2024-2025学年下学期高一数学北师大版期末必刷常考题之复数的四则运算

第14页（共14页）2024-2025学年下学期高一数学北师大版（2019）期末必刷常考题之复数的四则运算一．选择题（共7小题）1．（2025•太原模拟）已知z＝1﹣i，则zzA．1 B．i C．2 D．2i2．（2025•安徽模拟）已知复数z与52-i互为共轭复数，则复数A．﹣1 B．﹣i C．﹣2 D．﹣2i3．（2025•沙市区校级一模）若复数z满足z-2z=2+3i，则A．2﹣i B．﹣2﹣i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i4．（2025春•汕头期中）已知复数z满足z（1﹣i）＝i，则z的虚部为（）A．12 B．12i C．-15．（2025•桐乡市模拟）已知复数z满足1z+i=1-iA．2 B．22 C．5 D．6．（2025•宜昌校级模拟）设复数z满足1+z2-i=iA．2i B．﹣2i C．﹣2+2i D．﹣2﹣2i7．（2025•咸阳三模）已知复数z满足（1+2i）z＝3+4i，则复数z的共轭复数的虚部是（）A．-25i B．-25 C．二．多选题（共3小题）（多选）8．（2025春•朝阳区校级期中）已知复数z满足（1﹣i）z＝4+6i，z是z的共轭复数，则下列说法正确的是（）A．|z|=26 B．z的虚部为﹣C．z+26z=-2（多选）9．（2025春•温州期中）已知复数z1，z2，下列结论正确的有（）A．z1B．若z1z2＝0，则z1＝z2＝0 C．|z1z2|＝|z1||z2| D．若z12（多选）10．（2025春•青岛期中）已知ω=-12+32i，复数z满足A．|ω|＝1 B．ω⋅C．1+ω+ω2＝ω3 D．|z|的最大值为2三．填空题（共3小题）11．（2025春•西青区校级期中）已知复数z=1+3i2+i，则|z|＝12．（2025•山东校级一模）若复数z满足z（1+i）＝2i，则z=13．（2025•朝阳区二模）若复数z满足z•i＝2+i，则|z|＝．四．解答题（共2小题）14．（2025春•大兴区期中）已知复数z1＝（a2﹣2）﹣（2a+4）i，z2＝a﹣（a2+1）i，a∈R．（Ⅰ）当a＝0时，求|z1+z2|的值；（Ⅱ）若复数z＝z1﹣z2为纯虚数，求z1•z2的值．15．（2025春•西工区校级期中）已知复数z1＝1﹣2i，z2＝2+i，i为虚数单位．（1）若复数z1+az2对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；（2）若复数z=z2

2024-2025学年下学期高一数学北师大版（2019）期末必刷常考题之复数的四则运算参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）题号1234567答案BADCBAD二．多选题（共3小题）题号8910答案ACACDABD一．选择题（共7小题）1．（2025•太原模拟）已知z＝1﹣i，则zzA．1 B．i C．2 D．2i【考点】复数的乘法及乘方运算；共轭复数．【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】由已知直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z＝1﹣i，∴zz故选：B．【点评】本题考查复数的基本概念及复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．（2025•安徽模拟）已知复数z与52-i互为共轭复数，则复数A．﹣1 B．﹣i C．﹣2 D．﹣2i【考点】复数的除法运算；复数的实部与虚部；共轭复数．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】A【分析】应用复数除法化简复数，再由共轭复数的概念写出复数z，即可得．【解答】解：因为52-复数z与52-所以z＝2﹣i，虚部为﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题．3．（2025•沙市区校级一模）若复数z满足z-2z=2+3i，则A．2﹣i B．﹣2﹣i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i【考点】复数的混合运算；共轭复数．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】D【分析】设z＝x+yi（x，y∈R），则z-2z=-x+3yi=2+3i【解答】解：设z＝x+yi（x，y∈R），z=x﹣yi则z﹣2z=x+yi﹣2（x﹣yi）＝﹣x+3yi＝2+3iz解得x＝﹣2，y＝1，所以z＝﹣2+i，z•i2025＝（﹣2+i）•i＝﹣1﹣2i．故选：D．【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．4．（2025春•汕头期中）已知复数z满足z（1﹣i）＝i，则z的虚部为（）A．12 B．12i C．-1【考点】复数的除法运算；复数的实部与虚部；共轭复数．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】C【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的定义得答案．【解答】解：由z（1﹣i）＝i，得z=则z=-∴z的虚部为-1故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．