苏科版2025年新八年级数学暑假衔接讲义第1部分-复习-专题02幂的运算(学生版+解析)

/专题02幂的运算【考点1：】同底数幂的乘法【考点2：】幂的乘方与积的乘方【考点3：】同底数幂的除法一、同底数幂的乘法性质（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.二、幂的乘方（1）公式的推广：(，均为正整数)（2）逆用公式：，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.三、积的乘方（1）公式的推广：(为正整数).（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：四、同底数幂的除法（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.（5）底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.（6）是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）.五、科学记数法，考点剖析【考点1：】同底数幂的乘法1．若，，则的值是（

）A．10 B．7 C．5 D．32．若，则（

）．A．8 B．7 C．6 D．53．若，则的结果是．4．下表是n与（其中n为自然数）的部分对应值表：n510152025303532102432768104857633554432107374182434359738368根据表格提供的信息，计算的结果为．5．规定一种运算“※”：．(1)求的值；(2)若，求x的值．6．观察下列各式：，，，……(1)仔细观察：______；(2)探究规律：根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立；(3)实践应用：计算：；(4)深度思考：计算：．【考点2：】幂的乘方与积的乘方1．计算：=（

）A． B． C． D．2．计算的结果是（

）A． B． C． D．3．若，则．4．若，则的值.5．我们知道，一般的数学公式，法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：；；；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题．(1)已知，请把a，b，c用“”连接起来；(2)若，求的值；(3)化简：．6．若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：(1)如果，则_______；(2)如果，求的值；(3)如果，求的值．【考点3：】同底数幂的除法1．2024年3月25日鹊桥二号中继卫星顺利进入环月轨道飞行，其搭载的天线由精细的镀金钼丝编织而成，这些钼丝的直径仅为米，用科学记数法表示该钼丝的直径是（

）A．米 B．米 C．米 D．米2．如果，，那么a、b、c的大小关系为（

）A． B． C． D．3．若，则．4．小明学习了“第八章幂的运算”后做这样一道题：若，求x的值．他解出来的结果为，老师说小明考虑问题不全面，那么正确的结果应该是．5．计算：(1)；(2)．6．已知，；(1)当时，求a的值；(2)求的值．过关检测1．下列运算正确的是（

）A． B． C． D．2．某种芯片每个探针单元的面积为0.0000164cm²，数据0.0000164用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．3．已知，，则可以表示成（

）A． B． C． D．4．已知，则满足的关系是（

）A． B． C． D．5．新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（）A．18 B．24 C．36 D．636．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（

）A． B． C． D．7．若，，则．8．已知，则．9．，，则．10．已知正整数m、、、都是质数，并且，则.11．计算或化简(1)；(2)．12．（1）已知．①求和的值．②求的值．（2）若．请用含x的代数式表示y．13．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律：，的末尾数字是1，的末尾数字是1，的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题：(1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______；(2)求的末尾数字；(3)求证：能被5整除．

专题02幂的运算【考点1：】同底数幂的乘法【考点2：】幂的乘方与积的乘方【考点3：】同底数幂的除法一、同底数幂的乘法性质（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.二、幂的乘方（1）公式的推广：(，均为正整数)（2）逆用公式：，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.三、积的乘方（1）公式的推广：(为正整数).（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：四、同底数幂的除法（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.（5）底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.（6）是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）.五、科学记数法，考点剖析【考点1：】同底数幂的乘法1．若，，则的值是（

）A．10 B．7 C．5 D．3【答案】A【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，将变形为，代入数值计算即可，掌握同底数幂乘法的逆用是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，故选：A．2．若，则（

