2025秋 名师金典新课标高考总复习 数学 课时分层作业67

课时分层作业(六十七)(本试卷共82分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．)一、单项选择题1．(2025·菏泽模拟)随机变量X的分布列如表所示，若E(X)＝eq\f(1,3)，则D(3X－2)＝()X－101Peq\f(1,6)abA．eq\f(5,9) B．eq\f(5,3)C．5 D．7C[因为E(X)＝eq\f(1,3)，所以由随机变量X的分布列得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)＋a＋b＝1，,－\f(1,6)＋b＝\f(1,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,3)，,b＝\f(1,2)，))所以D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(5,9)，所以D(3X－2)＝9D(X)＝9×eq\f(5,9)＝5.故选C.]2．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．2 D．eq\f(8,3)D[由题意可知，取出的球的最大编号X的可能取值为2,3，所以P(X＝2)＝eq\f(1,C\o\al(2,3))＝eq\f(1,3)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(2,3))＝eq\f(2,3)，所以E(X)＝2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3).]3．甲箱子里装有3个白球和2个红球，乙箱子里装有3个白球和3个红球，从这两个箱子里分别随机摸出一个球，设摸出白球的个数X的均值和方差分别为E(X)，D(X)，摸出红球的个数Y的均值和方差分别为E(Y)，D(Y)，则()A．E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)B．E(X)<E(Y)，D(X)>D(Y)C．E(X)>E(Y)，D(X)＝D(Y)D．E(X)<E(Y)，D(X)<D(Y)C[由题意得，甲箱中摸到白球的概率为eq\f(3,5)，摸到红球的概率为eq\f(2,5)，乙箱中摸到白球的概率为eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，摸到红球的概率为eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).由题意可知X的可能取值为0,1,2，所以P(X＝0)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,5)，P(X＝1)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,10)，所以E(X)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＝eq\f(11,10)，D(X)＝eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,10)－0))2＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,10)－1))2＋eq\f(3,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,10)－2))2＝eq\f(49,100).由题意可知Y的可能取值为0,1,2，所以P(Y＝0)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,10)，P(Y＝1)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，P(Y＝2)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,5)，所以E(Y)＝0×eq\f(3,10)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,5)＝eq\f(9,10)，D(Y)＝eq\f(3,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)－0))2＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)－1))2＋eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)－2))2＝eq\f(49,100).所以E(X)>E(Y)，D(X)＝D(Y)．故选C.]4．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为eq\f(2,3)，乙在每局中获胜的概率为eq\f(1,3)，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为()A．eq\f(241,81) B．eq\f(266,81)C．eq\f(274,81) D．eq\f(670,243)B[依题意知，ξ的所有可能取值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(5,9).若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P(ξ＝2)＝eq\f(5,9)，P(ξ＝4)＝eq\f(4,9)×eq\f(5,9)＝eq\f(20,81)，ξ为6时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮，P(ξ＝6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))2＝eq\f(16,81)，故E(ξ)＝2×eq\f(5,9)＋4×eq\f(20,81)＋6×eq\f(16,81)＝eq\f(266,81).故选B.]5．设0<a<1，随机变量X的分布列是：X0a1Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)则当a在(0,1)内减小时()A．D(X)减小B．D(X)增大C．D(X)先减小后增大D．D(X)先增大后减小C[根据题意可得，E(X)＝eq\f(0＋a＋1,3)＝eq\f(a＋1,3)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(a＋1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(a＋1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a＋1,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(6a2－6a＋6,27)＝eq\f(6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋\f(9,2),27)，所以D(X)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上单调递增，所以D(X)先减小后增大．故选C.]6．已知离散型随机变量X的分布列为P(X＝n)＝eq\f(a,\r(n)＋\r(n＋1))(n＝1,2，…，15)，其中a为常数，则P(X≤8)＝()A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,4) D．