2024年广东省广州市南沙区中考一模数学试题（解析版）

2023学年第二学期初中毕业班模拟考试（一）数学本试卷共6页，25小题，满分120分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．5．考试时不可使用计算器．第一部分选择题（共30分）一、选择题。（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。）1.的绝对值是（）。A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了绝对值．根据绝对值的性质可得答案．正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0．【详解】解：的绝对值是．故选：D．2.“全民行动，共同节约”．我国14.1亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电，一年可节约电度．将“”用科学记数法表示，正确的是（）。A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：．故选：B．3.一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）。A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此题考查了几何体的三视图，根据几何体的三视图判断几何体的形状即可得到答案．【详解】解：根据三视图可知几何体为：，故选：D4.下面的计算正确的是（）。A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了同底数幂的除法、积的乘方、负整数指数幂等知识，根据相应的运算法则计算后即可得到答案．【详解】解：A．与不是同类项，不能进行计算，故选项错误，不符合题意；B．，故选项错误，不符合题意；C．，故选项准确，符合题意；D．，故选项错误，不符合题意．故选：C．5.分式方程的解为（）。A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题考查了解分式方程，按照解分式方程的步骤解方程即可．【详解】解：去分母得到，解得．经检验，是原方程的解．故选：B6.《九章算术》中曾记载：“今有牛五羊二，直金十两；牛二羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为（）。A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是设每头牛、每只羊分别值金x两、y两，根据“头牛，只羊，值金两；头牛，只羊，值金两”列出方程组即可得答案．【详解】解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为，故选A．7.一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（）。A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．【详解】解：滑轮的直径是，滑轮的半径是，设旋转的角度是，由题意得：，解得：，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为，故选：B．8.如图，，是的切线，，为切点，为圆上一定点，，时，的大小和的长分别是（）。A.，8 B.，8 C.， D.，【答案】C【解析】【分析】连接，根据切线的性质得到，利用四边形内角和计算出，再利用圆周角定理得到，根据切线长定理得到平分，所以，从而得到，即可得到答案．详解】解：如图，连接，，是的切线，，为切点，，，，，，，是的切线，平分，，．故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，切线长定理，解直角三角形，掌握并灵活运用相关知识是解题的关键．9.如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，若，，则四边形的周长是（）。A.19 B.20 C.28 D.29【答案】C【解析】【分析】此题考查了旋转的性质、等边三角形判定和性质等知识，先由是等边三角形得出，根据图形旋转的性质得出，即可求出结果【详解】解：∵是等边三角形，∴，∵将绕点B按逆时针方向旋转，得到，∴，∴，∵，∴四边形的周长为．故选：C10.已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（）。A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据二次函数的图象开口向上和对称轴可知，由抛物线交的正半轴，可知，然后利用排除法即可得出正确答案．本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．【详解】解：二次函数的图象开口向上，，，，，的图象必在二，四象限，抛物线与轴相交于正半轴，，，的图象经过一，二，四象限，故A、B、C错误，D正确；故选：D．第二部分非选择题（共90分）二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）11.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________。【答案】x≥8【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：x8≥0，解得：x≥8．故答案为：x≥8．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键．12.清和四月，草长莺飞，正是踏春好时节．