2024-2025学年下学期高二数学人教A版期末必刷常考题之正态分布

第22页（共22页）2024-2025学年下学期高二数学人教A版（2019）期末必刷常考题之正态分布一．选择题（共7小题）1．（2025•福建模拟）2024年国家公务员考试笔试已于2023年11月25日结束，公共科目包括行政职业能力测验和申论两科，满分均为100分，行政职业能力测验中，考生成绩X服从正态分布N（75，σ2），若P(60≤X≤90)=35A．9125 B．13125 C．44125 2．（2025•滨州二模）若随机变量X～N（3，σ2），且P（X≤a）＝P（X≥b），则a2+b2的最小值为（）A．18 B．182 C．24 D．3．（2025春•邢台期中）已知随机变量X服从正态分布N（6，σ2），且P（X＞3）＝0.88，则P（6＜X≤9）＝（）A．0.24 B．0.38 C．0.12 D．0.444．（2025•遵义三模）已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＞2）＝0.7，则P（3＜X＜4）＝（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.45．（2025春•沈阳期中）如果X服从二项分布B（n，p），当np＞10且n（1﹣p）＞10时，可以近似的认为X服从正态分布N（μ，σ2），据统计高中学生的近视率p＝0.6，某校有600名高中学生．设X为该校高中学生近视人数，且X服从正态分布N（μ，σ2），下列说法正确的是（）（参考数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.682，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545）A．变量X服从正态分布N（360，12） B．E（2X+1）＝720 C．P（X＜384）＝P（X＞348） D．P（X＜384）≈0.97736．（2025•山东模拟）已知随机变量ξ～N(0，2a)，为使ξ在(-12，12)内的概率不小于0.9545（若X～N（μ，σ2A．8 B．16 C．32 D．647．（2025•山东模拟）已知随机变量ξ：N～（1，σ2），且P（ξ≤0）＝P（ξ≥a），则1x+A．9 B．8 C．92 D．二．多选题（共3小题）（多选）8．（2025•湖南一模）下列说法正确的是（）A．数据1，2，3，5，8，9的中位数小于平均数 B．数据0，0.2，0.3，0.7，0.8，1的标准差大于方差 C．在相关分析中，样本相关系数r越小，线性相关程度越弱 D．已知随机变量X服从正态分布N（4，σ2）且P（X≤6）＝0.85，则P（2＜X≤4）＝0.35（多选）9．（2025•河北模拟）某汽车4S店在周末举行新车发布会，并向所有到场的观众发放了一份相关的问卷．该发布会结束后，共收回问卷300份．据统计，这300份问卷的得分X（满分为100分）近似服从正态分布N（82，36），下列说法正确的是（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.683，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.954，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.997．A．这300份问卷得分数据的期望是82，标准差是36 B．这300份问卷中得分超过88分的约有48份 C．P（70＜X＜76）＝P（88＜X＜94） D．若在其他4S店举行该发布会并发放问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布N（82，36）（多选）10．（2025•点军区校级模拟）若小明坐公交上班的用时X（单位：分钟）和骑自行车上班的用时Y（单位：分钟）分别满足X～N（30，62），Y～N（34，22），且同一坐标系中X的密度曲线与Y的密度曲线在t＝38分钟时相交，则下列说法正确的是（）A．P（X＞38）＜P（Y＞38） B．P（24≤X≤36）＝P（32≤Y≤36） C．若X的密度曲线与Y的密度曲线相交所对应的另一个时间为t1，则t1＜30 D．若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交三．填空题（共3小题）11．（2025春•龙岗区校级期中）已知随机变量X服从正态分布N（10，22），则D（3X﹣1）＝．12．（2025春•皇姑区校级期中）对一个物理量做n次测量，最后结果的误差ϵn∼N(0，2n)，为使误差ϵn在（﹣0.75，0.75）的概率不小于（若X∼N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|＜3σ）＝0.9973）13．（2025春•辽宁期中）已知某种零件的尺寸（单位：mm）在[83.8，86.2]内的为合格品，某企业生产的该种零件的尺寸X服从正态分布N（85，σ2），且P（X＜83.8）＝0.1，则估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为．四．解答题（共2小题）14．（2025春•三明期中）小张每周都去同一家商店购买一箱苹果，该商店的售货员说出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克．根据售货员的表述转化为数学理想模型是该商店所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布．（1）若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），从ξ的所有取值中随机抽取n（n∈Z*，n≥2）个数据，记这n个数据的平均值为X，则随机变量X服从正态分布N(（i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为Y，求P（Y≤4940）．（ii）若小张每周都会将从该商店买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在（4900，5100）内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克．小张举报了该商店，从概率的角度说明小张举报该商店的理由．（2）若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在（4900，5200）内的箱数为Z，求Z的方差．