2）判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离

的点在这个角的平分线上

相等相等例8.

如图4-15-11，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，AB=6，则△ABD的面积为

.

图4-15-1169.线段的垂直平分线（1）线段的垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.

（2）性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离____

.

（3）判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____

上

相等垂直平分线例9.

如图4-15-12，在△ABC中，边AB的中垂线分别交BC，AB于点D，E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是

cm.

图4-15-1215广东中考1.

（2020·广东题17，4分，直角三角形斜边上的中线；点与圆的位置关系）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.

把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图4-15-13.∠ABC=90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN=4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2.

在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为

.

图4-15-13

2.

（2021·广东题20，6分，

解直角三角形；线段垂直平分线的性质）如图4-15-14，在Rt△ABC中，∠A=90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE=AB.

（1）若AE=1，求△ABD的周长；图4-15-14解：（1）作图如答图4-15-1，连接BD.∴BD=CD.∵AB=CE，∴△ABD的周长为AB+AD+BD=CE+AD+CD=AE=1.答图4-15-1

答图4-15-1高分击破【典型考点】等腰三角形的判定

得分点分析

1.

（2020·广东）如图4-15-15，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F.求证：△ABC是等腰三角形.图4-15-15

温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的第18题，分值一般为7分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全对，评卷老师是分步给分的哦！【典型错例】等腰三角形性质的综合运用漏解2.

等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求该等腰三角形顶角的度数.解：①如答图4-15-2，当等腰三角形ABC为锐角三角形时，∵∠ABD=50°，BD⊥AC，∴∠A=90°-∠ABD=40°.∴此时三角形的顶角为40°；答图4-15-2②如答图4-15-3，当等腰三角形ABC为钝角三角形时，∵BD⊥AC，∴∠BDA=90°.∵∠ABD=50°，∴∠BAC=∠ABD+∠BDA=140°.∴此时三角形的顶角为140°.综上所述，该等腰三角形顶角的度数为40°或140°.

答图4-15-3错解分析错解：如图4-15-16，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD为AC边上的高.由题意知∠ABD=50°，∴∠A=90°-∠ABD=40°.

∴该等腰三角形顶角的度数为40°.

剖析：该解答过程的错误在于直接默认等腰三角形是锐角三角形，忽视了还有钝角三角形的情况.本题要进行分类讨论，分等腰三角形的顶角是锐角和等腰三角形的顶角是钝角两种情况，再分别解答.

图4-15-16【生长式训练】知识生长→变式创新3.

（中考创新，原创题）如图4-15-17，△ACB和△DCE均是顶角为40°的等腰三角形，AB，DE分别是底边，连接AD，BE，点A，D，E在同一直线上.知识种子：基本概念（1）填空：∠BAC=

，∠ADC=

；

图4-15-1770°110°种子生长：等腰三角形的性质（2）求证：AD=BE；

图4-15-17生长变式：图形变式（3）如图4-15-18，若△ACB和△DCE均是等边三角形，连接AD，BE，点A，D，E在同一直线上.①求∠AEB的度数；图4-15-18

①∵∠CDE=60°，点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=180°-∠CDE=120°.∴∠BEC=∠ADC

=120°.∵∠CED=60°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°.图4-15-18②AE=BE+CE.理由：∵AE=AD+DE，AD=BE，DE=CE，∴AE=BE+CE.

图4-15-18②求线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；种子成树：综合创新（4）如图4-15-19，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD，BE，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE的边DE上的高.图4-15-19

图4-15-19①求∠AEB的度数；②AE=

BE+2CM.理由：∵CM为△DCE的边DE上的高，∴CM⊥DE.又∵CD=CE，∴DM=EM.∵∠DCE=90°，∴DE=2CM.∵AE=AD+DE，AD=BE，DE=2CM，∴AE=BE+2CM.图4-15-19中考演练（限时15分钟）一、选择题1.

（2024·青海）如图4-15-20，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD=2，则点P到OA的距离是

（

）A.4B.3C.2D.1图4-15-20C2.

（2024·兰州）如图4-15-21，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DA⊥AC，则∠ADB=（

）A.100°B.115°C.130°D.145°B图4-15-21

图4-15-22A4.

（2024·凉山州）如图4-15-23，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB交BC于点D.若△ACD的周长为50cm，则AC+BC=（

）A.25cmB.45cmC.50cmD.55cm图4-15-23C

图4-15-24C二、填空题6.

（2023·丽水）如图4-15-25，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B=∠ADB.

若AB=4，则DC的长是

.

图4-15-2547.

（2024·重庆）如图4-15-26，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.

若BC=2，则AD的长度为

.

图4-15-2628.

（2023·随州）如图4-15-27，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的平分线，则AD=

.

图4-15-275三、解答题9.

（2024·宜宾）如图4-15-28，D，E分别是等边三角形ABC边BC，AC上的点，且BD=CE，BE与AD交于点F.

求证：AD=BE.

图4-15-28

10.

（2022·温州）如图4-15-29，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E.

（1）求证：∠EBD=∠EDB；（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD=∠EBD.

∵DE∥BC，∴∠CBD=∠EDB.

∴∠EBD=∠EDB.

图4-15-29（2）当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由.

（2）解