2024-2025学年下学期高一数学北师大版期末必刷常考题之直观图

第24页（共24页）2024-2025学年下学期高一数学北师大版（2019）期末必刷常考题之直观图一．选择题（共7小题）1．（2025春•清远期中）正方形O′A′B′C′的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（）A．2 B．4 C．42 D．2．（2025春•滨海新区校级期中）已知水平放置的△ABC的平面直观图△A′BC′是边长为1的正三角形，那么△ABC的面积为（）A．62 B．6 C．32 D3．（2025春•天津期中）四边形OABC直观图为如图矩形O1A1B1C1，其中O1A1＝2，O1C1＝1，则OABC的周长为（）A．8 B．10 C．12 D．164．（2025春•宜兴市期中）一个边长为2的正方形水平放置，则该正方形的直观图的周长是（）A．22 B．4 C．42 D5．（2025春•浙江期中）一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（）A．8 B．23+2 C．24 6．（2025春•天津校级期中）已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（）A．24 B．64 C．6 D7．（2025春•天津校级期中）如图所示的是用斜二测画法画出的△AOB的直观图△A′O′B′（图中虚线分别与x′轴垂直，y′轴平行），则原图形△AOB的面积是（）A．20 B．40 C．402 D．二．多选题（共3小题）（多选）8．（2025春•深圳校级期中）水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B'O'＝C'O'＝1，A'O'=32，那么原△A．等边三角形 B．等腰三角形 C．三边互不相等的三角形 D．面积为3的三角形（多选）9．（2025•未央区校级二模）如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'C'D'，已知A'B'＝4，C'D'＝2，则下列说法正确的是（）A．A'B．AB＝4 C．四边形ABCD的面积为62D．四边形ABCD的周长为6+（多选）10．（2025•湖南一模）如图，等腰三角形ABC在平面α上方，∠BAC＝90°，若ABC以BC为旋转轴旋转，形成的旋转体在平面α内的投影可能是（）A． B． C． D．三．填空题（共3小题）11．（2025春•重庆校级月考）如图，平行四边形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝4，O′C′＝2，∠A′O′C′＝30°，则原图形的面积是．12．（2025春•海珠区校级期中）如图，已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图是边长为2的正三角形，原△ABC的面积为．13．（2025春•独山子区校级期中）在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，直角边长为2和22，且三个顶点都在坐标轴上，直角顶点与坐标原点重合，斜边除了端点外在第一象限，则在对应的斜二测坐标系下（∠x′O′y′＝45°），△ABC的直观图的周长为四．解答题（共2小题）14．（2023春•东昌府区校级期中）如图所示，正方形O'A'B'C'是一个水平放置的平面图形OABC的直观图，其中O'A'＝1．（1）求原图形的面积；（2）将原图形以OA所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积．（注：图形OABC与正方形O'A'B'C'的各点分别对应，如OB对应直观图中的O'B'）15．（2022•苏州模拟）请给如图各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形．

2024-2025学年下学期高一数学北师大版（2019）期末必刷常考题之直观图参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）题号1234567答案DABDACB二．多选题（共3小题）题号8910答案ADBCABD一．选择题（共7小题）1．（2025春•清远期中）正方形O′A′B′C′的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（）A．2 B．4 C．42 D．【考点】由斜二测直观图还原图形；平面图形的直观图．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】D【分析】利用直观图还原原图形，再求出面积即可．【解答】解：根据题意，直观图为正方形O′A′B′C′，且其边长为2，如图所示，根据斜二测画法可知原图形为平行四边形，其中OA=所以原图形的面积为OA×故选：D．【点评】本题考查平面图形的直观图，注意原图面积与直观图面积的关系，属于基础题．2．（2025春•滨海新区校级期中）已知水平放置的△ABC的平面直观图△A′BC′是边长为1的正三角形，那么△ABC的面积为（）A．62 B．6 C．32 D【考点】平面图形的直观图．【专题】数形结合；定义法；立体几何．【答案】A【分析】利用斜二测画法的规则即可求出原图中的边AB及其边上的高，进而即可求出面积．【解答】解：如图所示，在直观图中分别作C′D′∥x′轴、C′E′∥y′轴交y′轴于D′点、交x′轴于E′点，还原为平面直角坐标系下△ABC；在△A′C′D′中，由正弦定理得A'可得A′D′=62，C′D′在原直角坐标系中，AB＝A′B′＝1，AD＝2A′D′=6，CD＝C′D′=∴S△ABC=12AB•AD=1故选：A．【点评】本题考查了斜二测画法的应用问题，熟练掌握斜二测画法的规则是解题的关键．3．（2025春•天津期中）四边形OABC直观图为如图矩形O1A1B1C1，其中O1A1＝2，O1C1＝1，则OABC的周长为（）A．8 B．10 C．12 D．16【考点】由斜二测直观图还原图形；平面图形的直观图．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】B【分析】根据题意，由斜二测画法得到原图，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，直观图中，设B1C1与y′轴交于点D1，由于O1C1＝1，且∠D1O1C1＝45°，易得D1O1=2，C1D1＝2﹣1＝1把四边形OABC的直观图还原为平面图形，如图所示：其中OA＝O1A1＝2，OD＝2D1O1＝22，CD＝C1D1＝1，则OC=8+1=故OABC的周长l＝2（3+2）＝10．故选：B．【点评】本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法，属于基础题．4．（2025春•宜兴市期中）一个边长为2的正方形水平放置，则该正方形的直观图的周长是（）A．22 B．4 C．42 D【考点】斜二测法画直观图；平面图形的直观图．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】D【分析】由原图与直观图的关系，代入计算，即可得到结果．【解答】解：根据题意，原图为正方形，其边长为2，则其直观图是边长分别为2，1的平行四边形，故直观图的周长为2（2+1）＝6．故选：D．【点评】本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法，属于基础题．5．（2025春•浙江期中）一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（）A．8 B．23+2 C．24 【考点】由斜二测直观图还原图形．【专题】转化思想；数形结合法；立体几何；运算求解．【答案】A【分析】利用斜二测画法的过程把给出的直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再求平行四边形的周长．【解答】解：还原直观图为原图形如图所示，因为O′A′＝1，所以O′B′=2OA＝O′A′＝1，OB＝2O′B′＝22，所以OC=(22所以原平面图形的周长为：2×（3+1）＝8．故选：A．【点评】本题考查了平面图形直观图的画法，解题的关键是熟记斜二测画法的规则，是基础题．6．（2025春•天津校级期中）已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（）A．24 B．64 C．6 D【考点】斜二测法画直观图；平面图形的直观图．【专题】整体思想；综合法；立体几何；直观想象；运算求解．【答案】C【分析】根据直观图与原图的关系，可确定直观图（三角形）的底和高，从而求得直观图的面积，得出答案．【解答】解：画出直观图，如图所示：因为正三角形的边长为4，所以高为4×根据斜二测画法的知识，则直观图中三角形的高为h=32所以直观图的面积为12故选：C．【点评】本题主要考查了平面图形的直观图，属于基础题．7．（2025春•天津校级期中）如图所示的是用斜二测画法画出的△AOB的直观图△A′O′B′（图中虚线分别与x′轴垂直，y′轴平行），则原图形△AOB的面积是（）A．20 B．40 C．402 D．【考点】由斜二测直观图还原图形．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】B【分析】根据斜二测画法还原原图形，求出其面积．【解答】解：根据题意，由斜二测画法还原原图形如下：其中，△AOB的底边OB的长为5，高为2×8＝16，故△AOB的面积S=故选：B．【点评】本题考查平面图形的直观图，注意原图面积与直观图面积的关系，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）8．（2025春•深圳校级期中）水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B'O'＝C'O'＝1，A'O'=32，那么原△A．等边三角形 B．等腰三角形 C．三边互不相等的三角形 D．面积为3的三角形【考点】平面图形的直观图；斜二测法画直观图．【专题】对应思想；定义法；立体几何；运算求解．【答案】AD【分析】根据“斜二测画法”的画图法则，结合已知，可得△ABC中，BO＝CO＝1，AO=3，结合勾股定理，求出△ABC的三边长，可得△ABC【解答】解：由已知△ABC的直观图中B′O′＝C′O′＝1，A′O′=3∴△ABC中，BO＝CO＝1，AO=3由勾股定理得：AB＝AC＝2，又由BC＝2，故△ABC为等边三角形，其面积为：12×2故选：AD．【点评】本题考查的知识点是斜二测画几何体的直观图，三角形形状的判断，难度不大，属于基础题．（多选）9．（2025•未央区校级二模）如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'C'D'，已知A'B'＝4，C'D'＝2，则下列说法正确的是（）A．A'B．AB＝4 C．四边形ABCD的面积为62D．四边形ABCD的周长为6+【考点】平面图形的直观图．