2024-2025学年浙江省杭州市高一上学期期末学业水平测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省杭州市2024-2025学年高一上学期期末学业水平测试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.1.设全集为，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为全集，，，所以，，所以故选：2.已知，为第二象限角，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，是第二象限角，，解得故选：D.3.已知，则（）A. B.1 C.0 D.【答案】C【解析】将两边平方，得，即，所以，所以故选：.4.幂函数的图象过点，则函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，代入点得，，，则，令，，，函数的值域是.故选：C.5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函数的定义域为且，排除A项；∵，∴奇函数，排除C项；再取特殊值当时，，排除D项.故选：B.6.若函数的定义域为，值域为，则等于（）A. B.C.5 D.6【答案】A【解析】，，∴则函数为常数，且在单调递增，又∵函数的定义域为，函数的值域为，，.故选：A7.某学校生物兴趣小组同学自制生态瓶，根据水中的生物种类数S与生物个体总数N研究生态瓶水质，设立生物丰富度指数作为生态瓶水质评价指标.生物丰富度指数d越大，水质越好.若经过老师指导调整以后生态瓶生物种类数S没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意得①，②，则，即，即，所以.故选：D.8.在下列区间中，函数不存在零点的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数零点为与的图象交点横坐标，在同一坐标系中画出与的图象.如下图示：由图可知与的图象在区间上无交点.所以选项中，函数不存在零点的区间.故选：二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.以下结果正确的是（）A.B.若，则C.D.【答案】ACD【解析】对于A选项，，故A正确；对于B选项，因为，两边平方，得，解得，两边平方，得，所以，故B错误；对于C选项，，故C正确；对于D选项，，故D正确.故选：ACD.10.下列命题正确的是（）A.不存在函数、满足定义域相同，对应关系相同，但值域不同B.命题“，”的否定是“，C.已知，是第一象限角，则“”是“”的充要条件D.三个内角A，B，C满足【答案】AD【解析】对于A，由函数的定义可知，当两个函数的定义域相同，对应关系相同，则值域一定相同，故A正确；对于B，命题"，"否定是"，"，故B错误；对于C，若取，，满足，是第一象限角，且，但，故C错误；对于D，因为，所以，所以，所以，故D正确.故选：AD.11.已知函数，且，，则（）A.若，则对称轴方程为，B.若，则函数向左移动得到C.函数周期为，D.若在区间上单调，则最大值为9【答案】ACD【解析】对于A，当时，，由，，得，解得，，令，得，即，，故A正确；对于B，当时，，由，，得，解得，，将向左平移，得，故B错误；对于C，由，，得，解得，，故C正确；对于D，函数在区间上单调，则，解得，所以，即，又，，则，，检验：当时，，此时，又由，即，解得，，所以，此时函数在区间上不单调，不满足题意；当时，，此时，又由，即，解得，，所以，此时函数在区间上是单调函数，满足题意，综上所述，的最大值为9，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.______________.【答案】【解析】.13.已知，M，N是直线与曲线最近的两个交点，且，则的值为_____.【答案】3【解析】相邻的两个交点M，N的横坐标分别为，，，则，∵，∴或，令，得，，则，故14.已知函数满足：①；②，；③，，请写出一个你认为符合上述要求的函数_____.【答案】答案不唯一【解析】由,知函数为偶函数，当时，，，，可取函数，则，故满足①；当时，，故满足②；，，，，故，故满足③四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，，集合（1）求；（2）若，求p，q的值；（3）若，求解：（1）由得，，解得，即.（2）由，知，，即，.（3）因为，所以，所以，即，当，即时，，此时当，即时，，解集为，此时；当，即时，，此时16.