苏科版2025年新九数学核心考点精讲精练第07讲运算方法课-二次根式综合提升(原卷版+解析)

/第7讲 运算方法课--二次根式综合提升知识梳理1、二次根式的概念：一般地，形如的式子叫做二次根式，叫做被开方数。2、最简二次根式的概念一般地，被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式。化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。3、二次根式的乘法与除法二次根式的乘法法则：：二次根式的除法法则：4、分母有理化（1）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式。如：与，和。（2）分母有理化的依据是：分式的基本性质；（3）分母有理化的方法是：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号。5、二次根式的加减法二次根式加减法法则：二次根式相加减，应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式分别合并。（二次根式的加减与整式的加减相类似。）6、二次根式的混合运算二次根式的运算顺序与实数的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最好算加减，有括号的先算括号里面的。多项式乘法法则和乘法公式对二次根式的运算同样适用。

01.二次根式的概念01.二次根式的概念例题精讲 例题精讲例1、使二次根式有意义的x的取值范围是（）x≠1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1例2、与最简二次根式是同类二次根式，则m=．例3、如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根．举一反三 举一反三把下列各式化为最简二次根式：（1）；（2）（a＞0，b＞0）02.二次根式的化简求值02.二次根式的化简求值例题精讲 例题精讲例1、先化简，再求值：，其中a=+1．例2.先化简，再求值：，其中a=+1．例3、已知实数x，y满足x2+y2﹣4x﹣2y+5=0，求的值．若x=2﹣，求（7+4）x2+（2+）x+的值．举一反三 举一反三已知a=，求的值．已知x=2+，y=2﹣，求的值．

化简求值：﹣，其中x=2，y=3．4．已知+=b+8．（1）求a的值；（2）求a2﹣b2的平方根．直击中考 直击中考化简求值：（），其中a=2+．计算：﹣（3﹣π）0﹣|﹣3+2|已知，且x为偶数，求的值．

课后巩固 课后巩固1.下列各组数中，互为相反数的是（）A．﹣2与 B．|﹣|与 C．与 D．与2．的绝对值是（）A． B． C． D．3．若二次根式有意义，则a的取值范围是（）A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≠24．已知x=﹣，y=+，则x﹣y的值为．5．若m2=100，||=1，则m+=．6．若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为．7．计算：（）2+|﹣3|﹣（π+）0．8．计算：3+（﹣2）3﹣（π﹣3）0．9．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图：比较a﹣b与a+b的大小；（2）化简|b﹣a|+|a+b|．

10．若最简二次根式和是同类二次根式，则ba=．11．化简求值：（）÷，其中x=．12．已知x=﹣1，y=+1，求代数式x2+xy+y2的值．/

第7讲运算方法课--二次根式综合提升知识梳理1、二次根式的概念：一般地，形如的式子叫做二次根式，叫做被开方数。2、最简二次根式的概念一般地，被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式。化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。3、二次根式的乘法与除法二次根式的乘法法则：：二次根式的除法法则：4、分母有理化（1）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式。如：与，和。（2）分母有理化的依据是：分式的基本性质；（3）分母有理化的方法是：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号。5、二次根式的加减法二次根式加减法法则：二次根式相加减，应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式分别合并。（二次根式的加减与整式的加减相类似。）6、二次根式的混合运算二次根式的运算顺序与实数的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最好算加减，有括号的先算括号里面的。多项式乘法法则和乘法公式对二次根式的运算同样适用。01.二次根式的概念01.二次根式的概念例题精讲 例题精讲例1、使二次根式有意义的x的取值范围是（）x≠1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1【解析】由题意得，x﹣1≥0，解得x≥1，故选：D．例2、与最简二次根式是同类二次根式，则m=1．【解析】∵=2，∴m+1=2，∴m=1．故答案为1．例3、如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根．【解析】∵是最简二次根式，∴a=1，2b﹣5=1，解得：a=1，b=3，∴==4，∴的平方根为±2．举一反三 举一反三把下列各式化为最简二次根式：（1）；（2）（a＞0，b＞0）【解析】（1）原式==4；（2）原式===（a+2b）．02.二次根式的化简求值02.二次根式的化简求值例题精讲 例题精讲例1、先化简，再求值：，其中a=+1．【解析】===，当时，原式==．例2.先化简，再求值：，其中a=+1．【解析】===，当时，原式==．例3、已知实数x，y满足x2+y2﹣4x﹣2y+5=0，求的值．【解析】∵x2+y2﹣4x﹣2y+5=0，∴x2﹣4x+4+y2﹣2y+1=0，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=0∴x﹣2=0或y﹣1=0，解得x=2，y=1，∴=====1．例4、若x=2﹣，求（7+4）x2+（2+）x+的值．【解析】∵x=2﹣，∴x2=7﹣4，∴（7+4）x2+（2+）x+，=（7+4）（7﹣4）+（2+）（2﹣）+，=72﹣（4）2+22﹣（）2+=49﹣48+4﹣3+=2+．举一反三 举一反三1．已知a=，求的值．【解答】解：∵a=，∴a﹣1＜0；∴原式==a﹣1+，当a=时，原式=﹣1+=．2．已知x=2+，y=2﹣，求的值．【解答】解：由已知，得x+y=2++2﹣=4，x﹣y=2+﹣2+=2，xy=（2+）（2﹣）=4﹣3=1，∴原式=．3．化简求值：﹣，其中x=2，y=3．【解答】解：原式=﹣=，当x=2，y=3时，原式=﹣5．4．已知+=b+8．（1）求a的值；（2）求a2﹣b2的平方根．【解答】解：根据题意得：，解得：a=17；（2）b+8=0，解得：b=﹣8．则a2﹣b2=172﹣（﹣8）2=225，则平方根是：±15．直击中考 直击中考1.化简求值：（），其中a=2+．【解析】原式=[+]•+=•+==，当a=2+时，原式=+1．2．计算：﹣（3﹣π）0﹣|﹣3+2|【解析】﹣（3﹣π）0﹣|﹣3+2|=2﹣1﹣1=0．3．已知，且x为偶数，求的值．【解析】由题意得，解得：6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8．原式=（1+x）=（x+1）=．∴当x=8时，原式=．课后巩固 课后巩固1.下列各组数中，互为相反数的是（）A．﹣2与 B．|﹣|与 C．与 D．与【解析】C．2．的绝对值是（）A． B． C． D．【解析】C．3．若二次根式有意义，则a的取值范围是（）A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≠2【解析】A∵a-2≥0∴a≥2已知x=﹣，y=+，则x﹣y的值为．【答案】﹣2若m2=100，||=1，则m+=．【答案】13或﹣7若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为．【答案】47．计算：（）2+|﹣3|﹣（π+）0．【解析】原式=5+3﹣1=7．8．计算：3+（﹣2）3﹣（π﹣3）0．【解析】原式=15﹣8﹣1=6．9．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图：（1）比较a﹣b与a+b的大小；（2）化简|b﹣a|+|a+b|．【解析】由图可知，a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，（1）∵（a﹣b）﹣（a+b）=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b＞0，∴a﹣b＞a+b；（2）因为b﹣a＜0，a+b＜0，所以|b﹣a|+|a+b|=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．10．若最简二次根式和是同类二次根式，则b