）．A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的应用等知识点，根据题意利用同底数幂乘法法则运算即可得解，熟练掌握同底数幂乘法法则是解决此题的关键．【详解】由题意知：，∴，∴，∴，∴，故选：D．3．若，则的结果是．【答案】16【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握知识点是解题的关键．先对方程变形得到，再根据同底数幂的乘法计算即可．【详解】解：由得：，∴，故答案为：16．4．下表是n与（其中n为自然数）的部分对应值表：n510152025303532102432768104857633554432107374182434359738368根据表格提供的信息，计算的结果为．【答案】【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，掌握其运算法则是解题的关键．根据表格信息分别找出对应的中的n的值，根据同底数幂的乘法运算法则即可求解．【详解】解：根据表格信息可得，，，∴，∵，∴，故答案为：．5．规定一种运算“※”：．(1)求的值；(2)若，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，有理数的混合运算；（1）根据所规定的运算进行作答即可；（2）根据所规定的运算进行作答即可．【详解】（1）原式；（2）∵，∴，∴，解得．6．观察下列各式：，，，……(1)仔细观察：______；(2)探究规律：根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立；(3)实践应用：计算：；(4)深度思考：计算：．【答案】(1)(2)，见解析(3)(4)【分析】本题考查了整式的规律探究，同底数幂的乘法．理解题意，推导一般性规律解题的关键．（1）由题意知，；（2）由题意知，第个等式为，然后利用同底数幂的乘法的逆运算求解证明即可；（3）由题意知，，则；（4）令，则，根据，计算求解，然后作答即可．【详解】（1）解：由题意知，，故答案为：；（2）解：由题意知，第个等式为，由题意知，；∴第个等式成立；（3）解：由题意知，，∴，∴；（4）解：令，则，∴，解得，，∴．【考点2：】幂的乘方与积的乘方1．计算：=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查积的乘方，掌握积的乘方等于积的每一个因式分别乘方，再把幂相乘是解题的关键．【详解】解：，故选D．2．计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了积的乘方及同底数幂的乘法，先算积的乘方，再算同底数幂相乘即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．【详解】解：，故选B．3．若，则．【答案】1【分析】本题考查了整式的运算，掌握幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则、一元一次方程的解法等知识点是解决本题的关键．先逆用幂的乘方法则把、9化为底数为3的幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则计算得方程，求解即可．【详解】解：，，即故答案为：1．4．若，则的值.【答案】2【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，掌握相关运算法则是解题关键．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：2.5．我们知道，一般的数学公式，法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：；；；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题．(1)已知，请把a，b，c用“”连接起来；(2)若，求的值；(3)化简：．【答案】(1)(2)200(3)【分析】本题主要考查了同底数幂乘方，幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则．（1）逆用幂的乘方公式，将幂变为指数相同的幂，然后比较大小即可；（2）逆用同底数幂和幂的乘方运算法则进行计算即可；（3）逆用积的乘方运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：∵∴（2）解：，∵，∴原式；（3）解：．6．若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：(1)如果，则_______；(2)如果，求的值；(3)如果，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（）根据（且，是正整数），则即可求解；（）根据幂的乘方法则计算即可；（）根据同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方法则计算即可；本题主要考查了同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形．【详解】（1）解：∵，∴，故答案为：；（2）∵，∴，∴，∴，解得：；（3）∵，∴，，∴，∴，解得：．【考点3：】同底数幂的除法1．2024年3月25日鹊桥二号中继卫星顺利进入环月轨道飞行，其搭载的天线由精细的镀金钼丝编织而成，这些钼丝的直径仅为米，用科学记数法表示该钼丝的直径是（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．【详解】解：用科学记数法表示该钼丝的直径是．故选：D．2．如果，，那么a、b、c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂的运算，先求出，，，然后进行大小比较即可．【详解】解：，，，∵，∴，故选：D．3．若，则．【答案】9【分析】本题考查求代数式的值，解题的关键是将已知式子两边化为同底数的幂．将已知式子两边化为同底数的幂，即可列出关于、的方程，从而求解．【详解】解：，，，故答案为：9．4．小明学习了“第八章幂的运算”后做这样一道题：若，求x的值．他解出来的结果为，老师说小明考虑问题不全面，那么正确的结果应该是．【答案】或或1．【分析】分别从底数等于1，底数等于且指数为偶数，指数等于0且底数不等于0去分析求解即可求得答案．此题考查了零指数幂的性质与有理数的乘方．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用．【详解】解：①的任何次幂为1，所以，．且，，；②的任何偶次幂也都是1，，且为偶数，，当时，是偶数，；③任何不是0的数的0次幂也是1，，，解的：，综上：或或1．故答案为：或或1．5．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查实数的混合运算，幂的混合运算，零指数幂和负整指数幂，掌握相关的运算法则是解题的关键．（1）先算乘方、零指数幂和负整指数幂，再算加减法；（2）先算同底数幂的乘法和除法、积的乘方，再合并同类项．【详解】（1）原式．（2）原式．6．已知，；(1)当时，求a的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了同底数幂的除法及其逆用、幂的乘方及其逆用，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键．（1）逆用同底数幂相除法则计算即可；（2）根据同底数幂的除法及其逆用、幂的乘方及其逆用，推出，把转化为，计算即可．【详解】（1）解：∵，，∴，又∵，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∴．过关检测1．下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项等计算，根据以上运算法则进行计算即可．【详解】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；

B.，故该选项不正确，不符合题意；

C.，故该选项不正确，不符合题意；

D.，故该选项正确，符合题意；故选：D．2．某种芯片每个探针单元的面积为0.0000164cm²，数据0.0000164用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：，故选：C．3．已知，，则可以表示成（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键．先逆用同底数幂的乘法和幂的乘方法则把变形，然后把，代入计算即可．【详解】解：∵，，∴．故选D．4．已知，则满足的关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查幂的乘方的逆用．将转化为，即可得出结果．【详解】解：∵，∴；故选A5．新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（）A．18 B．24 C．36 D．63【答案】D【分析】本题主要考查新定义运算，幂的乘方和积的乘方逆运算，根据新运算法则求出，再把变形为，再代入计算即可【详解】解：∵（均为正整数），∴∴∴，故选：D6．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可．【详解】因为，，，，因为，所以，所以，故即；同理可证所以，故选A．【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键．7．若，，则．【答案】20【分析】此题考查同底数幂的乘法，逆用同底数幂的乘法变形后代入计算即可．【详解】解：∵，，∴．故答案为：20．8．已知，则．【答案】【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握，，即可．【详解】∵，∴，∴，解得：，∴．故答案为：．9．，，则．【答案】/【分析】本题考查幂的乘方及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则以及整体代入思想是解题的关键．将变形为，利用同底数幂的乘法得，得出，将作为整体代入即可求解．【详解】解：∵，，∴，∴，∴，故答案为：．10．已知正整数m、、、都是质数，并且，则.【答案】793【分析】本题考查了幂的乘方，质数的意义；从是质数入手是解题的关键；质数中唯一的偶数是2，其余的质数都是奇数，根据两个奇数的和为偶数，则可断定中必为偶数，由此分析即可求解．【详解】因为m、n、都是质数，所以必为偶数，所以m、n至少有一个为2．当时，，不相等且都不是质数，矛盾；当时，，此时，符合题意，所以；当时，，不满足条件．综上，．11．计算或化简(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，零指数幂和负整数指数幂：（1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减法即可；（2）根据多项式除以单项式的计算法则求解即可．【详解】（1）解：；（2）解：．12．（1）已知．①求和的值．②求