已知定义在上的函数图象关于原点对称，且（1）求的解析式；（2）判断的单调性，并用定义证明；（3）解不等式解：（1）定义在上的函数图象关于原点对称，为上的奇函数，，解得；，又，故，，其满足，故为奇函数，图象关于原点对称，即.（2）在上单调递增；证明如下：令，，由，则，，，，即在上单调递增.（3）由题意可得为奇函数，故由，得，，又在上单调递增，则有，解得，故不等式的解集为17.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，角的终边与单位圆的交点为，射线绕点按逆时针方向旋转弧度后交单位圆于点，记点的纵坐标关于的函数为，终边对应角（1）若，，求；（2）对（1）中，若，，求；（3）若，纵坐标为，的横坐标为，求.解：（1）因为，且，点A在第三象限，所以.（2）由于，得，即，又，得，所以，得，所以，得.（3）易知，，由可知，，，，从而，，由，可知，所以，从而，易知，故18.为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款设立优惠政策.现有应届毕业大学生甲贷款开设某型号节能板销售公司，银行提供48万元无息贷款作为启动资金，同时提供贷款120万元（年利率为）.已知该企业每月运行成本为44000元，该节能板的进价为每件140元，该店月销售量（百件）与销售价格（元）的关系如下图（每段图象为直线段，，，）.（1）请写出月利润L关于P的函数关系式；（2）当节能板的价格为每件多少元时，月利润的余额最大?并求最大余额；（3）该企业把所有利润积累起来，准备一次性还清所有贷款.假设该企业每月销售情况不变，则该企业还清贷款至少需要几年参考数据：，，，解：（1）设该店月利润余额为L，则由题设得，由图可得线段的方程为：，，即；线段的方程为：，，即；所以，所以.即.（2）当时，，所以当元时，（元），当时，，当元时，（元），故当元时，月利润余额最大为20000元.（3）设可在第年还清，依题意有，即，的图象与的图象至多有两个点，又当时，，当时，，当时，，，当时，，可知函数有两个零点，，当时，，又，所以最早可望在11年后还清.19.一般地，设A，B分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一也是一个函数即对任意一个，都有唯一的与之对应，那么就称函数是函数的反函数，记作在中，y是自变量，x是y的函数.习惯上改写成的形式.比如：函数的反函数求法为：第一步：反解：，；第二步：互换字母：；第三步：求定义域：易知原函数值域为，故反函数定义域为，反函数为记函数的反函数为，且有函数满足其中e为自然对数的底数（1）求函数，；（2）若关于x的不等式对恒成立，求实数的取值范围；（3）若关于x的方程有两根，，求的最小值.解：（1）因为，所以，，所以，所以，所以，所以函数的反函数是，可知，.（2）由（1）可证且，因此，令，可知，即在上恒成立，令，当，可知在上单调递增，，可知，当时，易知不符合，当时，可知，只需要且，即且，可知，综上：或.（3）由可知：，即有两根，，令，，，则有两根，，满足，，可知，，因此=，令，再令，则，，易知当时，，故最小值为浙江省杭州市2024-2025学年高一上学期期末学业水平测试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.1.设全集为，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为全集，，，所以，，所以故选：2.已知，为第二象限角，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，是第二象限角，，解得故选：D.3.已知，则（）A. B.1 C.0 D.【答案】C【解析】将两边平方，得，即，所以，所以故选：.4.幂函数的图象过点，则函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，代入点得，，，则，令，，，函数的值域是.故选：C.5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函数的定义域为且，排除A项；∵，∴奇函数，排除C项；再取特殊值当时，，排除D项.故选：B.6.若函数的定义域为，值域为，则等于（）A. B.C.5 D.6【答案】A【解析】，，∴则函数为常数，且在单调递增，又∵函数的定义域为，函数的值域为，，.故选：A7.某学校生物兴趣小组同学自制生态瓶，根据水中的生物种类数S与生物个体总数N研究生态瓶水质，设立生物丰富度指数作为生态瓶水质评价指标.