2024-2025学年下学期高二数学人教A版期末必刷常考题之一元函数的导数及其应用

第32页（共32页）2024-2025学年下学期高二数学人教A版（2019）期末必刷常考题之一元函数的导数及其应用一．选择题（共7小题）1．（2025•十堰模拟）已知sin5α+5cosα＞cos5α+5sinα，α∈[0，2π），则α的取值范围为（）A．[0，π2)∪(5C．[0，π4)∪(2．（2025•湘潭模拟）设函数f(x)=xlnx2x-3的两个极值点分别为x1，x2．则过（x1，f（x1）），（A．13 B．23 C．34 3．（2025•福建模拟）已知函数f(A．函数f（x）的最小正周期为π B．函数f（x）关于点(-πC．函数y＝f（x）的图像向左平移π6个单位，得到的函数图像关于y轴对称D．函数g（x）＝f（x）﹣ax在(π12，2π34．（2025•安顺模拟）设函数f（x）＝（x﹣a）（lnx﹣b），若f（x）≥0，则ab的最小值为（）A．-1e B．﹣e C．1e 5．（2025•蕲春县校级二模）已知实数a＜b＜c，且a+A．a＜0 B．3＜C．c2+12＞8c D．（b﹣5）（c﹣5）的最小值是156．（2025•宁德三模）曲线C：y=x+1ex在点P（x0，yA．[0，ln2] B．[0，ln2]∪[ln4，3] C．[ln2，ln4] D．[0，ln2]∪[ln4，+∞）7．（2025春•龙岗区校级期中）定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），满足xf'（x）+f（x）＞0，则不等式x2f（x2）﹣f（1）＜0的解集为（）A．（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，1） D．（﹣1，+∞）二．多选题（共3小题）（多选）8．（2025•罗湖区校级模拟）已知函数f（x）＝x2+2lnx的图象在A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））两个不同点处的切线相互平行，则x1+x2的取值可以为（）A．103 B．52 C．2 D（多选）9．（2025•宁德三模）设函数f(A．当a＝1时，f（x）没有零点 B．当a＜0时，f（x）在区间（0，+∞）上不存在极值 C．存在实数a，使得曲线y=fD．存在实数a，使得曲线y=（多选）10．（2025春•深圳校级期中）如图，这是函数f（x）的导函数的图象，则（）A．f（x）在x＝2处取得极大值 B．x＝4是f（x）的极小值点 C．f（x）在（2，4）上单调递减 D．f（3）是f（x）的极小值三．填空题（共3小题）11．（2025•山东模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足sin(a3-π4)+3a3+12．（2025•太原模拟）若函数f（x）＝x3+a（x2﹣x+1）在区间(12，3)单调递增，则a的取值范围是13．（2025春•深圳校级期中）已知函数f（x）的定义域为R，f（1）＝﹣2，对任意x∈R，f′（x）＞3恒成立，则f（x）＞3x﹣5的解集为．四．解答题（共2小题）14．（2025•福建模拟）已知函数f(（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＜0时f（x）≤b﹣ln（﹣a）﹣a恒成立，求实数b的最小值．15．（2025•蕲春县校级二模）已知函数f(x)=xe（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a的值；（2）当a＞0时，设f（x）的极大值为g（a），求证：g(

2024-2025学年下学期高二数学人教A版（2019）期末必刷常考题之一元函数的导数及其应用参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）题号1234567答案CADADDC二．多选题（共3小题）题号8910答案ABABCABC一．选择题（共7小题）1．（2025•十堰模拟）已知sin5α+5cosα＞cos5α+5sinα，α∈[0，2π），则α的取值范围为（）A．[0，π2)∪(5C．[0，π4)∪(【考点】利用导数研究函数的单调性；三角不等式；三角函数中的恒等变换应用．【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】C【分析】运用导数研究函数的单调性，证出F（x）＝x5﹣5x在区间[﹣1，1]上是减函数，从而将题中不等式转化为sinα＜cosα，结合α∈[0，2π），运用正余弦函数的性质算出本题的答案．【解答】解：不等式sin5α+5cosα＞cos5α+5sinα等价于sin5α﹣5sinα＞cos5α﹣5cosα，设函数F（x）＝x5﹣5x，则原不等式等价于F（sinα）＞F（cosα）．对F（x）求导数，可得F′（x）＝5x4﹣5＝5（x2+1）（x+1）（x﹣1），当﹣1≤x≤1时，F′（x）≤0，可知F（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，若F（sinα）＞F（cosα），结合sinα、cosα∈[﹣1，1]，可知sinα＜cosα，因为α∈[0，2π），结合正弦函数与余弦函数的性质，可知0≤α＜π4或5π4＜所以α的取值范围为[0，π4）∪（5π4，故选：C．【点评】本题主要考查运用导数研究函数的单调性、正弦函数与余弦函数的性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．2．（2025•湘潭模拟）设函数f(x)=xlnx2x-3的两个极值点分别为x1，x2．则过（x1，f（x1）），（A．13 B．23 C．34 【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】对应思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】A【分析】对函数求导，得到lnx1=13(2x1-3)，ln【解答】解；因为f(x)=xlnx2则f'又函数f(x)=xlnx2x-所以x1，x2满足2x1﹣3lnx1﹣3＝0，2x2﹣3lnx2﹣3＝0，也即lnx1=而f(同理f（x2）=1故过（x1，f（x1）），（x2，f（x2））两点的直线斜率k=故选：A．