（结果保留两位小数）附：①若随机变量η服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜η≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜η≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜η≤μ+3σ）≈0.9973；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．③参考数据：1-0.68272=0.1587，1-0.95452=0.02275，1-0.99732=0.00135，0.6827×0.3173≈0.2166，15．（2025春•辽宁月考）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据X，如表：性能指标X6677808896产品件数102048193（1）求该项性能指标的样本平均数x的值，若这批零件的该项指标X近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x的值，σ2＝36，试求P（74≤X≤92）的值；（2）若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件．（i）求这件零件是次品的概率；（ii）若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣a≤ξ≤μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.954，P（μ﹣3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.997．

2024-2025学年下学期高二数学人教A版（2019）期末必刷常考题之正态分布参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）题号1234567答案BABBDCB二．多选题（共3小题）题号8910答案ABDBCBD一．选择题（共7小题）1．（2025•福建模拟）2024年国家公务员考试笔试已于2023年11月25日结束，公共科目包括行政职业能力测验和申论两科，满分均为100分，行政职业能力测验中，考生成绩X服从正态分布N（75，σ2），若P(60≤X≤90)=35A．9125 B．13125 C．44125 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】根据正态分布的概率公式和二项分布的概率公式即可求解．【解答】解：因为考生成绩服从正态分布N（75，σ2），所以P(所以任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为P=故选：B．【点评】本题考查正态分布和二项分布的概率求解，属于基础题．2．（2025•滨州二模）若随机变量X～N（3，σ2），且P（X≤a）＝P（X≥b），则a2+b2的最小值为（）A．18 B．182 C．24 D．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】A【分析】由正态分布的对称性可得a，b的等量关系，等量代换整理二次函数，可得答案．【解答】解：若随机变量X～N（3，σ2），且P（X≤a）＝P（X≥b），由题意可得a+b2=3，则b＝所以a2+b2＝a2+（6﹣a）2＝2a2﹣12a+36＝2（a﹣3）2+18，易知当a＝3时，a2+b2的最小值为18．故选：A．【点评】本题考查正态分布相关知识，属于中档题．3．（2025春•邢台期中）已知随机变量X服从正态分布N（6，σ2），且P（X＞3）＝0.88，则P（6＜X≤9）＝（）A．0.24 B．0.38 C．0.12 D．0.44【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】根据正态分布曲线的对称性相关知识可解．【解答】解：已知随机变量X服从正态分布N（6，σ2），则该曲线的对称轴为μ＝6，又P（X＞3）＝0.88，则P（6＜X≤9）＝P（3≤X＜6）＝0.88﹣0.5＝0.38．故选：B．【点评】本题考查正态分布曲线的对称性，属于中档题．4．（2025•遵义三模）已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＞2）＝0.7，则P（3＜X＜4）＝（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．【解答】解：∵x～N（3，σ2），∴P（x≥3）＝0.5，∴P（x＞2）＝P（2＜x＜3）+P（x≥3）＝0.7，∴P（2＜x＜3）＝0.2，∴P（3＜x＜4）＝P（2＜x＜3）＝0.2．故选：B．【点评】本题主要考了正态分布曲线的对称性，属于基础题．5．（2025春•沈阳期中）如果X服从二项分布B（n，p），当np＞10且n（1﹣p）＞10时，可以近似的认为X服从正态分布N（μ，σ2），据统计高中学生的近视率p＝0.6，某校有600名高中学生．设X为该校高中学生近视人数，且X服从正态分布N（μ，σ2），下列说法正确的是（）（参考数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.682，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545）A．变量X服从正态分布N（360，12） B．E（2X+1）＝720 C．P（X＜384）＝P（X＞348） D．P（X＜384）≈0.9773【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】由题意可知，E（X）＝600×0.6＝360，D（X）＝600×0.6×（1﹣0.6）＝144，所以变量X服从正态分布N（360，144），再利用正态分布曲线的对称性求解．【解答】解：由题意可知，E（X）＝600×0.6＝360，D（X）＝600×0.6×（1﹣0.6）＝144，所以变量X服从正态分布N（360，144），故A错误；E（2X+1）＝2E（X）+1＝2×360+1＝721，故B错误；因为X～N（360，144），而384+3482≠所以P（X＜384）≠P（X＞348），故C错误；P（X＜384）＝P（X＜360+24）＝P（X＜360+2×12）≈0.5+0.95452=0.97725≈0.9773故选：D．【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．6．（2025•山东模拟）已知随机变量ξ～N(0，2a)，为使ξ在(-12，12)内的概率不小于0.9545（若X～N（μ，σ2A．8 B．16 C．32 D．64【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】由题意得P(-2【解答】解：因为X～N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.9545，随机变量ξ～N(0，2为使ξ在(-12，12)内的概率不小于即a的最小值为32．故选：C．【点评】本题主要考查正态分布曲线的性质应用，属于基础题．7．（2025•山东模拟）已知随机变量ξ：N～（1，σ2），且P（ξ≤0）＝P（ξ≥a），则1xA．9 B．8 C．92 D．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】由正态曲线的对称轴得出a＝2，再结合基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：随机变量ξ～N（1，σ2），则正态分布的曲线的对称轴为ξ＝1，∵P（ξ≤0）＝P（ξ≥a），∴0+a＝2，解得a＝2，当0＜x＜2时，1x+92-x=(1故选：B．【点评】本题主要考查正态分布的对称性，以及基本不等式的公式，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）8．（2025•湖南一模）下列说法正确的是（）A．数据1，2，3，5，8，9的中位数小于平均数 B．数据0，0.2，0.3，0.7，0.8，1的标准差大于方差 C．在相关分析中，样本相关系数r越小，线性相关程度越弱 D．已知随机变量X服从正态分布N（4，σ2）且P（X≤6）＝0.85，则P（2＜X≤4）＝0.35【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；中位数；标准差；样本相关系数．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】ABD【分析】对于A：求数据中位数和平均数即可得；对于B：求数据方差和标准差即可判断；对于C：根据相关系数的性质分析判断；对于D：根据正态分布的对称性分析判断．【解答】解：对于A：数据1，2，3，5，8，9的平均数为1+2+3+5+8+96=14故中位数小于平均数，故A正确；对于B：数据0，0.2，0.3，0.7，0.8，1的平均数为x=则方差为s2则标准差s＞s2，即标准差大于方差，故B正确；对于C：样本相关系数r的绝对值越小，线性相关程度越弱，故C错误；对于D：因为随机变量X服从正态分布N（4，σ2）且P（X≤6）＝0.85，所以P（2＜X≤4）＝P（4＜X≤6）＝P（X≤6）﹣P（X≤4）＝0.85﹣0.5＝0.35，故D正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查中位数，平均数，方差的计算，考查计算能力，属于基础题．（多选）9．（2025•河北模拟）某汽车4S店在周末举行新车发布会，并向所有到场的观众发放了一份相关的问卷．该发布会结束后，共收回问卷300份．据统计，这300份问卷的得分X（满分为100分）近似服从正态分布N（82，36），下列说法正确的是（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.683，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.954，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.997．A．这300份问卷得分数据的期望是82，标准差是36 B．这300份问卷中得分超过88分的约有48份 C．P（70＜X＜76）＝P（88＜X＜94） D．若在其他4S店举行该发布会并发放问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布N（82，36）【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】BC【分析】根据正态分布可得期望和方差，利用参考数据及对称性可判断其它选项．【解答】解：由题意知，数据的期望是μ＝82，方差是σ2＝36，标准差是σ＝6，所以A错误；由P(X＞88)=1-0.6832=0.1585，可得300×0.1585≈48由数据的期望是μ＝82，方差是σ2＝36，C正确；由同一份问卷发放到不同4S店，得到的数据不一定相同，所以D错误．故选：BC．【点评】本题主要考查正态分布的性质应用，考查计算能力，属于基础题．（多选）10．（2025•点军区校级模拟）若小明坐公交上班的用时X（单位：分钟）和骑自行车上班的用时Y（单位：分钟）分别满足X～N（30，62），Y～N（34，22），且同一坐标系中X的密度曲线与Y的密度曲线在t＝38分钟时相交，则下列说法正确的是（）A．P（X＞38）＜P（Y＞38） B．P（24≤X≤36）＝P（32≤Y≤36） C．若X的密度曲线与Y的密度曲线相交所对应的另一个时间为t1，则t1＜30 D．若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】BD【分析】利用正态分布密度曲线的性质及3σ原则、密度函数解析式一一分析选项即可．【解答】解：小明坐公交上班的用时X（单位：分钟）和骑自行车上班的用时Y（单位：分钟）分别满足X～N（30，62），Y～N（34，22），则坐公交的方差比骑自行车的方差大，即X的密度曲线较矮胖，Y的密度曲线更瘦高，则X的密度曲线在38分钟后在Y的密度曲线的上方，可在同一坐标系中作出密度曲线，易知P（X＞38）＞P（Y＞38），故A错误；由3σ原则可知P（30﹣6≤X≤30+6）＝P（34﹣2≤Y≤34+2），故B正确；根据条件可知两种方式相应密度函数分别为：f(g(x)=整理可得8x2﹣552x+9×342﹣302＝72ln3，则t1+38=552易知P（X≤34）＞0.5＝P（Y≤34），故D正确．故选：BD．【点评】本题考查正态分布曲线相关知识，属于中档题．三．填空题（共3小题）11．（2025春•龙岗区校级期中）已知随机变量X服从正态分布N（10，22），则D（3X﹣1）＝36．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】36．【分析】由方差的性质直接求解即可．