生物丰富度指数d越大，水质越好.若经过老师指导调整以后生态瓶生物种类数S没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意得①，②，则，即，即，所以.故选：D.8.在下列区间中，函数不存在零点的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数零点为与的图象交点横坐标，在同一坐标系中画出与的图象.如下图示：由图可知与的图象在区间上无交点.所以选项中，函数不存在零点的区间.故选：二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.以下结果正确的是（）A.B.若，则C.D.【答案】ACD【解析】对于A选项，，故A正确；对于B选项，因为，两边平方，得，解得，两边平方，得，所以，故B错误；对于C选项，，故C正确；对于D选项，，故D正确.故选：ACD.10.下列命题正确的是（）A.不存在函数、满足定义域相同，对应关系相同，但值域不同B.命题“，”的否定是“，C.已知，是第一象限角，则“”是“”的充要条件D.三个内角A，B，C满足【答案】AD【解析】对于A，由函数的定义可知，当两个函数的定义域相同，对应关系相同，则值域一定相同，故A正确；对于B，命题"，"否定是"，"，故B错误；对于C，若取，，满足，是第一象限角，且，但，故C错误；对于D，因为，所以，所以，所以，故D正确.故选：AD.11.已知函数，且，，则（）A.若，则对称轴方程为，B.若，则函数向左移动得到C.函数周期为，D.若在区间上单调，则最大值为9【答案】ACD【解析】对于A，当时，，由，，得，解得，，令，得，即，，故A正确；对于B，当时，，由，，得，解得，，将向左平移，得，故B错误；对于C，由，，得，解得，，故C正确；对于D，函数在区间上单调，则，解得，所以，即，又，，则，，检验：当时，，此时，又由，即，解得，，所以，此时函数在区间上不单调，不满足题意；当时，，此时，又由，即，解得，，所以，此时函数在区间上是单调函数，满足题意，综上所述，的最大值为9，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.______________.【答案】【解析】.13.已知，M，N是直线与曲线最近的两个交点，且，则的值为_____.【答案】3【解析】相邻的两个交点M，N的横坐标分别为，，，则，∵，∴或，令，得，，则，故14.已知函数满足：①；②，；③，，请写出一个你认为符合上述要求的函数_____.【答案】答案不唯一【解析】由,知函数为偶函数，当时，，，，可取函数，则，故满足①；当时，，故满足②；，，，，故，故满足③四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，，集合（1）求；（2）若，求p，q的值；（3）若，求解：（1）由得，，解得，即.（2）由，知，，即，.（3）因为，所以，所以，即，当，即时，，此时当，即时，，解集为，此时；当，即时，，此时16.已知定义在上的函数图象关于原点对称，且（1）求的解析式；（2）判断的单调性，并用定义证明；（3）解不等式解：（1）定义在上的函数图象关于原点对称，为上的奇函数，，解得；，又，故，，其满足，故为奇函数，图象关于原点对称，即.（2）在上单调递增；证明如下：令，，由，则，，，，即在上单调递增.（3）由题意可得为奇函数，故由，得，，又在上单调递增，则有，解得，故不等式的解集为17.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，角的终边与单位圆的交点为，射线绕点按逆时针方向旋转弧度后交单位圆于点，记点的纵坐标关于的函数为，终边对应角（1）若，，求；（2）对（1）中，若，，求；（3）若，纵坐标为，的横坐标为，求.解：（1）因为，且，点A在第三象限，所以.（2）由于，得，即，又，得，所以，得，所以，得.（3）易知，，由可知，，，，从而，，由，可知，所以，从而，易知，故18.为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款设立优惠政策.现有应届毕业大学生甲贷款开设某型号节能板销售公司，银行提供48万元无息贷款作为启动资金，同时提供贷款120万元（年利率为）.已知该企业每月运行成本为44000元，该节能板的进价为每件140元，该店月销售量（百件）与销售价格（元）的关系如下图（每段图象为直线段，，，）.（1）请写出月利润L关于P的函数关系式；（2）当节能板的价格为每件多少元时，月利润的余额最大?并求最大余额；（3）该企业把所有利润积累起来，准备一次性