【点评】本题考查了导数的综合应用，直线的斜率，属于中档题．3．（2025•福建模拟）已知函数f(A．函数f（x）的最小正周期为π B．函数f（x）关于点(-πC．函数y＝f（x）的图像向左平移π6个单位，得到的函数图像关于y轴对称D．函数g（x）＝f（x）﹣ax在(π12，2π3【考点】由函数的单调性求解函数或参数（导数法）；三角函数的周期性；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．【答案】D【分析】对f（x）解析式进行化简，得到f（x）＝2sin（2x+π6）+1，由三角函数的性质可判断ABC，对于D，题意等价于g'（x）＝4cos（2x+π6）﹣a＝0在【解答】解：由已知，f(x)=23sinxcosx+2cos2x=3sin2x对于A，f（x）的最小正周期为T=2π2=对于B，x=-π12时，2x+π6=0，f（-π12）＝1，所以函数对于C，函数y＝f（x）的图像向左平移π6个单位，得到φ（x）＝f（x+π6）＝2sin[2（x+π6）+πφ（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故C正确；对于D，函数g（x）＝f（x）﹣ax在(π12，2π3)上不单调，即g'（x）＝4cos（2x+即a＝4cos（2x+π6）在因为h（x）＝4cos（2x+π6）在(π12，5π12)上递减，在(5π12，2π3)上递增，h所以当a∈（﹣4，2）时，a＝4cos（2x+π6）在(π12，2π故选：D．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质、由函数单调性求参数取值范围，属于中档题．4．（2025•安顺模拟）设函数f（x）＝（x﹣a）（lnx﹣b），若f（x）≥0，则ab的最小值为（）A．-1e B．﹣e C．1e 【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；定义法；导数的综合应用；逻辑思维．【答案】A【分析】先分析函数g（x）＝x﹣a，h（x）＝lnx﹣b的正负性，进而得出a＝eb，再构造函数φ（x）＝xex，研究其最小值即可．【解答】解：令函数g（x）＝x﹣a，函数h（x）＝lnx﹣b，那么函数f（x）＝g（x）h（x），当x∈（0，eb）时，h（x）＜0；当x∈（eb，+∞）时，h（x）＞0；当x∈（﹣∞，a）时，g（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，g（x）＞0，根据函数f（x）≥0，知a＝eb，因此ab＝beb，b∈R，令函数φ（x）＝xex，那么导函数φ′（x）＝（x+1）ex，那么φ′（x）＜0，得x＜﹣1；导函数φ′（x）＞0，得x＞﹣1，则φ（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在当（﹣1，+∞）上单调递增，所以φ(x)min=故选：A．【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．5．（2025•蕲春县校级二模）已知实数a＜b＜c，且a+A．a＜0 B．3＜C．c2+12＞8c D．（b﹣5）（c﹣5）的最小值是15【考点】利用导数研究函数的单调性；等式与不等式的性质．【专题】整体思想；函数的性质及应用；导数的综合应用；运算求解．【答案】D【分析】由a＜b＜c，且a+b+c=6a#160;b+b#160;c+c#160;a=9，构造函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣【解答】解：因a＜b＜c，且a+构造函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）＝x3﹣6x2+9x﹣abc，则f′（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3），由f′（x）＞0可得x＞3或x＜1，由f′（x）＜0可得1＜x＜3，所以f（x）在（﹣∞，1）和（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减，因为a、b、c为函数y＝f（x）的三个零点，a＜b＜c．所以f（x）极小值＝f（3）＜0，f（x）极大值＝f（1）＞0，因为f（0）＝f（3）＜0，f（1）＝f（4）＞0，所以由零点存在定理可得0＜a＜1，1＜b＜3，3＜c＜4，故AB错误；当3＜c＜4时，c2﹣8c+12＝（c﹣2）（c﹣6）可正可负数，C错误；由条件可得b+c＝6﹣a，bc＝9﹣a（6﹣a）＝（a﹣3）2，所以（b﹣5）（c﹣5）＝bc﹣5（b+c）+25＝（a﹣3）2﹣5（6﹣a）+25＝a2﹣a+4，a∈（0，1）所以当a=12时（b﹣5）（c﹣5）取得最小值15故选：D．【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，函数性质的应用，属于中档题．6．（2025•宁德三模）曲线C：y=x+1ex在点P（x0，yA．[0，ln2] B．[0，ln2]∪[ln4，3] C．[ln2，ln4] D．[0，ln2]∪[ln4，+∞）【考点】利用导数求解函数的最值．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】D【分析】转化为函数在x0处的导数值-x0ex0在[-ln【解答】解：由题意，y'因为曲线C：y=x+1ex在点P（x所以-ln22令g(x)=xex，g'(x)=当x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，又g(ln2)=g(ln4)=ln22，故ln22≥x0ex0≥0的解集为[0，故选：D．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．7．（2025春•龙岗区校级期中）定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），满足xf'（x）+f（x）＞0，则不等式x2f（x2）﹣f（1）＜0的解集为（）A．（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，1） D．