四川省达州市2025年中考数学真题试题及答案

四川省达州市2025年中考数学试题一、单项选择题（每小题4分，共40分）1．如果收入100元记作元，那么支出40元应记作（）A．元 B．元 C．元 D．元2．下图是大竹“东汉醪糟”包装盒组成的立体图形，其主视图为（）A． B．C． D．3．“悟空”号全海深是中国哈尔滨工程大学自主研发的无人无缆潜水器，具备在米深海自主作业的能力，数据用科学记数法表示为（）A． B． C． D．4．如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若，则的度数为（）A． B． C． D．5．下列各式运算结果为的是（）A． B． C． D．6．小明随机抽查爱民小区6户家庭月均用水情况，分别是：3，4，5，7，6，5（单位：），关于这组数据，下列说法正确的是（）A．众数是5 B．中位数是6 C．平均数是6 D．极差是37．《九章算术》中记载了这样一道题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为（）A． B．C． D．8．下列说法正确的是（）A．两点之间线段最短B．平行四边形是轴对称图形C．若有意义，则x的取值范围是全体实数D．三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分9．如图，在△ABC中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（）A．21 B．14 C．13 D．910．如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每小题4分，共20分）11．因式分解：m2+2m=12．已知关于的方程的一个根是，则的值为．13．如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是．14．化简：．15．定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是．三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）16．（1）计算：；（2）解不等式：并把解集表示在数轴上．17．项目调研项目主题阳光学校学生研学需求情况调查调查人员数学兴趣小组调查方法抽样调查调研内容阳光学校计划组织学生前往以下5个研学基地中的一个基地进行研学，5个研学基地分别为：A．张爱萍故居；B．王维舟纪念馆；C．万源保卫战纪念馆；D．广子村农业示范园；E．开江白宝塔．数学兴趣小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告（每位学生只能选1个研学基地）统计数据请阅读上述材料，解决下列问题：（1）请将条形统计图补充完整，意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是；（2）若该校共有2000名学生，请你估计全校参加A研学基地的学生人数；（3）甲同学从B，C，D三个基地中随机选择一个参加研学，乙同学从C，D两个基地中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求两位同学选择相同研学基地的概率．18．开启作角平分线的智慧之窗（1）问题：作的平分线作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线；讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是；对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②；对丙同学的作法陷入了沉思．（2）任务：①请你将上述讨论得出的依据补充完整；②完成对丙同学作法的验证．已知，求证：平分．19．如图，直线与双曲线交于点，点．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）点P在x轴上，，求点P的坐标．20．为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的处，工作人员所乘小船在处测得无人机的仰角为，当工作人员沿正前方向划行米到达处，测得无人机的仰角为，求无人机离湖面的高度（结果不取近似值）21．归纳与应用归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙：（1）尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质①；②；③．（2）实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3，，点D是的中点，，，试帮他判断四边形的形状，并证明你的结论．22．为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件；（2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；（3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？23．如图，在中，是弦，是的切线，，点，，分别是线段，，上的动点，连接，，．（1）试判断与的位置关系，并说明理由；（2）若，试求与半径的数量关系．24．如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M．（1）求抛物线的解析式；（2）连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F．①连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值；②连接，当点F在的内角平分线上，上的动点P满足的值最小时，求的面积．25．综合与实践问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系．（1）探究发现：如图1，在中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：；则．（2）实践应用：如图2，是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值．（3）拓展延伸：如图3，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值．

答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】B4．【答案】A5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】D8．【答案】A9．【答案】C10．【答案】D11．【答案】m（m+2）12．【答案】213．【答案】4π14．【答案】15．【答案】​​​​​​​16．【答案】（1）解：原式=1-1+2=2：（2）解：3(3x-1)≤2(2x+1)，

9x-3≤4x+2，9x-4x≤2+3，

5x≤5.解得：x≤1，∴原不等式的解为：x≤1.数轴表示为：17．【答案】（1）90°（2）解：(人)

答：估计全校参加A研学基地的学生人数为600人（3）解：列表如下：甲乙BCDCBCCCDCDBDCDDD共有6种等可能结果，其中两位同学选择相同研学基地的结果数有2种，∴两位同学选择相同研学基地的概率为18．【答案】（1）SSS；等腰三角形的三线合一（2）证明：∵∠AED=∠AOB，∴ED∥OB，∴∠EPO=∠BOP，∵EP=EO，∴∠EPO=∠EOP，∴∠BOP=∠EOP，∴OP平分∠AOB.19．【答案】（1）解：∵双曲线经过点A(2，2)，B(-4，a)，∴m=2×2=4=-4a，∴a=-1，∴B(-4，-1)，反比例函数解析式为：∵直线y=kx+b(k≠0)经过点A(2，2)，点B(-4，-1)，解得：∴一次函数解析式为：（2）解：∵点P在x轴上，∴点P的坐标为(3，0)或(-3，0).20．【答案】解：如图，过点C作于点D，依题意，

设在中，，

在中，，，

解得：，

无人机离湖面的高度为(米.21．【答案】（1）∠A+∠B=90°；a2+b2=c2；c＞a(c>b)（2）解：四边形ADBE是菱形，理由如下：∵BE∥AC，AE∥BD，∴四边形ADBE是平行四边形，∵∠ABC=90°，点D是AC的中点，

∴四边形ADBE是菱形.22．【答案】（1）（2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据题意可得：(40-30-x)(60+10x)=630，

解得：

∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元.（3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则)，当x=2时，W取最大值为640元，此时销售价为38元，故售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元.23．【答案】（1）解：PB是⊙O的切线，

理由如下：如图，连接OA，OB，∴OA=OB，

又∵PA=PB，OP=OP，

∴△OAP≌△OBP，

∴∠OAP=∠OBP，∵PA是⊙O的切线，

∴∠PAO=90°=∠OBP，

且OB为圆O的半径，

∴PB是⊙O的切线.（2）解：∵∠P=60°，PA=PB，∴△ABP是等边三角形，

∵∠DCE=60°，∴∠BCE+∠ACD=120°.∵∠ADC+∠ACD=120°，

∴∠ADC=∠BCE，

∴△ADC∽△BCE，如图，连接OA，OB，过点O作OF⊥AB于点F，则∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°，

∴∠OAF=90°-60°=30°.∴cos∠OAF==，

24．【答案】（1）解：把B的坐标(3，0)，C的坐标(0，3)代入抛物线的解析式。得解得：∴抛物线的解析式是（2）解：①令解得：∵B(3，0)，C(0，3)，∴OB=OC=3，∴△OBC是等腰直角三角形，∵EF∥BC，∴∠FEA=∠CBO=45°，∴当∠AFE=90°时，△AEF是等腰直角三角形，且∴△AEF的外接圆半径为AE长，R=1，即解得：∴抛物线的对称轴是直线x=1，顶点M的坐标是(1，4)，

∴直线与x轴的交点T的坐标是(1，0).作PQ⊥x轴于点Q，则在直角三角形BPQ中，，∴当M、P、Q三点共线时，即轴时，的值最小，

此时Q、T重合，当点F在的内角的平分线上，

即时，如图，

∵∠COA=∠COE=90°，CO=CO，∴△ACO≌△ECO，∴AO=EO=1，∴E、T重合，∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC的解析式是当时，∴点P的坐标是(1，2)，

当点F在的内角的平分线上时，如图，

作于点K，则设则CF=3-a，且解得：由于∴点F不可能在△AEC的内角∠AEC的平分线上；当点E，F重合于点O时，此时OF平分∠AEC即点F在∠AEC的平分线上，符合题意，则BE=BO=3，

综上：△BPE的面积为2或