【解答】解：因为随机变量X服从正态分布N（10，22），则该正态分布曲线为μ＝10，σ＝2，D（X）＝22＝4，所以D（3X﹣1）＝32D（X）＝9×4＝36．故答案为：36．【点评】本题考查正态分布以及方差相关知识，属于中档题．12．（2025春•皇姑区校级期中）对一个物理量做n次测量，最后结果的误差ϵn∼N(0，2n)，为使误差ϵn在（﹣0.75，0.75）的概率不小于（若X∼N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|＜3σ）＝0.9973）【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】32．【分析】因为误差ϵn∼N(0，2n)，所以μ＝0，σ=【解答】解：因为误差ϵn∼N(0，2n因为误差ϵn在（﹣0.75，0.75）的概率不小于0.9973，而P（|X﹣μ|＜3σ）＝0.9973，所以0.75≥μ+3σ，即0.75≥32n解得n≥32，即至少要测量32次．故答案为：32．【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．13．（2025春•辽宁期中）已知某种零件的尺寸（单位：mm）在[83.8，86.2]内的为合格品，某企业生产的该种零件的尺寸X服从正态分布N（85，σ2），且P（X＜83.8）＝0.1，则估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为1600．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】1600．【分析】根据题意利用正态分布的对称性求零件合格的概率，进而可得结果．【解答】解：因为X服从正态分布N（85，σ2），且P（X＜83.8）＝0.1，所以该企业生产的该种零件合格的概率P（83.8≤X≤86.2）＝1﹣2P（X＜83.8）＝1﹣2×0.1＝0.8，所以估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为0.8×2000＝1600．故答案为：1600．【点评】本题考查正态分布相关知识，属于中档题．四．解答题（共2小题）14．（2025春•三明期中）小张每周都去同一家商店购买一箱苹果，该商店的售货员说出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克．根据售货员的表述转化为数学理想模型是该商店所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布．（1）若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），从ξ的所有取值中随机抽取n（n∈Z*，n≥2）个数据，记这n个数据的平均值为X，则随机变量X服从正态分布N(（i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为Y，求P（Y≤4940）．（ii）若小张每周都会将从该商店买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在（4900，5100）内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克．小张举报了该商店，从概率的角度说明小张举报该商店的理由．（2）若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在（4900，5200）内的箱数为Z，求Z的方差．（结果保留两位小数）附：①若随机变量η服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜η≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜η≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜η≤μ+3σ）≈0.9973；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．③参考数据：1-0.68272=0.1587，1-0.95452=0.02275，1-0.99732=0.00135，0.6827×0.3173≈0.2166，【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）（i）0.00135；（ii）见解析；（2）14.85．【分析】（1）（i）利用正态分布曲线相关知识可解；（ii）利用正态分布曲线以及概率相关知识可解；（2）利用方差相关知识可解．【解答】解：（1）若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），从ξ的所有取值中随机抽取n（n∈Z*，n≥2）个数据，记这n个数据的平均值为X，（i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为Y，依题意得，100225=400=202，所以Y∼N设μ＝5000，σ1＝20，因为P（μ﹣3σ1＜Y≤μ+3σ1）≈0.9973，则P（Y≤4940）＝P（Y≤5000﹣3×20）＝P（Y≤μ﹣3σ1）≈1﹣0.9973＝0.00135；（ii）由（i）得P（Y≤4940）≈0.00135．因为小张计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克，4938.77＜4940，0.00135＜0.05，所以小张购买的这25箱苹果质量的平均值为4938.77克属于小概率事件，小概率事件基本不会发生，这就是小张举报该超市的理由．（2）若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在（4900，5200）内的箱数为Z，设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为K，则K∼N（5000，1002）．设μ＝5000，σ＝100，由4900＝5000﹣100，5200＝5000+2×100，得P（4900＜K＜5200）＝P（5000﹣100＜K＜5000+200）=P根据题意得随机变量Z∼B（100，0.8186），故D（Z）＝100×0.8186×（1﹣0.8186）≈14.85．【点评】本题考查正态分布相关知识以及随机变量的方差相关知识，属于中档题．15．