（﹣1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；构造法；导数的综合应用；运算求解．【答案】C【分析】令g（x）＝xf（x），求出导函数，即可得到g（x）的单调性，则问题转化为g（x2）＜g（1），根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可．【解答】解：令g（x）＝xf（x），则g'（x）＝f（x）+xf'（x）＞0，所以g（x）在定义域R上单调递增，不等式x2f（x2）﹣f（1）＜0，即x2f（x2）＜f（1），即g（x2）＜g（1），所以x2＜1，解得﹣1＜x＜1，即不等式x2f（x2）﹣f（1）＜0的解集为（﹣1，1）．故选：C．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）8．（2025•罗湖区校级模拟）已知函数f（x）＝x2+2lnx的图象在A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））两个不同点处的切线相互平行，则x1+x2的取值可以为（）A．103 B．52 C．2 D【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】方程思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】AB【分析】由f′（x1）＝f′（x2）整理可得x1x2＝1，然后由基本不等式可得．【解答】解：由f（x）＝x2+2lnx，得f′（x）＝2x+2则f'(x依题意可得2x1+2x1=2x2+2x2，且x1＞整理得(x则x1x2＝1，得x1+x2＞2经验证，当x1，x2分别取3，13时，x当x1，x2分别取2，12时，x故选：AB．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．（多选）9．（2025•宁德三模）设函数f(A．当a＝1时，f（x）没有零点 B．当a＜0时，f（x）在区间（0，+∞）上不存在极值 C．存在实数a，使得曲线y=fD．存在实数a，使得曲线y=【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．【答案】ABC【分析】对选项逐一判断，分别利用图象研究零点，用导数研究极值，用对称性的定义研究对称性即可．【解答】解：对于选项A，当a＝1时，函数f（x）=(1x+1)ln(x+1)+1，定义域为{x|x由f（x）＝0，得ln(x+1)=-x1+x（x作出y＝ln（x+1）与y=-x1+x的图像，二者有唯一交点（0，0），不合题意，故f对于选项B，由题f'令g(x)=因为a＜0，x＞0，所以g′（x）＞0，又g（0）＝0，所以g（x）＞0，所以f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上无极值，故B正确．对于选项CD，令h(因为1+1x＞0，所以x＞0或x＜﹣考虑h=(x当a=12时，h（x）＝h（﹣x﹣1），所以y=f考虑h(所以不存在符合题意的常数a，故D错误．故选：ABC．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，函数零点的判断，函数的对称性，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．（多选）10．（2025春•深圳校级期中）如图，这是函数f（x）的导函数的图象，则（）A．f（x）在x＝2处取得极大值 B．x＝4是f（x）的极小值点 C．f（x）在（2，4）上单调递减 D．f（3）是f（x）的极小值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】函数思想；定义法；导数的综合应用；逻辑思维．【答案】ABC【分析】由导函数f′（x）的图象，可判断f（x）在对应区间上的单调性与极值，对四个选项逐一判断可得答案．【解答】解：根据f′（x）的图象可知，当x＜﹣1时，导函数f′（x）＜0，当﹣1＜x＜2时，f′（x）＞0，当x＞4时，f′（x）＞0，当2＜x＜4时，f′（x）＜0，因此函数f（x）在区间[﹣1，2]上单调递增，在区间（﹣∞，﹣1]上单调递减，在区间[4，+∞）上单调递增，[2，4]上单调递减，因此函数f（x）在x＝2处取得极大值，在x＝﹣1和x＝4处取得极小值，因此A、B、C正确；因为3∈[2，4]，且f（x）在[2，4]上单调递减，x＝3处导函数未变号，不是极值点，所以f（3）不是f（x）的极小值，故D错误．故选：ABC．【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．三．填空题（共3小题）11．（2025•山东模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足sin(a3-π4)+3a3+【考点】利用导数研究函数的单调性；运用诱导公式化简求值．【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】2001π【分析】先对已知等式用诱导公式变形，得到sin(a3-π4)+3(a3-π4)+sin(a1999-π4)+3(a1999-π4)=0，构造函数g（x）＝sinx+3x，判断出它是奇函数且单调递增．然后令x1=a3-π4，x2=a1999-【解答】解：因为sin(所以sin(令g（x）＝sinx+3x，因为g′（x）＝cosx+3＞0恒成立，所以g（x）在R上单调递增．又g（﹣x）＝sin（﹣x）﹣3x＝﹣g（x），所以g（x）为奇函数，令x1=a3-π4，x2=a1999-π4，则g（x1）＝﹣g（x2所以a1+a2001=a故S2001故答案为：2001π【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于中档题．12．（2025•太原模拟）若函数f（x）＝x3+a（x2﹣x+1）在区间(12，3)单调递增，则a的取值范围是[﹣3，【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】[﹣3，+∞）．