未来6天的每天的最低气温（单位：℃）分别为：17，16，19，20，22，20，这组数据的中位数为______．【答案】【解析】【分析】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，据此进行求解即可．【详解】解：数据共6个，从小到大排列为：16，17，19，20，20，22，∴组数据的中位数为．故答案为：13.如图，在中，，点D为边的中点，，则______°．【答案】【解析】【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，先证明是等腰三角形，，得到，再由等腰三角形三线合一得到答案．【详解】解：在中，，∴是等腰三角形，∴∵点D为边的中点，∴故答案为：14.如图，已知抛物线经过点和两点，如果点与在此抛物线上，那么______．（填“＞”“＜”或“＝”）【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练运用二次函数图像的对称性和增减性是解题的关键．先求出对称轴为，又由开口向下得到对称轴右侧y随x的增大而减小，即可得到答案．【详解】解：∵抛物线经过点和两点，，∴对称轴为，∵开口向下，∴对称轴右侧y随x的增大而减小，∴当时，，故答案为：．15.如图，中，E是边上的中点，点D、F分别在上，且，，若，，则的长为______．【答案】3【解析】【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线性质是解题的关键．先证明点是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到的长，然后利用三角形的中位线求出长，进而求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴∴,∴点是的中点，，D，E分别是，边上的中点，，，故答案为：3．16.已知在四边形中，，，．（1）的长是______；（2）若E是边上一个动点，连接，过点D作，垂足为点F，在上截取，当的面积最小时，点P到的距离是______．【答案】①.②.##【解析】【分析】（1）连接，根据条件易知是等腰直角三角形，所以求得，再利用求得，在中即可求出的长；（2）连接，过点P作于点G，当点O、P、G共线时，的长最小，则的面积最小．【详解】（1）解：连接，在中，，，，，，在中，；故答案为：4（2）在中，易得，连接，由题意可知是等腰直角三角形，，，点P是外接圆的上的一个动点，作的外接圆，连接，得，是等腰直角三角形，，过点P作于点G，当点O、P、G共线时，的长最小，则的面积最小，当点O、P、G共线时，，，是等边三角形，，过点P作于点H，∴四边形是矩形，，，则，故点P到的距离是．故答案为：【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和面积最小问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．三、解答题。（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤。）17.解不等式组：．【答案】【解析】【分析】此题考查了解不等式组，求出每个不等式的解集，取公共部分即可．【详解】解：解不等式①得，，解不等式②得，∴原不等式组的解集为18.如图，BD是的对角线，点E、F在BD上，．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】根据平行四边形性质得，则可得∠ABE＝∠CDF，利用可证得，根据全等三角形的性质即可求证结论．【详解】证明：∵BF＝DE∴BF－EF＝DE－EF，∴BE＝DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴∠ABE＝∠CDF，在和中，，∴，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．19.已知．（1）化简A；（2）若点是抛物线上的一点，求A的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】此题考查了分式的化简求值、抛物线上的点的特征，准确掌握分式的混合运算顺序和二次函数的性质是解题的关键．（1）先计算括号内加法，再计算除法即可；（2）把点的坐标代入得到，则，整体代入（1）中结果即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】∵点是抛物线上的一点，∴∴∴20.小亮同学参加项目式学习主题活动，想测校园中一棵树的高度（如图AB），他设计出以下两种方案来计算树的高度（两种方案中涉及的点均在同一平面内）．方案①：如图1，小亮在离B点11米的E处水平放置一个平面镜（可把平面镜看成一个点E），然后沿射线BE方向后退2米到点D，此时从镜子中恰好看到树梢A，已知小亮的眼睛到地面的高度是1.6米；方案②：如图2，小亮利用测角仪测量树的高度．已知他离树的水平距离BD为10米，测角仪的高度为1.6米，从点C处测得树顶A的仰角为．请从两种方案中任选一种求树的高度．（参考数据：，，）【答案】树的高度为米【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，根据题目条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．方案①：证明，则，得到，即可求出答案；方案②：过点C作，垂足为E．在中，利用得到，再利用线段求和即可得到．【详解】解：方案①：如图，由题意可得，，，∴，∴，∴，∴，解得，∴树的高度为米；方案②：如图，过点C作，垂足为E．在中，，，，∴，∴．21.某校开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，抽取了部分学生进行调查，调查问卷设置了“A：非常了解”，“B：比较了解”，“C：基本了解”，“D：不太了解”四个等级，采取随机抽样的方式，要求每个学生只能填写其中一个等级，并根据调查结果绘制成如图所示不完整的频数分布表，根据表格回答下列问题：等级频数频率A（非常了解）250.5B（比较了解）150.3C（基本了解）8aD（不太了解）b0.04（1）本次抽样调查的总人数为______人，频数分布表中______；（2）若该校有学生1000人，请根据抽样调查结果估计该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类的学生的总人数；（3）在“非常了解”垃圾分类的学生中，有1个男生2个女生来自同一班级，计划在这3个学生中随机抽选两个加入垃圾分类宣讲队，请用列表或画树状图的方法求所选的两个学生都是女生的概率．【答案】（1）（2）800人；（3）【解析】【分析】本题考查频数分布表以及用树状图或列表法求概率、样本估计总体等知识，理解频率=频数÷总数，列举出所有可能出现的结果情况是求概率的关键．（1）根据频率=频数÷总数可计算出得出总数，进而求出a的值；（2）根据样本中“非常了解”“比较了解”所占的百分比估计总体1000人中“非常了解”“比较了解”的人数；（3）用树状图表示所有可能出现的结果情况，进而求出两个学生都是女生的概率．【小问1详解】（人），，故答案为：；【小问2详解】（人），答：该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类的学生的总人数有800人；【小问3详解】用树状图法表示所有可能出现的结果情况如下：共有6种等可能出现的结果情况，其中两个学生都是女生的情况有2种，所以两个学生都是女生的概率为．答：两个学生都是女生的概率为．22.越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东涌的李老师决定用骑行代替开车去天后宫．当路程一定时，李老师骑行的平均速度v（单位：千米/小时）是骑行时间t（单位：小时）的反比例函数．根据以往的骑行两地的经验，v、t的一些对应值如下表：t（小时）21.51.21v（千米/小时）12162024（1）根据表中数据，求李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式；（2）安全起见，骑行速度一般不超过30千米/小时．李老师上午8:30从家出发，请判断李老师能否在上午9:10之前到达天后宫，并说明理由；（3）据统计，汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳．请计算李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量．【答案】（1）（2）李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫，理由见解析（3）千克【解析】【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式．（1）由表中数据可得，从而得出结论；（2）把代入（1）中解析式，求出v，从而得出结论；（3）根据得到从东涌骑行到天后宫的距离为24千米，根据汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳即可得到答案．【小问1详解】解：根据表中数据可知，，，李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式为；【小问2详解】李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫，理由：从上午8：30到上午9：10，李老师用时40分钟，即小时，当时，（千米/时），骑行速度一般不超过30千米/小时，李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫；【小问3详解】∵，∴从东涌骑行到天后宫距离为24千米，∴李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量为（千克）．23.如图，是的外接圆，为直径，（1）尺规作图：在直径下方的半圆上找点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，连接，，．已知，，①求四边形的面积；②求O到弦的距离．【答案】（1）见解析（2）①；②【解析】【分析】（1）直接作的垂直平分线即可；（2）①利用分割的思想求解面积，②作出相应辅助线，利用相似三角形的判定及性质求出，再利用勾股定理及等面积法进行求解．【小问1详解】解：根据题意作图如下：【小问2详解】解：①如下图：由圆周角定理知：，，，，解得：，，，，；②解：过作的垂线交于，过作的垂线交于，取与的交点为，根据等面积法得：，解：，，，，，，解得：，，根据等面积法得：，，O到弦的距离为．【点睛】本题考查了垂直平分线、圆周角定理、相似三角形的判定及性质、勾股定理、利用正弦值求边长，解题的关键是利用等面积法建立等式求解．24.已知抛物线的图象过点．（1）求b与a的关系式；（2）当时，若该抛物线的顶点到x轴的距离是1，求a的值；（3）将抛物线进行平移，若平移后的抛物线仍过点，点A的对应点为点，当时，求平移后的抛物线顶点纵坐标的最大值．【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）把点A坐标代入即可得到答案；（2）根据和该抛物线的顶点到x轴的距离是1得到，解方程后根据即可得到答案；（3）根据题意可知抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度．则平移后的抛物线解析式为．把代入解得