（2025春•辽宁月考）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据X，如表：性能指标X6677808896产品件数102048193（1）求该项性能指标的样本平均数x的值，若这批零件的该项指标X近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x的值，σ2＝36，试求P（74≤X≤92）的值；（2）若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件．（i）求这件零件是次品的概率；（ii）若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣a≤ξ≤μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.954，P（μ﹣3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.997．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；全概率公式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）80，0.8185；（2）（i）160，（ii）4【分析】（1）计算出平均数后可得X∼N（80，σ2），结合正态分布的性质计算即可得解；（2）（i）借助全概率公式计算即可得；（ii）由贝叶斯公式计算即可．【解答】解：（1）根据题意，由表中的数据，x=1100（66×10+77×20+80×48+88×19+96×3因为X∼N（80，σ2），σ2＝36，则σ＝6，则P(74（2）设“抽取的零件是甲机床生产”记为事件A1；“抽取的零件是乙机床生产”记为事件A2；“抽取的零件是次品”记为事件B，则P(A1)=23，P(A2)=13，P（B|A1（i）则P(（ii）P(【点评】本题考查概率的应用，涉及条件概率、贝叶斯公式的应用，属于基础题．

考点卡片1．全概率公式【知识点的认识】全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）=i2．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【知识点的认识】1．正态曲线及性质（1）正态曲线的定义函数φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中实数（2）正态曲线的解析式①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．④解析式前面有一个系数为12πσ，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂2．正态分布（1）正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ（x）=12πσe（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；（3）曲线在x＝μ处达到峰值12（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．【解题方法点拨】正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．【命题方向】题型一：概率密度曲线基础考察典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）=18πA．10与8B．10与2C．8与10D．2与10解析：由18πe-(x-10)答案：B．典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，则P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣12P（2≤X≤4）＝0.5-12×0.6826＝题型二：正态曲线的性质典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为14（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．解（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由12πσ=1φμ，σ（x）=142πe-（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．典例2：设两个正态分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0）的密度函数A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．答案：A．题型三：服从正态分布的概率计算典例1：设X～N（1，22），试求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），∴P（3＜X≤5）=12[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3=12[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2=12[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ=12×（0.9544＝0.1359．（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），∴P（X≥5）=12[1﹣P（﹣3＜X≤5=12[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4=12[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ=12×（1﹣0.9544求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．典例2：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝．解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．答案：0.7．题型4：正态分布的应用典例1：2011年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个