第24章圆《探究四点共圆的条件》课件人教版九年级数学上册

第二十四章圆活动2探究四点共圆的条件第二十四章

数学活动

一、知识回顾问题1

过平面内任意一点能确定一个圆吗？两个点呢？A答：过一个点不能确定一个圆过两个点不能确定一个圆AB一、知识回顾ACABCABCB锐角三角形直角三角形钝角三角形答：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆问题2

过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆吗？问题3

过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ABCDABCD答：过任意一个四边形的四个顶点不一定能作一个圆有的四边形能作一个圆，有的四边形不能作一个圆.ABCD二、知识探究定义：如果四边形ABCD的四个顶点都在圆O上，则称A、B、C、D四点共圆问题4

猜想：一个四边形满足什么条件可以作一个圆？追问

如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，猜想其相对的两个内角之间有什么关系？ABCDABCDABCD二、知识探究猜想：对角互补的四边形，四个顶点共圆ABCD如图，在四边形ABCD中，若∠B+∠D=180º，证：A、B、C、D四点共圆ABCDE过A、B、C点作圆,延长AD与圆交于点E，连接CEABCD故假设不成立.猜想：“对角互补的四边形，四个顶点共圆”，你能证明这个猜想吗?反证法：假设A、B、C、D四点不共圆则至少有一个点不在圆上假设D点不在圆上

①若D点在圆内∴∠B+∠E=180°∵∠ADC>∠E∴∠B+∠ADC>180°这与已知条件∠B+∠ADC=180º矛盾，ABCD如图，在四边形ABCD中，若∠B+∠D=180º，证：A、B、C、D四点共圆ABCDE过A、B、C点作圆,延长AD与圆交于点E，连接CEABCDE故假设不成立，原结论正确，即A、B、C、D四点共圆猜想：“对角互补的四边形，四个顶点共圆”，你能证明这个猜想吗?反证法：假设A、B、C、D四点不共圆则至少有一个点不在圆上假设D点不在圆上②若D点在圆外∴∠B+∠AEC=180°∵∠D<∠AEC∴∠B+∠D<180°这与已知条件∠B+∠D=180º矛盾，ABCD如图，在四边形ABCD中，若∠B+∠D=180º，证：A、B、C、D四点共圆ABCDEABCDE猜想：“对角互补的四边形，四个顶点共圆”，你能证明这个猜想吗?判定1：对角互补的四边形，四个顶点共圆.符号语言：(如图3)∵∠B+∠D=180°∴

A、B、C、D四点共圆问题5

如图，E是CB延长线上的一点，且∠ABE=∠D，则A、B、C、D有怎样的关系？判定2：外角等于内对角的四边形，四个顶点共圆.ABCD二、知识探究符号语言：∵∠ABE=∠D∴

A、B、C、D四点共圆E解：∵∠ABE+∠ABC=180°

,∠ABE=∠D∴

∠ABC+∠D=180°

∴

A、B、C、D四点共圆ABCD问题6

如图，如果A和D在BC所在直线的同侧，且∠A=∠D，则A、B、C、D有怎样的关系？为什么？二、知识探究判定3：同弦同侧所对的两个角相等，则四个顶点共圆.符号语言：（如图3）∵∠A=∠D∴

A、B、C、D四点共圆ABCDABCDEE反证法不成立不成立问题7

如图，△ABC与△BDC都是直角三角形，O为BC的中点，证明：A、B、C、D四点共圆二、知识探究ABCD∴

A、B、C、D四点共圆O证明：∵△ABC与△BDC都是直角三角形，

O为BC的中点∴

OA=OB=OC=OD∴

OA=BC,OD=BC判定4：若四个点到一个定点的距离相等，则四个点共圆.符号语言：∵

OA=OB=OC=OD∴

A、B、C、D四点共圆例1如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝70°，

求∠CAD的度数三、知识应用ABCD解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°∴

∠ABC+∠ADC＝180°∴

A、B、C、D四点共圆∴∠ABD＝∠ACD＝70°∴∠CAD＝90°－∠ACD＝90°－70°=20°？70°70°三、知识应用例2如图，OC为∠DOB的平分线，且∠CAD=∠CBO,求证：AC=BCAOBCD证：∵∠CAD=∠CBO∴

A、O、B、C四点共圆∵OC为∠DOB的平分线∴∠AOC=∠BOC∴

AC=BC？？例3如图，在凸五边形ABCDE中，∠ABC=∠ADE

,

∠AEC=∠ADB,

求证：

∠BAC=∠DAECBAFED？？∵∠AEC=∠ADB∴

A、E、D、F四点共圆∴∠AFE=∠ADE∵∠ABC=∠ADE∴∠AFE=∠ABC∴A、F、C、B四点共圆∴∠BAC=∠BFC=∠EFD=∠DAE三、知识应用证：连接AF猜想验证归纳操作3.在数学活动中要勇于探究，大胆猜想，学会和同学合作交流，分享成

功的喜悦.4.掌握思考数学问题的方法，并能合理利用，去解决生活中的问题.1.通过本节课的活动，你学习了哪些内容？2.数学探究活动的一般步骤：四、知识总结如图，正方形ABCD中，BD为对角线，点E为BD上一点，过E作EF⊥AE，交DC于F，求证：AE=FE45045