数字信号处理实践与应用-MATLAB话数字信号处理（第2版） 课件 案例二十三 - Chebyshev型模拟滤波器设计

案例二十三——Chebyshev型模拟滤波器设计内容概要案例设置目的相关基础理论情境任务及步骤ChebyshevI型模拟低通滤波器设计ChebyshevII型模拟低通滤波器设计思考题总结报告要求案例设置目的通过step-by-step模式设计模拟Chebyshev滤波器，掌握该类模拟滤波器设计方法与步骤，理解ChebyshevI型和ChebyshevII型滤波器幅频特性特点，理解MATLAB相关Chebyshev滤波器设计的算法原理。相关基础理论Chebyshev原型滤波器有两种类型，分别是ChebyshevI型和II型。ChebyshevI型低通滤波器幅频特性曲线在通带内是等波纹波动、在阻带内是单调下降的；ChebyshevII型低通滤波器幅频特性曲线在通带内是单调下降、在阻带内是等波纹波动的。低通ChebyshevI型滤波器的平方幅度函数定义为（23.1）ChebyshevI型滤波器的频率归一化因子为通带边界频率

p，令归一化后频率表示为

=

/

p，式（23.1）可改写为（23.2）其中

（23.3）TN(x)

称为Chebyshev多项式，具有分段函数的形式。在|x|≤1的范围内TN(x)

按照余弦规律波动；|x|>1的范围内TN(x)按照双曲余弦规律单调增加。ChebyshevI型滤波器通过Chebyshev多项式实现了通带和阻带衰减的单独控制，在|x|≤1范围呈现等波纹波动性，|x|>1范围内呈现快速单调衰减。这种通、阻带分段控制的方式对于降低滤波器阶数有很重要的意义。相关基础理论ChebyshevII型滤波器的平方幅度函数定义为（23.4）ChebyshevII型滤波器的频率归一化因子为阻带边界频率

st，归一化传递函数表示为（23.5）式（23.2）和式（23.5）对应归一化后的函数曲线如图23.1所示。对于ChebyshevI型而言，Chebyshev多项式的特点决定了在|x|=1处TN(x)

1，将该性质用于式（23.1）可得（25.6）式（23.6）表明，归一化的ChebyshevI型滤波器在|

|=1处的衰减代表了通带内的最大波动。相关基础理论对于ChebyshevII型滤波器，根据式（23.4）有（23.7）综上，在通带截止频率

p处，无论是ChebyshevI型还是ChebyshevII型，归一化传递函数的幅度值|H(j

p)|仅与参数

有关，而与阶数N无关。结合式（23.6）和（23.7）可知，通带最大衰减

p与波纹参数

的关系为（23.8）ChebyshevI型和ChebyshevII型滤波器在阻带截止频率

st处的衰减为（23.9）在已确定波纹参数

情况下，利用给定的滤波器参数可确定ChebyshevI型和II型滤波器的阶数N，即（23.10）相关基础理论有了波纹参数

和阶数N这两个参数，再辅以滤波器的边界频率指标，就可以用公式表示出Chebyshev滤波器的归一化传递函数H(j

)和传递函数Ha(s)。由式（23.2）知，ChebyshevI型滤波器的归一化传递函数H(

j

)本质上是

的N阶多项式，分解后可以得到全极点形式（23.11）归一化极点

k可表示为其中，（23.12）（23.13）H(

j

)去归一化后得到传递函数Ha(s)（23.14）相关基础理论对比后容易看出，ChebyshevI型滤波器的H(j

)和Ha(s)与Butterworth滤波器对应的传递函数拥有相同的形式。ChebyshevII型滤波器的归一化传递函数H(

j

)和传递函数Ha(s)的来历这里不进行详细讨论，下面直接给出结论：（23.15）其中，零点zk均在

轴上，且有（23.16）极点可表示为其中，（23.17）（23.18）上述所有式中的K均为增益控制系数。相关基础理论综上，ChebyshevI型和ChebyshevII型模拟低通滤波器（AnalogChebyshev-typeFilterDesign--ACHD）拥有相同的设计步骤。ACHDStep1：确定滤波器的波纹参数

和阶数N。由给定滤波器指标

p、

p、

st和

st，依据式（23.8）和式（23.10）分别确定

和N。ACHDStep2：求解归一化传递函数的零极点，确定归一化传递函数H(j

)。ChebyshevI型用式（23.12）和式（23.13）求出极点，ChebyshevII型用式（23.16）和式（23.17）求零极点。之后，ChebyshevI型用式（23.11）确定归一化传递函数H(j

)，ChebyshevII型用式（23.15）确定归一化传递函数H(j

)。ACHDStep3：对H(j

)去归一化，得到Chebyshev型模拟低通滤波器传递函数Ha(s)。ChebyshevI型利用j

=s/

p，ChebyshevII型用j

=s/

st对H(

j

)进行去归一化。或者ChebyshevI型和ChebyshevII型分别用式（23.14）、式（23.18）直接得到Ha(s)。情境任务及步骤设计Chebyshev型模拟低通滤波器的具体指标为：通带范围0～40Hz，通带允许最大衰减1dB（

p=1dB），150Hz以上为阻带，阻带允许最小衰减为60dB（

st=60dB）。一、ChebyshevI型模拟低通滤波器设计1．滤波器设计1）确定满足指标要求的ChebyshevI型滤波器参数阶数

和N（1）自编程序确定滤波器波纹参数

和阶数N。根据式（23.8）和式（23.10）编制程序，利用提供的滤波器指标确定波纹参数

和阶数N。程序执行后返回的滤波器阶数记为N1。（2）调用MATLAB函数确定相关参数。调用函数cheb1ord确定模拟ChebyshevI型滤波器的阶数，结果记为N2。该函数还可以选择同时返回频率Wn。调用函数时注意域的选择。比较N1与N2是否相同？比较返回值Wn与

p中

st哪个频率一致？将结果记入总结报告。情境任务及步骤2）确定归一化传递函数H(j

)（1）MATLAB函数一步实现。调用MATLAB函数cheby1，边界频率设置Wn=1，确定模拟ChebyshevI型滤波器归一化传递函数H(j

)的分子、分母多项式的系数矩阵，分别记为b1和a1。（2）自编程序实现。1根据式（23.12）和式（23.13）自编程序确定N阶ChebyshevI型滤波器的归一化传递函数极点（实部和虚部）。2调用函数zp2tf函数直接获得H(j

)的分子、分母多项式的系数矩阵，分别记为b2和a2。确定零极点后也可以通过调用函数poly依据式（23.11）确定归一化传递函数H(

j

)的分子、分母多项式的系数矩阵。H(j

)的增益控制系数取b1的最后一个值。比较b1与b2、a1与a2的一致性，并记入报告。情境任务及步骤3）确定传递函数Ha(s)（1）自编程序确定模拟低通ChebyshevI型滤波器的传递函数Ha(s)，即对归一化传递函数Ha(

j

)去归一化。（2）调用函数确定传递函数Ha(s)这里要求重复步骤2），只是有两点区别：1步骤（1）的调用MATLAB函数cheby1，边界频率Wn=

p；2步骤（2）的zp2tf或poly函数所使用的极点均需乘以

p。两种方法所得Ha(s)分母多项式系数分别记为as3和as4，分子多项式系数分别记为bs3和bs4，计算系数差as3－as4，通过差值分析两种方法的异同，并将结果记入总结报告。由模拟归一化传递函数H(

j

)转化为去归一化的传递函数Ha(s)，在MATLAB环境下，更简单的方法是调用lp2lp函数，具体方法可查阅MATLAB中的Help文件学习。情境任务及步骤2．验证设计的滤波器幅频特性这里的验证主要是考察所设计滤波器的幅频响应在边界频率处是否满足指标要求。1）进行频域分析调用MATLAB函数freqs分析bs3和as3决定的系统的频率响应，返回结果记为H1，bs4和as4决定的系统的频率响应，结果记为H2，分析的频率范围f为0～300Hz，步进为10Hz。2）确定幅频响应调用函数abs计算H1的幅频响应AH1和H2的幅频响应AH2，调用函数max计算AH1的最大值maxAH1、AH2的最大值maxAH2。3）画出归一化对数比例幅频特性图用maxAH1对AH1进行归一化处理，并画出20lg(AH1/maxAH1)和f的关系曲线，即纵轴显示对数形式。在同一幅图中用红虚线显示20lg(AH2/maxAH2)和f的关系曲线。4）画出比较基准线调用line函数在图上分别画(

1,0)

(

1,250)、(

60,0)

(

60,250)、(40,

60)

(40,0)、(200,

60)

(200,0)四条直线，比较设计出滤波器指标的富余度，比较归一化的H1和H2的异同，并将结论记于总结报告。情境任务及步骤二、