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．【答案】BC【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合∠D'A'M＝45°，求出A'B选项，由斜二测法可知AB＝A'B'＝4；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长．【解答】解：A选项，过点C′，D'作C′N，DM⊥x'轴于点N，M，因为等腰梯形A'B'C′D'中A'B'＝4，C′D'＝2，所以MN＝2，A'M＝B'N＝1，又∠D'A'M＝45°，所以A'D'B选项，由斜二测法可知AB＝A'B'＝4，B正确；C选项，作出原图形，可知AD=2A'D'=22，AB＝4，CD故四边形ABCD的面积为(CD+ABD选项，过点C作CH⊥AB于点H，则AH＝CD＝2，BH＝4﹣2＝2，CH＝AD＝22，由勾股定理得BC=四边形ABCD的周长为AB+CD+故选：BC．【点评】本题考查了斜二测法，属于基础题．（多选）10．（2025•湖南一模）如图，等腰三角形ABC在平面α上方，∠BAC＝90°，若ABC以BC为旋转轴旋转，形成的旋转体在平面α内的投影可能是（）A． B． C． D．【考点】平行投影及平行投影作图法．【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】ABD【分析】对直线BC与平面α的位置关系进行分类讨论，判断出投影的形状，即可得到答案．【解答】解：等腰三角形ABC在平面α上方，∠BAC＝90°，若ABC以BC为旋转轴旋转，若△ABC以BC为旋转轴旋转，形成的旋转体是一个由两个相同的圆锥底面重合形成的组合体，如图所示：若BC⊥α，则旋转体在平面α内的投影如选项D所示；若BC∥α，则旋转体在平面α内的投影为正方形；若BC与α所成的角在（45°，90°）时，则旋转体在平面α内的投影如B所示；若BC与α所成的角在（0°，45°）时，则旋转体在平面α内的投影如A所示；所以综上可知ABD有可能是旋转体在平面α内的投影．故选：ABD．【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，属于中档题．三．填空题（共3小题）11．（2025春•重庆校级月考）如图，平行四边形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝4，O′C′＝2，∠A′O′C′＝30°，则原图形的面积是82．【考点】由斜二测直观图还原图形；平面图形的直观图．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】82．【分析】先求出直观图中平行四边形的面积，再利用直观图面积与原图形面积之比即可求解．【解答】解：根据题意，直观图O′A′B′C′是一个平行四边形，其中O′A′＝4，O′C′＝2，∠A′O′C′＝30°，所以直观图的面积为S′=2S故原视图的面积S＝22S′＝82．故答案为：82．【点评】本题考查平面图形的直观图，注意原图面积与直观图面积的关系，属于基础题．12．（2025春•海珠区校级期中）如图，已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图是边长为2的正三角形，原△ABC的面积为6．【考点】斜二测法画直观图；平面图形的直观图．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】6．【分析】根据题意，求出直观图的面积，进而分析可得答案．【解答】解：根据题意，△ABC的直观图是边长为2的正三角形，则其直观图的面积S′=1故原图面积S＝22S′=6故答案为：6．【点评】本题考查平面图形的直观图，注意原图面积和直观图面积的关系，属于基础题．13．（2025春•独山子区校级期中）在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，直角边长为2和22，且三个顶点都在坐标轴上，直角顶点与坐标原点重合，斜边除了端点外在第一象限，则在对应的斜二测坐标系下（∠x′O′y′＝45°），△ABC的直观图的周长为1+22+5或【考点】平面图形的直观图；斜二测法画直观图．【专题】整体思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】1+22+5【分析】应用分类讨论，结合斜二测画法求直观图对应边长，即可得．【解答】解：若直角边为2与纵轴重合，则对应边长为1，则另一直角边对应边长为22所以斜边在直观图中对应边长为1+8-故周长为1+22若直角边为22与纵轴重合，则对应边长为2，则另一直角边对应边长为2所以斜边在直观图中对应边长为2+4-故周长为2+22综上，直观图的周长为1+22+5故答案为：1+22+5【点评】本题主要考查了平面图形的直观图，属于基础题．四．解答题（共2小题）14．（2023春•东昌府区校级期中）如图所示，正方形O'A'B'C'是一个水平放置的平面图形OABC的直观图，其中O'A'＝1．（1）求原图形的面积；（2）将原图形以OA所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积．（注：图形OABC与正方形O'A'B'C'的各点分别对应，如OB对应直观图中的O'B'）【考点】平面图形的直观图；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积．【专题】整体思想；综合法；立体几何；直观想象；运算求解．【答案】（1）22；（2）该几何体的表面积为162π，体积为8π【分析】（1）由二测法得到四边形OABC是平行四边形，OA＝2，OB＝42，由此能求出原图形的面积．（2）得到的几何体是一个组合体，其形状是圆柱一侧挖去一个圆锥，另一侧又多出一个相同的圆锥，由此能求出该几何体的表面积和体积．【解答】解：（1）由正方形O'A'B'C'是一个水平放置的平面图形OABC的直观图，其中O'A'＝1，得到平面图形OABC，四边形OABC是平行四边形，OA＝1，OB＝22，如图，∴原图形的面积S＝1×22=22（2）得到的几何体是一个组合体，其形状是圆柱一侧挖去一个圆锥，另一侧又多出一个相同的圆锥，∴该几何体的表面积为：S=2π×2该几何体的体积为：V=π×(2【点评】本题考查图形面积、几何体的表面积、体积的求法，考查斜二测法、旋转体等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．（2022•苏州模拟）请给如图各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形．【考点】空间几何体的直观图．【专题】整体思想；综合法；立体几何；直观想象．【答案】【分析】在立体几何中，被遮挡直线画成虚线．【解答】解：图①可看成平面β被α挡住一部分；图②可看成三棱锥；图③可看成是一个正方体，添加虚线即可，如图：【点评】本题主要考查了简单几何体的直观图，属于基础题．

考点卡片1．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积【知识点的认识】旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．1．圆柱①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．②认识圆柱③圆柱的特征及性质圆柱1圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．④圆柱的体积和表面积公式设圆柱底面的半径为r，高为h：V圆柱2．圆锥①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．②认识圆锥③圆锥的特征及性质圆锥1与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2④圆锥的体积和表面积公式设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：V圆锥3．圆台①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．②认识圆台③圆台的特征及性质圆台1平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．④圆台的体积和表面积公式设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：V圆台2．平行投影及平行投影作图法【知识点的认识】1．平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．2．分类：①正投影：投射线垂直于投影面②斜投影：投射线倾斜于投影面正投影能正确表达物体的真实形状和大小，作图比较方便，在作图中应用最广泛．斜投影在实际应用中较少，特点是直观性强，但作图麻烦，也不能反映物体的真实形状，在作图中只作为一种辅助图样．3．平行投影的基本性质：（1）平行直线的投影仍是平行或重合直线．（2）平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且相等．（3）与投影面平行的图形，它的投影与这个图形全等；倾斜于投影面的平面图形，其投影仍为一平面图形．（4）在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．3．平面图形的直观图【知识点的认识】1．直观图：用来表示平面图形的平面图形叫做平面图形的直观图，它不是平面图形的真实形状．2．斜二测画法画平面图形直观图的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．4．空间几何体的直观图【知识点的认识】1．直观图：用来表示空间图形的平面图形叫做空间图形的直观图，它不是空间图形的真实形状，但它具有立体感．2．空间几何体的直观图画法：斜二测画法（关键是确定图形的各顶点）【解题方法点拨】斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．空间几何体的直观图特点：原来平行关系不变，平行于y轴的线段长度减半，平行于x、z轴的线段长度不变．【命题方向】多以选择、填空题出现，属基础题，考查学生的空间想象能力．1．根据三视图得出空间几何体的直观图例：几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A．B．C．D．分析：A、C选项中正视图不符合，D答案中侧视图不符合，由排除法即可选出答案．解答：A、C选项中正视图不符合，A的正视图为，C的正视图为D答案中侧视图不符合．D答案中侧视图为故选B点评：本题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力．2．由空间几何体的直观图得出三视图例：已知三棱锥的正视图与俯视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（