【分析】由题意可得f′（x）≥0在区间(12，3)【解答】解：由题意，f′（x）＝3x2+2ax﹣a≥0在区间(12即a≥-3x22令g（x）=-3x22x-当x∈（12，1）时，g′（x）＞0，g（x当x∈（1，3）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）max＝g（1）＝﹣3，所以a≥﹣3，即a的取值范围是[﹣3，+∞）．故答案为：[﹣3，+∞）．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．13．（2025春•深圳校级期中）已知函数f（x）的定义域为R，f（1）＝﹣2，对任意x∈R，f′（x）＞3恒成立，则f（x）＞3x﹣5的解集为（1，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；定义法；导数的综合应用；逻辑思维．【答案】（1，+∞）．【分析】令g（x）＝f（x）﹣（3x﹣5），得到g′（x）＞0，得出g（x）在R上单调递增，再由g（1）＝0，进而求得不等式的解集，得到答案．【解答】解：令函数g（x）＝f（x）﹣（3x﹣5），因此导函数g′（x）＝f′（x）﹣3＞0，因此函数g（x）在R上单调递增，又根据g（1）＝f（1）+2＝0，因此当x＞1时，函数g（x）＞0，所以f（x）＞3x﹣5，因此函数f（x）＞3x﹣5的解集为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．四．解答题（共2小题）14．（2025•福建模拟）已知函数f(（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＜0时f（x）≤b﹣ln（﹣a）﹣a恒成立，求实数b的最小值．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】（1）当a≤0时，函数f（x）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）；当0＜a＜1时，函数f（x）的递增区间为(0，1)，当a＝1时，函数f（x）的递增区间为（0，+∞）；当a＞1时，函数f（x）的递增区间为(0，1a（2）ln2﹣2．【分析】（1）求出导数，再按a≤0，0＜a＜1，a＝1，a＞1分类求出函数的单调区间．（2）由（1）的信息，求出函数f（x）的最大值，再由已知建立恒成立的不等式并分离参数，构造函数并利用导数求出最大值即可．【解答】解：（1）f'(x)=ax当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，得0＜x＜1或x＞1a；由f′（x）＜0函数f（x）在(0，1)，当a＝1时，f′（x）≥0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，由f′（x）＞0，得0＜x＜1a或x＞1；由f′（x函数f（x）在(0，1a当a≤0时，由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＞1，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；所以当a≤0时，函数f（x）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）；当0＜a＜1时，函数f（x）的递增区间为(0，1)，当a＝1时，函数f（x）的递增区间为（0，+∞）；当a＞1时，函数f（x）的递增区间为(0，1a（2）由（1）知当a＜0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，则f(依题意，b-ln(-令函数g(a)=当a＜﹣2时，g′（a）＞0，当﹣2＜a＜0时，g′（a）＜0，函数g（a）在（﹣∞，﹣2）上递增，在（﹣2，0）上递减，即g（a）max＝g（﹣2）＝ln2﹣2，因此b≥ln2﹣2，所以b最小值为ln2﹣2．【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了导数与最值关系的应用，属于中档题．15．（2025•蕲春县校级二模）已知函数f(x)=xe（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a的值；（2）当a＞0时，设f（x）的极大值为g（a），求证：g(【考点】利用导数求解函数的极值；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【答案】（1）e；（2）证明见解答．【分析】（1）求出导函数，由题意可得f′（1）＝0，即可求解a的值；（2）求出导函数，令f′（x）＝0，可得x的值，对a分类讨论，求出f（x）的极大值，利用不等式的性质及导数的应用即可证明g(【解答】解：（1）由题意知f′（x）＝ex（x+1）﹣ax﹣a＝（ex﹣a）（x+1）（a∈R）．由f′（1）＝（e﹣a）（1+1）＝0，得a＝e．（2）证明：f′（x）＝（ex﹣a）（x+1），当a＞0时，令f′（x）＝0，可得x＝﹣1或x＝lna，当a＞1e时，lna当x＜﹣1或x＞lna时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜lna时，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，﹣1）和（lna，+∞）上单调递增，在（﹣1，lna）上单调递减，所以f（x）的极大值为f(当a=1e时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，f当0＜a＜1e时，当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＞0当x∈（lna，﹣1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）的极大值为f(令g(x)=-12x(g（x）在(0，1e2)上，g′（x）＜0，在(1e所以g（x）在(0，1e所以g(综上所述，g(【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，导数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题．

考点卡片1．等式与不等式的性质【知识点的认识】1．不等式的基本性质（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：①a＞b⇔a﹣b＞0；②a＜b⇔a﹣b＜0；③a＝b⇔a﹣b＝0．（2）不等式的基本性质①对称性：a＞b⇔b＜a；②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧开方法则：a＞b＞0⇒na＞nb（n∈N，且2．三角函数的周期性【知识点的认识】周期性①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T=2【解题方法点拨】1．一点提醒求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．2．两类点y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．3．求周期的三种方法①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为2π|ω|，y＝tan（ωx+φ）的③利用图象．图象重复的x的长度．3．运用诱导公式化简求值【知识点的认识】利用诱导公式化简求值的思路1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．4．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换【知识点的认识】函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤两种变换的差异先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是|φ|ω（ω＞0）个【解题方法点拨】1．一个技巧列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为T42．两个区别（1）振幅A与函数y＝Asin（ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A=M（2）由y＝sinx变换到y＝Asin（ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是|φ|ω（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于3．三点提醒（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为|φ|ω，而不是|5．三角函数中的恒等变换应用【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：sinαcosα=tan2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（π2-α）＝cosα，cos（π2-α）＝sinα，tan（π2公式六：sin（π2+α）＝cosα，cos（π2+α）＝﹣sinα，tan（π23．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α=26．利用导数研究函数的单调性【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x（Ⅲ）求证：ln2解：（Ⅰ）f'(x当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）f'(2)=-a2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣∴g(∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴g由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：g'(1)＜0g（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴0∴ln7．利用导数求解函数的单调性和单调区间【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B8．由函数的单调性求解函数或参数（导数法）【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x（Ⅲ）求证：ln2解：（Ⅰ）f'(x当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）f'(2)=-a2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣∴g(∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴g由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：g'(1)＜0g（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴0∴ln9．利用导数研究函数的极值【知识点的认识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．10．利用导数求解函数的极值【知识点的认识】1、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．2、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】﹣求导：计算函数的导数f'（x）．﹣零点分析：求解f'（x）＝0以找到可能的极值点．﹣极值判断：通过二阶导数或导数符号变化判断极值类型．【命题方向】常见题型包括利用导数求解函数的极值，分析函数在极值点的行为．已知函数f（x）＝﹣lnx+2x﹣2．求函数f（x）的极值．解：f（x）的定义域为（0，+∞）．令f'（x）＝0，得-1x+2=0令f'（x）＞0，得x＞12；令f'（x）＜0故f（x）在(0，12所以f（x）存在极小值为f(11．利用导数研究函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）=1x在（0，（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数