5．（2025•桐乡市模拟）已知复数z满足1z+i=1-iA．2 B．22 C．5 D．【考点】复数的除法运算；复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．【解答】解：复数z满足1z则z+i=1故z=1所以|z|=(故选：B．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．6．（2025•宜昌校级模拟）设复数z满足1+z2-i=iA．2i B．﹣2i C．﹣2+2i D．﹣2﹣2i【考点】复数的除法运算．【专题】转化思想；转化法．【答案】A【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．【解答】解：复数z满足1+z则1+z＝（2﹣i）i＝1+2i，故z＝2i．故选：A．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．7．（2025•咸阳三模）已知复数z满足（1+2i）z＝3+4i，则复数z的共轭复数的虚部是（）A．-25i B．-25 C．【考点】复数的除法运算；共轭复数．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】D【分析】根据复数的除法运算化简复数z，再得共轭复数，即可得其虚部．【解答】解：因为z=所以z=115+2故选：D．【点评】本题考查复数的除法运算，共轭复数，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）8．（2025春•朝阳区校级期中）已知复数z满足（1﹣i）z＝4+6i，z是z的共轭复数，则下列说法正确的是（）A．|z|=26 B．z的虚部为﹣C．z+26z=-2【考点】复数的除法运算；复数的实部与虚部；共轭复数；复数的模．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】AC【分析】化简复数z，根据模长公式判断A，根据复数的共轭复数以及虚部的定义判断B，根据复数的除法运算判断C，根据复数的定义判断D．【解答】解：由题意，z=4+6i1-i=(4+6i)(1+i|z|=1+25=26z的虚部为﹣5，B错误；z+26z=-1+5i+26-1+5i复数不能比大小，D错误．故选：AC．【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．（多选）9．（2025春•温州期中）已知复数z1，z2，下列结论正确的有（）A．z1B．若z1z2＝0，则z1＝z2＝0 C．|z1z2|＝|z1||z2| D．若z12【考点】复数的乘法及乘方运算；共轭复数．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】ACD【分析】利用共轭复数的定义判断选项A；由复数的乘法运算以及实数0的含义判断选项B；由复数模的运算性质判断选项C；由复数的乘法运算及共轭复数的概念判断选项D．【解答】解：设z1＝a+bi，z2＝c+di，a，b，c，d∈R，对于A，z1+z2=(对于B，因为z1z2＝（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i＝0，则ac-bd=0ad+bc=0，则a＝b＝0所以z1，z2中至少有一个0，即z1＝0或z2＝0，故选项B不正确；对于C，由复数模的运算性质可知，|z=(|z所以|z1z2|＝|z1||z2|，故选项C正确；对于D，当z1＝a+bi，则z1可得a2-b2=12ab=0所以z1=z故选：ACD．【点评】本题考查复数的运算，属于中档题．（多选）10．（2025春•青岛期中）已知ω=-12+32i，复数z满足A．|ω|＝1 B．ω⋅C．1+ω+ω2＝ω3 D．|z|的最大值为2【考点】复数的乘法及乘方运算；复数的模．【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】ABD【分析】由复数代数形式的乘除运算结合复数模的求法逐一分析四个选项得答案．【解答】解：由ω=-12+32iω⋅ω=ω2ω3则1+ω+ω2＝1-12+32i-由|z﹣ω|＝1，可知z在复平面内对应的点在以（-12，32则|z|的最大值为(-12故选：ABD．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．三．填空题（共3小题）11．（2025春•西青区校级期中）已知复数z=1+3i2+i，则|z|＝【考点】复数的除法运算；复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】2．【分析】结合复数模公式，即可求解．【解答】解：复数z=1+3则|z|=|1+3故答案为：2．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．12．（2025•山东校级一模）若复数z满足z（1+i）＝2i，则z=1﹣i【考点】复数的除法运算；共轭复数．【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】1﹣i．【分析】利用复数的除法化简复数z，利用共轭复数的定义可得结果．【解答】解：因为z（1+i）＝2i，所以z=2i1+i=2i(1-所以z=1-故答案为：1﹣i．【点评】本题考查复数的除法运算，属于基础题．13．（2025•朝阳区二模）若复数z满足z•i＝2+i，则|z|＝5．