eq\f(4,5)B[因为P(X＝n)＝eq\f(a,\r(n)＋\r(n＋1))(n＝1,2，…，15)＝a(eq\r(n＋1)－eq\r(n))，所以a(4－eq\r(15)＋eq\r(15)－eq\r(14)＋…＋eq\r(2)－1)＝3a＝1，解得a＝eq\f(1,3).所以P(X≤8)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝8)＝a(3－eq\r(8)＋eq\r(8)－eq\r(7)＋…＋eq\r(2)－1)＝2a＝eq\f(2,3).故选B.]二、多项选择题7．若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝eq\f(1,3)，则下列结论正确的是()A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X＋2)＝4C．D(3X＋2)＝4 D．D(X)＝eq\f(4,9)AB[依题意P(X＝0)＝eq\f(1,3)，所以P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝eq\f(2,3)，所以E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9).所以P(X＝1)＝E(X)，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×eq\f(2,3)＋2＝4，D(3X＋2)＝32D(X)＝32×eq\f(2,9)＝2，所以AB正确，CD错误．故选AB.]8．(2025·日照模拟)为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假期间开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程．若甲、乙、丙三名同学各只能体验其中一门课程，则()A．甲、乙、丙三人选择课程的方案有120种B．恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为eq\f(5,9)C．在甲不选择课程“御”的条件下，乙、丙也不选择课程“御”的概率为eq\f(25,36)D．设三名同学选择课程“礼”的人数为ξ，则E(ξ)＝eq\f(1,2)BCD[A选项，由题意，三人之间选择体验课程没有影响，故三人选择课程方案有6×6×6＝216(种)，故A错误；B选项，恰有三门课程没有被三名同学选中，说明三人选择的课程互不相同，共有Aeq\o\al(3,6)＝120(种)选法，又总的选法是216种，所以恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为eq\f(120,216)＝eq\f(5,9)，故B正确；C选项，记A：“甲不选择课程‘御’”，B：“乙、丙不选择课程‘御’”，则n(AB)＝5×5×5＝125，n(A)＝5×6×6＝180，故P(B|A)＝eq\f(125,180)＝eq\f(25,36)，故C正确；D选项，由题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝eq\f(53,63)＝eq\f(125,216)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)×1×52,63)＝eq\f(25,72)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)×5,63)＝eq\f(5,72)，P(ξ＝3)＝eq\f(1,63)＝eq\f(1,216)，所以E(ξ)＝0×eq\f(125,216)＋1×eq\f(25,72)＋2×eq\f(5,72)＋3×eq\f(1,216)＝eq\f(1,2)，故D正确．故选BCD.]三、填空题9．已知某个离散型随机变量的分布列为X0123Paeq\f(3,10)ceq\f(1,10)则eq\f(1,a)＋eq\f(4,c)的最小值为______.15[由分布列性质可知，a＋c＝eq\f(3,5)，所以eq\f(5,3)(a＋c)＝1，所以eq\f(5,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,c)))(a＋c)＝eq\f(5,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋4＋\f(4a,c)＋\f(c,a)))≥eq\f(5,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(4a,c)·\f(c,a))))＝eq\f(5,3)×(5＋4)＝15，当且仅当eq\f(4a,c)＝eq\f(c,a)，即a＝eq\f(1,5)，c＝eq\f(2,5)时，等号成立．故eq\f(1,a)＋eq\f(4,c)的最小值为15.]10．(2022·浙江高考)现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝____，E(ξ)＝______.eq\f(16,35)eq\f(12,7)[由题意知P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4)＋C\o\al(2,2)C\o\al(1,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(16,35).由题意，ξ的所有可能取值为1,2,3,4，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(3,7))＝eq\f(15,35)＝eq\f(3,7)，P(ξ＝2)＝eq\f(16,35)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(3,35)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,35)，所以E(ξ)＝1×eq\f(3,7)＋2×eq\f(16,35)＋3×eq\f(3,35)＋4×eq\f(1,35)＝eq\f(60,35)＝eq\f(12,7).]四、解答题11．(15分)袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为eq\f(1,7)，现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量ξ的分布列．解：(1)设袋中原有n个白球，由题意知，eq\f(1,7)＝eq\f(C\o\al(2,n),C\o\al(2,7))＝eq\f(\f(nn－1,2),\f(7×6,2))＝eq\f(nn－1,7×6)，所以n(n－1)＝6，解得n＝3(n＝－2舍去)，即袋中原有3个白球．(2)由题意，ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5，P(ξ＝1)＝eq\f(3,7)，P(ξ＝2)＝eq\f(4×3,7×6)＝eq\f(2,7)，P(ξ＝3)＝eq\f(4×3×3,7×6×5)＝eq\f(6,35)，P(ξ＝4)＝eq\f(4×3×2×3,7×6×5×4)＝eq\f(3,35)，P(ξ＝5)＝eq\f(4×3×2×1×3,7×6×5×4×3)＝eq\f(1,35).所以，取球次数ξ的分布列为ξ12345Peq\f(3,7)eq\f(2,7)eq\f(6,35)eq\f(3,35)eq\f(1,35)12．(15分)(2025·烟台模拟)某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