05　第一章　第5课时　一元二次方程、不等式

第一章集合、常用逻辑用语、不等式第5课时一元二次方程、不等式[考试要求]

1.能从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．链接教材·夯基固本二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系提醒：解集的端点是二次函数的零点，也是对应一元二次方程的根．{x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}∅∅[常用结论]1．分式不等式的解法2．绝对值不等式：|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)．记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．3．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数确定．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(

)(2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(

)(4)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(

)√√××二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P53练习T1改编)不等式(x－1)(x－3)>0的解集为(

)A．{x|x<1}

B．{x|x>3}C．{x|x<1或x>3} D．{x|1<x<3}C

[由方程(x－1)(x－3)＝0，可得方程的两根为x1＝1，x2＝3，结合一元二次不等式的解法，可得不等式(x－1)(x－3)>0的解集为{x|x<1或x>3}．故选C．]√A．(－∞，－5] B．[－5，－1)C．[－5，－1]∪[5,7) D．[－5，－1]D

[因为x2≤25，所以集合A＝{x|－5≤x≤5}．√3．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T6改编)若不等式ax2＋ax＋a＋3≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________.{a|a≥0}

[当a＝0时，不等式为3＞0，满足题意；解得a＞0.综上可得，a的取值范围为{a|a≥0}．][1,5)

[设花卉带的宽度为x米，典例精研·核心考点考点一一元二次不等式的解法及“三个二次”之间的关系(2)不等式0<x2－x－2≤4的解集为________.(1)(－∞，4)∪[8，＋∞)

(2){x|－2≤x<－1或2<x≤3}

[(1)因为ax2＋bx＋c>0的解集为(－2，4)，所以a<0，且对应方程的根为－2和4，故原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2<x≤3}．]

解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式的解集为R或∅)．(3)求：求出对应的一元二次方程的根(解集的端点对应方程的根)．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．[跟进训练]1．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－2或x≥3}，则下列说法正确的是(

)A．a<0B．ax＋c>0的解集为{x|x<6}C．8a＋4b＋3c<0√√√ABD

[关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－2或x≥3}，对于A，a<0，正确；对于B，ax＋c>0，即a(x－6)>0，解得x<6，正确；对于C,8a＋4b＋3c＝8a－4a－18a＝－14a>0，错误；对于D，cx2＋bx＋a<0，即－6ax2－ax＋a<0，即6x2＋x－1<0，解得考点二含参数的一元二次不等式的解法[典例2]解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．解：原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，[拓展变式]在本例中，把“a>0”改成“a∈R”，解不等式．解：当a>0时，同典例2解析；当a＝0时，原不等式等价于－x＋1<0，即x>1；

解含参数的一元二次不等式的步骤[跟进训练]2．解关于x的不等式x2＋ax＋1＜0(a∈R)．解：Δ＝a2－4.①当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式的解集为∅.综上所述，当－2≤a≤2时，原不等式的解集为∅；当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为√考点三一元二次不等式恒成立问题[典例3]

(1)(2025·济南模拟)若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，2]

B．(－∞，－2)C．(－2,2) D．(－2,2](2)若不等式ax2－x＋a>0对任意的x∈(1，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为____________.(3)若∀a∈[－1,3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0恒成立，则实数x的取值范围为________.[拓展变式]本例(2)变为：当x∈[m，m＋1]时，满足x2＋mx－1<0，求实数m的取值范围．

恒成立问题求参数的取值范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的取值范围，谁就是参数．(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．(3)特别注意对二次项系数为0的讨论，因为不等式不一定为一元二次不等式．[跟进训练]3．(1)设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解