【考点】复数的除法运算；复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】5．【分析】根据复数的除法可求得z＝1﹣2i，结合模长公式运算求解．【解答】解：由题意可知，z=所以由复数模的公式可知，|z故答案为：5．【点评】本题主要考查复数模公式，以及复数的四则运算，属于基础题．四．解答题（共2小题）14．（2025春•大兴区期中）已知复数z1＝（a2﹣2）﹣（2a+4）i，z2＝a﹣（a2+1）i，a∈R．（Ⅰ）当a＝0时，求|z1+z2|的值；（Ⅱ）若复数z＝z1﹣z2为纯虚数，求z1•z2的值．【考点】复数的乘法及乘方运算；纯虚数．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（Ⅰ）29；（Ⅱ）﹣36﹣26i．【分析】（Ⅰ）当a＝0时，求出z1，z2的值，再由复数模的公式求解即可；（Ⅱ）由题意化简z＝（a2﹣a﹣2）+（a2﹣2a﹣3）i，再由z为纯虚数知a2﹣a﹣2＝0，a2﹣2a﹣3≠0，解a并代入即可．【解答】解：（Ⅰ）复数z1＝（a2﹣2）﹣（2a+4）i，z2＝a﹣（a2+1）i，a∈R，当a＝0时，z1＝﹣2﹣4i，z2＝﹣i，则z1+z2＝﹣2﹣5i，∴|z1+z2|=(-2（Ⅱ）z＝z1﹣z2＝（a2﹣2）﹣（2a+4）i﹣（a﹣（a2+1）i）＝（a2﹣a﹣2）+（a2﹣2a﹣3）i，∵z＝z1﹣z2为纯虚数，∴a2﹣a﹣2＝0，a2﹣2a﹣3≠0，解得a＝2，故z1＝2﹣8i，z2＝2﹣5i，∴z1•z2＝4﹣40﹣26i＝﹣36﹣26i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．15．（2025春•西工区校级期中）已知复数z1＝1﹣2i，z2＝2+i，i为虚数单位．（1）若复数z1+az2对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；（2）若复数z=z2【考点】复数的除法运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）(-（2）22【分析】（1）利用复数代数形式的运算法则化简复数z1+az2，求出对应点的坐标，利用点在第四象限得到不等式组，即可求实数a的取值范围；（2）利用复数代数形式的除法运算化简复数z=z2【解答】解：（1）∵z1＝1﹣2i，z2＝2+i，∴复数z1+az2＝（1﹣2i）+a（2+i）＝（1+2a）+（a﹣2）i，∴复数z1+az2在复平面内所对应的点为（1+2a，a﹣2），由题意可得1+2a＞0a-2＜（2）z=∴|z【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

考点卡片1．复数的实部与虚部【知识点的认识】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中【解题方法点拨】﹣分解复数：通过给定的复数表达式，提取实部和虚部．﹣应用：在复数运算中，分开处理实部和虚部，简化计算过程．【命题方向】﹣实部与虚部的提取：考查如何从复数表达式中提取实部和虚部．﹣实部虚部的运算：如何利用实部和虚部进行复数运算和解决问题．若复数z＝a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a＝_____．解：若复数z＝a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数，则a2﹣3+2a＝0，解得：a＝﹣3或a＝1，故答案为：﹣3或1．2．纯虚数【知识点的认识】形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．【解题方法点拨】复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路．要完整理解复数为纯虚数的等价条件，复数z＝a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0．实数集和虚数集的并集是全体复数集．虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一个真子集．【命题方向】纯虚数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考察学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）复数的概念；（2）复数的模；（3）复数相等的四则运算；（4）复数在复平面内对应的点．3．共轭复数【知识点的认识】实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数Z=a﹣bi【解题方法点拨】共轭复数的常见公式有：|Z|=|Z|；|Z【命题方向】共轭复数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，要求能够掌握共轭复数的性质，并能将复数的共轭加法运算和乘法运算进行推广．运用共轭复数运算解决一些简单的复数问题，提高数学符号变换的能力，培优学生类比推广思想，从特殊到一般的方法和探究方法．4．复数的模【知识点的认识】1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、复数的模：OZ→的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi